基于隱式梯度理論的混凝土細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型

李蘋+任曉丹+李杰

摘要：根據(jù)多尺度力學(xué)的基本思想，將隱式梯度非局部化理論與串并聯(lián)彈簧模型理論相結(jié)合，建立了混凝土細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型。通過引入微彈簧斷裂應(yīng)變?yōu)榉膶?duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，驗(yàn)證了混凝土材料微觀斷裂的不可控制性；通過引入非局部化比例，解決了傳統(tǒng)串并聯(lián)彈簧模型的層數(shù)敏感性問題。對(duì)建立的模型從特征參數(shù)、局部應(yīng)變與損傷的演化發(fā)展和層數(shù)敏感性幾個(gè)方面進(jìn)行了分析。最后，將模型結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了該模型的正確性。研究結(jié)果表明：該模型計(jì)算效率高，且更加有利于在計(jì)算軟件中實(shí)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：混凝土；隱式梯度；非局部化；細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型

中圖分類號(hào)：TU528.01文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

從材料組成成分看，混凝土材料是多組分、多相和非均質(zhì)的復(fù)合材料，其內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)包含水泥石、不同形狀和大小的集料以及各種毛細(xì)管空隙結(jié)構(gòu)等，導(dǎo)致混凝土的宏觀力學(xué)指標(biāo)具有顯著隨機(jī)性[1]。同時(shí)，在單軸受力情況下，混凝土表現(xiàn)出應(yīng)變軟化、強(qiáng)度（剛度）退化、塑性變形、殘余應(yīng)力等特征，應(yīng)力應(yīng)變?nèi)^程曲線具有明顯的非線性特點(diǎn)[2]。如何反映混凝土受力力學(xué)行為的非線性與隨機(jī)性，構(gòu)成了混凝土力學(xué)研究的核心科學(xué)問題。

1990年，Krajcinovic等[3]在此基礎(chǔ)上假設(shè)彈簧破壞強(qiáng)度為服從相同分布的隨機(jī)變量，采用概率定義損傷建立了混凝土單軸受力的細(xì)觀彈簧模型。由于Krajcinovic等定義的損傷是基于細(xì)觀彈簧破壞概率，因此該模型給出的是確定性的損傷變量。1996年，Kandarpa等[4]在Krajcinovic模型基礎(chǔ)上做出改進(jìn)，通過隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)考慮了細(xì)觀彈簧之間的相互影響，建立了基于細(xì)觀彈簧模型的混凝土隨機(jī)損傷模型。但是該模型存在2個(gè)方面的問題：其一，以受拉破壞為理論依據(jù)卻采用受壓試驗(yàn)結(jié)果建模；其二，在模型中以變形代替了應(yīng)變，并不具有真正的細(xì)觀意義。1999年以來，李杰等[1，5]在細(xì)觀層次上將混凝土離散為具有一定特征高度和截面積的小柱體，并用微彈簧模型表示，且假定微彈簧的斷裂應(yīng)變服從某一隨機(jī)場(chǎng)，從而建立了細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型。較之傳統(tǒng)模型，這一類模型能從細(xì)觀上統(tǒng)一解釋混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線的隨機(jī)性和非線性特征，實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)性與非線性的綜合反映，為多維隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系[6]的建立奠定了基礎(chǔ)。然而，進(jìn)一步研究表明，在采用細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型通過串并聯(lián)彈簧方式模擬混凝土單軸受力應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系時(shí)，模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)微彈簧層數(shù)的選取有很大的依賴性。這一問題的本質(zhì)，在于經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系在涉及軟化問題時(shí)所表現(xiàn)出的局部性限制。為解決這一問題，2012年，劉漢昆等[7]將積分型非局部化理論與上述串并聯(lián)彈簧相結(jié)合，引入積分型非局部化模型，對(duì)控制損傷的變量進(jìn)行非局部化處理，通過將控制損傷的變量在一定范圍內(nèi)進(jìn)行加權(quán)平均，從而考慮損傷的非均勻性[8]。在有限元實(shí)現(xiàn)過程中，這類模型要求光滑長(zhǎng)度必須大于網(wǎng)格尺寸，非局部變量才可以求解，這實(shí)際上是高估了微結(jié)構(gòu)間的相互作用，而且直接積分形式更多的時(shí)候只能直接求得一些特定點(diǎn)的非局部應(yīng)變，要求解任意的非局部變量需要專門的數(shù)值技巧[9]，因此積分型非局部化模型應(yīng)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬存在不足。

有鑒于此，本文中引入梯度型非局部化理論，基于多尺度力學(xué)的基本思想，在細(xì)觀層次引入斷裂的隨機(jī)描述，建立了基于梯度型非局部化理論的混凝土隨機(jī)斷裂本構(gòu)模型。較之Kandarpa等建議的模型，本文模型能真實(shí)客觀地反映混凝土隨機(jī)損傷應(yīng)力重分布損傷演化的物理過程，同時(shí)，該模型中的每一個(gè)微彈簧取為細(xì)觀單元，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非線性關(guān)系，不再是線性關(guān)系[8]。較之積分型非局部化模型，該模型的非局部化過程只依賴于所考慮材料點(diǎn)相關(guān)變量的梯度，不再需要計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)區(qū)域的所有單元信息，計(jì)算效率得到了很大的提高，且更加有利于在計(jì)算軟件中實(shí)現(xiàn)。

1細(xì)觀彈簧模型

為了模擬混凝土單軸受力試件的力學(xué)行為，采用如圖1所示的串并聯(lián)彈簧模型，其中，N×M個(gè)基本單元中的每一個(gè)都用一微彈簧束建模，M個(gè)微彈簧束兩端與剛性板相連接形成層單元，N個(gè)彈簧層單元體串聯(lián)形成整個(gè)體系。圖1中F為軸力。

各個(gè)微彈簧的斷裂應(yīng)變?yōu)殡S機(jī)變量，故可以反映混凝土材料微觀斷裂的隨機(jī)性。

當(dāng)外力小于某一值時(shí)，微彈簧系統(tǒng)不發(fā)生斷裂，相應(yīng)的細(xì)觀應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系具有線性變化特征。當(dāng)外力增加，使得具有最小斷裂應(yīng)變的微彈簧的應(yīng)變達(dá)到其斷裂界限值時(shí)，該微彈簧斷裂，所釋放的應(yīng)力由其他微彈簧承擔(dān)，形成應(yīng)力重分布，所以細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型在物理上科學(xué)反映了混凝土受力力學(xué)行為的隨機(jī)性和非線性。

根據(jù)上述模型，第i層微彈簧束（細(xì)觀層次）損傷變量Di可定義為

式中：Ai為第i個(gè)細(xì)觀單元的橫截面積；ADi為第i個(gè)細(xì)觀單元中微彈簧斷裂而導(dǎo)致材料退出工作的面積。

假定材料離散后模型中的細(xì)觀單元橫截面積均相等，損傷變量Di可定義為

式中：H（x）為Heaviside函數(shù)；Aji為第i個(gè)細(xì)觀單元中第j個(gè)微彈簧面積；A為宏觀單元的橫截面積，A=Ai；εjei為第i個(gè)細(xì)觀單元中第j個(gè)微彈簧的彈性應(yīng)變；Δji為第i個(gè)細(xì)觀單元中第j個(gè)微彈簧的極限破壞應(yīng)變，為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

當(dāng)微彈簧個(gè)數(shù)M→+∞時(shí)，并聯(lián)微彈簧可以看作一維連續(xù)體，式（2）的極限D(zhuǎn)i（εe）為

式（1）～（4）的建立運(yùn)用了2個(gè)尺度的物理關(guān)系，即微觀層次的隨機(jī)斷裂、細(xì)觀層次的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。而對(duì)于宏觀尺度，根據(jù)力的平衡和位移協(xié)調(diào)條件可得

式中：σMA，εMA分別為串并聯(lián)彈簧體系的宏觀平均應(yīng)力和宏觀平均應(yīng)變；E0為材料彈性模量；σi為第i層彈簧的總應(yīng)力；εi為第i層彈簧的總應(yīng)變；εpi為第i層彈簧的塑性應(yīng)變。

對(duì)于單軸受拉模型，取εpi=0；對(duì)于單軸受壓模型，εpi可以按經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行取值，即塑性應(yīng)變?chǔ)舙i=ξp[Di（εei）]pεei[10]，p為塑性參數(shù)，ξp為塑性應(yīng)變參數(shù)。endprint

值得指出的是，按照細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型分析宏觀單軸受力試件，無論是單軸受拉還是單軸受壓，均存在層數(shù)敏感性問題[1114]。圖3為根據(jù)上述模型計(jì)算的1個(gè)單軸受拉試件的試驗(yàn)結(jié)果，其中各參數(shù)取值為：材料彈性模量E0=42 GPa；斷裂應(yīng)變隨機(jī)場(chǎng)參數(shù)的均值λ=4.92；標(biāo)準(zhǔn)差ζ=0.80；塑性應(yīng)變參數(shù)ξp=0；塑性參數(shù)p=0（對(duì)應(yīng)于單軸受拉工況）。

圖3層數(shù)敏感性

Fig.3Layer Sensitivity從圖3可以看出，計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重依賴于模型所選取的彈簧層數(shù)，彈簧層數(shù)N越大，計(jì)算結(jié)果的下降段越陡峭。

圖4為串并聯(lián)彈簧模型的簡(jiǎn)化模型，其中，ft為抗拉強(qiáng)度，ε0為抗拉強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的峰值應(yīng)變，Et為線性軟化段斜率?，F(xiàn)以圖4所示的簡(jiǎn)化模型做進(jìn)一步分析，可以更直觀地解釋上述層數(shù)敏感性問題，其中每個(gè)“圓球”代表一個(gè)細(xì)觀單元，并假定圖2（a）中宏觀單元的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)0（共有n個(gè)細(xì)觀單元）。為方便后續(xù)分析，將圖2（b）中細(xì)觀單元的本構(gòu)模型簡(jiǎn)化為線性軟化函數(shù)。

由于初始缺陷的影響，某個(gè)單元開裂后，應(yīng)變局部化導(dǎo)致變形集中于斷裂單元，而其他n-1個(gè)未斷裂單元?jiǎng)t為線彈性，此時(shí)

圖5為數(shù)值分析結(jié)果。從圖5可以看出，采用局部應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系計(jì)算得到的應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果與所采用的單元數(shù)量密切相關(guān)。特別當(dāng)n→+∞時(shí)，整體的應(yīng)力應(yīng)變曲線退化為線彈性，這意味著整個(gè)破壞過程中的能量耗散為0，顯然這與其物理過程的事實(shí)不符合。

圖5數(shù)值分析結(jié)果

Fig.5Simulating Analytical Results上述問題的根源在于細(xì)觀本構(gòu)關(guān)系在本質(zhì)上屬于局部本構(gòu)關(guān)系。而對(duì)于混凝土等軟化材料而言，大量存在的微裂紋之間會(huì)產(chǎn)生相互作用，使得材料變形呈現(xiàn)出高度的應(yīng)變局部化現(xiàn)象，從而使局部本構(gòu)模型的獨(dú)立性假定難以滿足，相應(yīng)的有限元分析結(jié)果會(huì)嚴(yán)重依賴于網(wǎng)格尺寸，即所謂的網(wǎng)格敏感性問題[1516]。3混凝土非局部化損傷模型

為了能合理地反映混凝土材料的應(yīng)變軟化現(xiàn)象并解決應(yīng)變局部化引起的數(shù)值問題，建立非局部化本構(gòu)模型是較為理想的選擇。非局部化本構(gòu)模型分為積分型非局部化本構(gòu)模型和梯度型非局部化本構(gòu)模型[9]。

3.1積分型非局部化本構(gòu)模型

積分型非局部化本構(gòu)模型[1718]的基本思想是將與材料本構(gòu)關(guān)系有關(guān)的物理量在一定空間內(nèi)進(jìn)行加權(quán)平均，從而考慮材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)的非均勻性，則有

（x）=∫1Vα（x，ξ）f（ξ）dξ（13）

式中：（x）為非局部變量；f（ξ）為對(duì)應(yīng)的局部變量；V為局部平均單元體積；α（x，ξ）為平均化權(quán)函數(shù)，滿足歸一化條件∫1Vα（x，ξ）dξ=1。

3.2梯度型非局部化本構(gòu)模型

將上述積分型非局部化本構(gòu)模型進(jìn)行Taylor展開，可以將變量的高階梯度引入材料本構(gòu)關(guān)系中，給出一類梯度型非局部模型[1920]。

將局部變量在x位置進(jìn)行Taylor展開，即

f（ξ）=f（x）+f（x）（ξ-x）+1122f（x）·

（ξ-x）2+1132f（x）（ξ-x）2+…（14）

將式（14）代入式（13），可以得到

（x）=f（x）+c2f（x）+d4f（x）（15）

式中：c，d均為參數(shù)，與相關(guān)函數(shù)α（x，ξ）有關(guān)；f（x）為局部變量。

若僅保留二階梯度項(xiàng)，可得到如下常見的顯式非局部梯度模型

（x）=f（x）+c2f（x）（16）

由式（16）可見，在顯式非局部梯度模型中，非局部變量（x）由其對(duì)應(yīng)的局部變量f（x）及其二階梯度2f（x）顯式地確定。

上述顯式非局部梯度模型要求給出局部變量的二階梯度，其有限元插值格式的構(gòu)造需要高階連續(xù)插值函數(shù)，這給模型的有限元實(shí)現(xiàn)帶來了困難。為此，一般將其轉(zhuǎn)化為如下隱式梯度模型

（x）-c2（x）=f（x）（17）

在求解上述非局部化隱式梯度模型時(shí)，必須補(bǔ)充新的邊界條件。一般可采用如下自然邊界條件

（x）T=0（18）

式中：T為計(jì)算域邊界的外法線矢量。

研究結(jié)果表明[17]，對(duì)于損傷模型或軟化塑性模型等非線性模型，非局部變量只能選擇在整個(gè)加載過程中不會(huì)發(fā)生減小的內(nèi)變量，如損傷變量、損傷能釋放率、累積塑性應(yīng)變等，故本文中選取局部彈性應(yīng)變?yōu)榉蔷植孔兞浚▽?duì)于反復(fù)加載情況，這里的彈性應(yīng)變應(yīng)取為歷史加載最大值）。

3.3數(shù)值實(shí)現(xiàn)

本文中在細(xì)觀單元尺度構(gòu)造有限元方法求解隱式梯度方程。由有限元基本知識(shí)，可以得到式（16）的等效積分弱形式，即

∫1LW（x）dx-∫1LWc2（x）dx=

∫1LWf（x）dx（19）

式中：L為歸一化特征長(zhǎng)度。

根據(jù)分部積分，則有

∫1LcW2（x）dx=cW（x）|L2L1-

c∫1LW（x）dx（20）

根據(jù)邊界條件cW（x）|L2L1=0，將式（20）代入式（19），則有

∫1LW（x）dx+c∫1LW（x）dx=

∫1LWf（x）dx（21）

按照有限元插值理論，對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值，即

（x）=J

f（x）=Jg

W=Jw（22）

式中：J為形函數(shù)；w為參數(shù)。

將式（22）代入式（21），可得

（∫1LJTJdx+c∫1LBTBdx）=（∫1LJTJdx）g（23）

式中：B=J1x。

取形函數(shù)J為三節(jié)點(diǎn)二階的拉格朗日插值函數(shù)，則有

Ji（x）=（x-xi-1）（x-xi+1）1（xi-xi-1）（xi-xi+1）（24）endprint

J=（J1，J2，J3）

g=（g1，g2，g3）（25）

將式（24）代入式（23）可得

A=Bg（26）

式中：A，B均為3×3階的系數(shù)矩陣。

系數(shù)矩陣A，B的具體表達(dá)式為

A（i，j）=∫1L（Ji（x）Jj（x）+cBi（x）Bj（x））dx（27）

B（i，j）=∫1L（J21（x）+cB21（x））dxi=j=1

∫1LJi（x）Jj（x）dx其他（28）

至此，非局部化過程的數(shù)值實(shí)現(xiàn)已經(jīng)轉(zhuǎn)化為線性方程式（26）的求解。

事實(shí)上，拉格朗日插值函數(shù)并不是階次越高精度就越高，高階插值可能引起數(shù)值震蕩，即龍格現(xiàn)象，因此，本文中采用分段二階拉格朗日插值。4非局部化模型分析

若非注明，以下分析采用的參數(shù)為：材料彈性模量E0=42 GPa，斷裂應(yīng)變的均值λ=4.92；標(biāo)準(zhǔn)差ζ=0.80；塑性應(yīng)變參數(shù)ξp=0；p=0（對(duì)應(yīng)單軸受拉工況）。

4.1參數(shù)c的討論

文獻(xiàn)[21]中指出，參數(shù)c與材料特征長(zhǎng)度l之間存在以下關(guān)系

c=l2/2（29）

式中：l取3倍骨料粒徑[18]。

圖6為參數(shù)c=0.001，0.01，0.05，0.1，0.2時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變（σε）曲線。

圖6不同c值對(duì)應(yīng)的σε曲線

Fig.6σε Curves Corresponding to Different c從圖6可以看出，當(dāng)c=0.001時(shí)，應(yīng)力跌落現(xiàn)象十分明顯，此時(shí)存在嚴(yán)重的應(yīng)變局部化現(xiàn)象。隨著c值的增大，對(duì)應(yīng)的非局部化程度也會(huì)增大，應(yīng)力跌落現(xiàn)象能得到明顯改善。

4.2應(yīng)變局部與損傷演化發(fā)展

為了分析不同c值對(duì)應(yīng)的細(xì)觀應(yīng)變與損傷演化，分別取c=0.000 8，0.001，0.001 2，考察宏觀應(yīng)變?chǔ)?1.5×10-4時(shí)細(xì)觀應(yīng)變和細(xì)觀損傷沿宏觀方向的分布，如圖7所示，其中，D為損傷指數(shù)。

圖7ε=1.5×10-4時(shí)應(yīng)變分布與損傷演化

Fig.7Strain Distributions and Damage

Evolution when ε=1.5×10-4從圖7可以看出，非局部化損傷模型中的損傷和應(yīng)變集中在一定寬度的窄帶內(nèi)，隨著c值的增大，細(xì)觀應(yīng)變和損傷集中的范圍也逐漸增大，對(duì)應(yīng)的非局部化程度越高，應(yīng)變局部化程度削弱。

圖8為c=0.01時(shí)宏觀應(yīng)變分別為ε1=1.5×10-4，ε2=2×10-4，ε3=2.3×10-4，ε4=2.7×10-4，ε5=3×10-4，ε6=3.3×10-4的細(xì)觀應(yīng)變發(fā)展和損傷演化曲線。

圖8c=0.01時(shí)細(xì)觀應(yīng)變與損傷演化

Fig.8Meso Strain Distributions and Damage

Evolution when c=0.01從圖8可以看出，當(dāng)宏觀應(yīng)變較小時(shí)，材料尚未進(jìn)入軟化段，此時(shí)應(yīng)變和損傷都是均勻發(fā)展的。隨著宏觀應(yīng)變的增大，材料進(jìn)入軟化段，此時(shí)由于軟化段應(yīng)變局部化的影響，應(yīng)變和損傷沿宏觀長(zhǎng)度方向的分布將不再均勻，而且宏觀應(yīng)變?cè)酱?，不均勻程度越明顯。

4.3層數(shù)敏感性

圖9中給出了c取不同的值，彈簧層數(shù)N取4個(gè)不同值對(duì)應(yīng)圖9不同c值對(duì)應(yīng)的層數(shù)敏感性計(jì)算結(jié)果

Fig.9Calculation Results of Layer Sensitivety

Corresponding to Different c Values的計(jì)算結(jié)果。結(jié)果表明，代表非局部化程度的參數(shù)c一旦確定，模型得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線將不依賴于模型層數(shù)，不同層數(shù)對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果相差甚小，這說明本模型克服了層數(shù)敏感性問題。

5算例分析

為了驗(yàn)證本文所建立的模型，分別對(duì)單軸受拉和單軸受壓試驗(yàn)進(jìn)行模擬，其中，單軸受拉試驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[10]，單軸受壓試驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于筆者重新做的一批C30混凝土棱柱體試驗(yàn)，試件尺寸為150 mm×150 mm×300 mm。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，用參數(shù)識(shí)別的方式得到微觀斷裂應(yīng)變的隨機(jī)場(chǎng)參數(shù)（單軸受壓工況還需要識(shí)別塑性應(yīng)變參數(shù)），各參數(shù)取值如表1所示。圖10，11分別為模擬結(jié)果與單軸受拉、單軸受壓試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。

表1各參數(shù)取值

Tab.1Values of Each Parameter參數(shù)1E0/GPa1λ1ζ1ξp1p1c單軸受拉138.2014.9610.5210.0010.0010.08單軸受壓135.8017.2310.6610.5310.4910.20圖10單軸受拉試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果的對(duì)比

Fig.10Comparison of Test Result and Simulation

Result of Uniaxial Tension圖11單軸受壓試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果的對(duì)比

Fig.11Comparison of Test Result and Simulation

Result of Uniaxial Compression從模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比可以看出，本文中建議的模型能較好地模擬混凝土單軸受拉、單軸受壓試驗(yàn)。相對(duì)單軸受壓試驗(yàn)，單軸受拉試驗(yàn)參數(shù)c的取值較小，對(duì)應(yīng)的非局部化程度較小，應(yīng)力跌落現(xiàn)象較明顯。6結(jié)語

以多尺度分析的基本思想為基礎(chǔ)，建立了具有微觀、細(xì)觀、宏觀3個(gè)尺度的混凝土隨機(jī)損傷模型，為反映混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線的隨機(jī)性和非線性提供了物理背景。在此基礎(chǔ)上，本文中引入隱式梯度非局部化理論，考慮了混凝土材料在變形后期存在的變形局部化問題，解決了局部化彈簧模型中存在的層數(shù)敏感性問題。最后通過模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比可以看出，本文中建立的模型是合理的。參考文獻(xiàn)：endprint

References：[1]李杰，盧朝輝，張其云.混凝土隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系——單軸受壓分析[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，31（5）：505509.

LI Jie，LU Zhaohui，ZHANG Qiyun.Study on Stochastic Damage Constitutive Law for Concrete Material Subjected to Uniaxial Compressive Stress[J].Journal of Tongji University：Natural Science，2003，31（5）：505509.

[2]李杰.混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)的初步研究[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，32（10）：12701277.

LI Jie.Research on the Stochastic Damage Mechanics for Concrete Materials and Structures[J].Journal of Tongji University：Natural Science，2004，32（10）：12701277.

[3]KRAJCINOVIC D，STOJIMIROVIC A.Deformation Processes in Semibrittle Polycrystalline Ceramics[J].International Journal of Fracture，1990，42（1）：7386.

[4]KANDARPA S，KIRKNER D J.Stochastic Damage Model for Brittle Materiel Subjected to Monotonic Loading[J].Journal of Engineering Mechanics，1996，122（8）：788795.

[5]李杰，張其云.混凝土隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，29（10）：11351141.

LI Jie，ZHANG Qiyun.Study of Stochastic Damage Constitutive Relationship for Concrete Material[J].Journal of Tongji University：Natural Science，2001，29（10）：11351141.

[6]LI J，REN X.Stochastic Damage Model for Concrete Based on Energy Equivalent Strain[J].International Journal of Solids and Structures，2009，46（11）：24072419.

[7]劉漢昆，李杰.單軸受拉狀態(tài)下混凝土非局部化細(xì)觀損傷模型[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，42（2）：203209.

LIU Hankun，LI Jie.Nonlocal Microdamage Model for Concrete Under Uniaxial Tension[J].Journal of Tongji University：Natural Science，2014，42（2）：203209.

[8]李杰，吳建營，陳建兵.混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

LI Jie，WU Jianying，CHEN Jianbing.Stochastic Damage Mechanics of Concrete Structures[M].Beijing：Science Press，2013.

[9]汪忠明.基于非局部增強(qiáng)梯度模型的混凝土斷裂損傷研究[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2010.

WANG Zhongming.Research on Fracture and Damage Concrete Based on the Enhanced Damage Model[D].Hefei：Hefei University of Technology，2010.

[10]曾莎潔.混凝土隨機(jī)損傷本構(gòu)模型與試驗(yàn)研究[D].上海：同濟(jì)大學(xué)，2012.

ZENG Shajie.Experiment Research on Model for Concrete[D].Shanghai：Tongji University，2012.

[11]李朝紅，王海龍，徐光興.混凝土梁受彎破壞的三維細(xì)觀數(shù)值試驗(yàn)[J].中國公路學(xué)報(bào)，2010，23（2）：5055.

LI Chaohong，WANG Hailong，XU Guangxing.Mesoscopic 3D Numerical Test of Bending Fracture of Concrete Beam[J].China Journal of Highway and Transport，2010，23（2）：5055.

[12]李建波，林皋，陳健云，等.混凝土損傷演化的隨機(jī)力學(xué)參數(shù)細(xì)觀數(shù)值影響分析[J].建筑科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2007，24（3）：712.

LI Jianbo，LIN Gao，CHEN Jianyun，et al.Mesoscopic Numerical Influence Analysis of Random Mechanical Parameter of Concrete Damage Evolution[J].Journal of Architecture and Civil Engineering，2007，24（3）：712.endprint

[13]林皋，李建波，趙娟，等.單軸拉壓狀態(tài)下混凝土破壞的細(xì)觀數(shù)值演化分析[J].建筑科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2007，24（1）：16.

LIN Gao，LI Jianbo，ZHAO Juan，et al.Mesoscopic Numerical Evolution Analysis of Concrete Damage Under Uniaxial Tension and Compression[J].Journal of Architecture and Civil Engineering，2007，24（1）：16.

[14]豐茂東，李建波，林皋，等.隨機(jī)力學(xué)參量對(duì)混凝土細(xì)觀損傷演化的影響[J].建筑科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010，27（4）：16.

FENG Maodong，LI Jianbo，LIN Gao，et al.Influence of Stochastic Mechanical Parameters on Mesodamage Evolution of Concrete[J].Journal of Architecture and Civil Engineering，2010，27（4）：16.

[15]RUDNICKI J W，RICE J R.Conditions for the Localization of Deformation in Pressuresensitive Dilatant Materials[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1975，23（6）：371394.

[16]FEENSTRA P H，DE BORST R，ROTS J G.Numerical Study on Crack Dilatancy.Part 2：Applications[J].Journal of Engineering Mechanics，1991，117（4）：754769.

[17]BAZANT Z P，PIJAUDIERCABOT G.Nonlocal Continuum Damage，Localization Instability and Convergence[J].Journal of Applied Mechanics，1988，55（2）：287293.

[18]BAZANT Z P，JIRASEK M.Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage：Survey of Progress[J].Journal of Engineering Mechanics，2002，128（11）：11191149.

[19]PEERLINGS R H J，DE BORST R，BREKELMANS W A M，et al.Gradient Enhanced Damage for Quasibrittle Materials[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1996，39（19）：33913403.

[20]PEERLINGS R H J，DE BORST R，BREKELMANS W A M，et al.Gradientenhanced Damage Modelling of Concrete Fracture[J].Mechanics of Cohesivefrictional Materials，1998，3（4）：323342.

[21]PEERLINGS R H J，GEERS M G D，DE BORST R，et al.A Critical Comparison of Nonlocal and Gradientenhanced Softening Continua[J].International Journal of Solids and Structures，2001，38（44）：77237746.《工業(yè)建筑》2015年征訂通知

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《工業(yè)建筑》為大16開本，128頁，每月20日出版，國內(nèi)外公開發(fā)行，每期定價(jià)15元，全年共180元。全國各地郵局均可訂閱，郵發(fā)代號(hào)：2825，也可直接匯款到本編輯部訂閱。

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[13]林皋，李建波，趙娟，等.單軸拉壓狀態(tài)下混凝土破壞的細(xì)觀數(shù)值演化分析[J].建筑科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2007，24（1）：16.

LIN Gao，LI Jianbo，ZHAO Juan，et al.Mesoscopic Numerical Evolution Analysis of Concrete Damage Under Uniaxial Tension and Compression[J].Journal of Architecture and Civil Engineering，2007，24（1）：16.

[14]豐茂東，李建波，林皋，等.隨機(jī)力學(xué)參量對(duì)混凝土細(xì)觀損傷演化的影響[J].建筑科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010，27（4）：16.

FENG Maodong，LI Jianbo，LIN Gao，et al.Influence of Stochastic Mechanical Parameters on Mesodamage Evolution of Concrete[J].Journal of Architecture and Civil Engineering，2010，27（4）：16.

[15]RUDNICKI J W，RICE J R.Conditions for the Localization of Deformation in Pressuresensitive Dilatant Materials[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1975，23（6）：371394.

[16]FEENSTRA P H，DE BORST R，ROTS J G.Numerical Study on Crack Dilatancy.Part 2：Applications[J].Journal of Engineering Mechanics，1991，117（4）：754769.

[17]BAZANT Z P，PIJAUDIERCABOT G.Nonlocal Continuum Damage，Localization Instability and Convergence[J].Journal of Applied Mechanics，1988，55（2）：287293.

[18]BAZANT Z P，JIRASEK M.Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage：Survey of Progress[J].Journal of Engineering Mechanics，2002，128（11）：11191149.

[19]PEERLINGS R H J，DE BORST R，BREKELMANS W A M，et al.Gradient Enhanced Damage for Quasibrittle Materials[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1996，39（19）：33913403.

[20]PEERLINGS R H J，DE BORST R，BREKELMANS W A M，et al.Gradientenhanced Damage Modelling of Concrete Fracture[J].Mechanics of Cohesivefrictional Materials，1998，3（4）：323342.

[21]PEERLINGS R H J，GEERS M G D，DE BORST R，et al.A Critical Comparison of Nonlocal and Gradientenhanced Softening Continua[J].International Journal of Solids and Structures，2001，38（44）：77237746.《工業(yè)建筑》2015年征訂通知

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FENG Maodong，LI Jianbo，LIN Gao，et al.Influence of Stochastic Mechanical Parameters on Mesodamage Evolution of Concrete[J].Journal of Architecture and Civil Engineering，2010，27（4）：16.

[15]RUDNICKI J W，RICE J R.Conditions for the Localization of Deformation in Pressuresensitive Dilatant Materials[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1975，23（6）：371394.

[16]FEENSTRA P H，DE BORST R，ROTS J G.Numerical Study on Crack Dilatancy.Part 2：Applications[J].Journal of Engineering Mechanics，1991，117（4）：754769.

[17]BAZANT Z P，PIJAUDIERCABOT G.Nonlocal Continuum Damage，Localization Instability and Convergence[J].Journal of Applied Mechanics，1988，55（2）：287293.

[18]BAZANT Z P，JIRASEK M.Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage：Survey of Progress[J].Journal of Engineering Mechanics，2002，128（11）：11191149.

[19]PEERLINGS R H J，DE BORST R，BREKELMANS W A M，et al.Gradient Enhanced Damage for Quasibrittle Materials[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1996，39（19）：33913403.

[20]PEERLINGS R H J，DE BORST R，BREKELMANS W A M，et al.Gradientenhanced Damage Modelling of Concrete Fracture[J].Mechanics of Cohesivefrictional Materials，1998，3（4）：323342.

[21]PEERLINGS R H J，GEERS M G D，DE BORST R，et al.A Critical Comparison of Nonlocal and Gradientenhanced Softening Continua[J].International Journal of Solids and Structures，2001，38（44）：77237746.《工業(yè)建筑》2015年征訂通知

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