培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力 夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

梁肇方

（白土鎮(zhèn)初級中學(xué)，廣東 高要 526109）

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力 夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

梁肇方

（白土鎮(zhèn)初級中學(xué)，廣東 高要 526109）

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會的進(jìn)步，計(jì)算機(jī)在家庭中的普及率越來越高，學(xué)生對電腦的依賴性起來越強(qiáng)，很多運(yùn)算問題依靠電腦解決，這在無形中削弱了學(xué)生的運(yùn)算能力。21世紀(jì)需要應(yīng)用型、高智能人才，數(shù)學(xué)教師應(yīng)善于在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，夯實(shí)其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

初中數(shù)學(xué)；運(yùn)算能力；分析能力；理解能力；思想方法

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，通過有效的教學(xué)使中學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。新課程標(biāo)準(zhǔn)將培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力作為發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的重中之重。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會的進(jìn)步，計(jì)算機(jī)在家庭中得到普及，學(xué)生在解決許多運(yùn)算問題時(shí)都依賴于電腦，這造成學(xué)生的運(yùn)算能力嚴(yán)重不足。21世紀(jì)需要的是應(yīng)用型、高智能的人才，這就要求我們數(shù)學(xué)教育工作者，在教學(xué)中不僅要向?qū)W生傳授知識，也要注重技能培養(yǎng)，學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)就是其中的重點(diǎn)之一。教師要切實(shí)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，著力培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，努力夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

一、學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)中存在的問題

現(xiàn)在很多學(xué)生過度依賴于計(jì)算器，而且對計(jì)算的重視程度不夠，由此導(dǎo)致中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力普遍較差，其主要表現(xiàn)為運(yùn)算的準(zhǔn)確性差、速度慢以及運(yùn)算的條理性不明。中學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展的滯后，直接制約了其綜合能力的提高。

（一）運(yùn)算準(zhǔn)確度較差

例1 計(jì)算：-34+(5-8)2-2×(-1)3。

錯(cuò)解 原式=81+(-3)2-2×(-1)=81+9+2=92。

分析：此題出錯(cuò)原因在于學(xué)生把-34當(dāng)作了(-3)4，-34表示為34的相反數(shù)，其結(jié)果為-81;(-3)4的結(jié)果則為81。由此看出學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確度較差。學(xué)生在解題時(shí)，一定要注意到“乘方的相反數(shù)”和“相反數(shù)的乘方”之間的異同。

（二）運(yùn)算速度慢

例2 將(-sin30°)-2,這3個(gè)實(shí)數(shù)按從小到大的順序排列，正確的結(jié)果是（ ）

分析:比較這3個(gè)實(shí)數(shù)大小的一般辦法是先計(jì)算出各式的結(jié)果，然后比較其大小。此題計(jì)算時(shí)易出錯(cuò)，且計(jì)算速度較慢；最佳方法是判斷其值的正負(fù)，而不計(jì)算每個(gè)實(shí)數(shù)的結(jié)果。因?yàn)榉?數(shù)的偶次冪為正數(shù)，所以(-sin30°)-2為正數(shù)；因?yàn)榉?數(shù)的零次冪為1，所以的結(jié)果為1；因?yàn)樨?fù)數(shù)的奇次冪為負(fù)數(shù)，因而的結(jié)果為負(fù)數(shù)，所以有，故選C。

（三）運(yùn)算條理不清晰

例3 用因式分解法解方程2(x-2)2=x2-4。

錯(cuò)解 將右邊分解因式，得2(x-2)2=(x+2)(x-2),方程兩邊同除以(x-2)，得2(x-2)=(x+2)，解得x=6。

分析：方程兩邊同乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，方程的解不變。在上面的計(jì)算過程中，方程兩邊都除以(x-2)，但是(x-2)的值可能為0，這種計(jì)算方法會丟掉某一個(gè)解，屬于條理不明晰。

二、學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)

教師如何在教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，是一個(gè)值得深入探究的問題。筆者在教學(xué)中非常重視問題分析以及學(xué)生對概念的理解，注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，旨在通過高效教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果。

（一）善于分析是提高運(yùn)算能力的根本

1.直觀分析。教師應(yīng)通過直觀的圖表、演示、操作等，分析、揭示運(yùn)算的本質(zhì)，使學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識數(shù)學(xué)，掌握好運(yùn)算方法，準(zhǔn)確地分析和解決數(shù)學(xué)問題。直觀分析也是發(fā)展學(xué)生思維能力的方法之一。

例4 筆者在講授“一元二次方程根與系數(shù)”的關(guān)系時(shí)，借助了表1。

表1 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系示例

學(xué)生填寫表1前，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察表1中方程的特點(diǎn)：前4個(gè)方程一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是具體的數(shù)，第5個(gè)方程一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)是字母；5個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)都是1，前4個(gè)方程可用十字相乘法也可用配方法求解，第5個(gè)方程則用配方法求解。分析之后讓學(xué)生動手計(jì)算各題結(jié)果。教師隨后引導(dǎo)學(xué)生觀察計(jì)算結(jié)果：各題的“兩根之和”與“一次項(xiàng)系數(shù)”僅正負(fù)號不同；“兩個(gè)根之積”與“常數(shù)項(xiàng)”完全相同。由此可以直觀比較出“兩根之和”與“一次項(xiàng)系數(shù)”的關(guān)系，以及“兩根之積”與“常數(shù)項(xiàng)”的關(guān)系，并推廣得出一般性“二次項(xiàng)系數(shù)為1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，從而讓學(xué)生深刻理解其關(guān)系的內(nèi)涵，使學(xué)生在直觀中尋找并掌握其運(yùn)算規(guī)律。

2.對比分析。教師在教學(xué)中應(yīng)將多種計(jì)算方法進(jìn)行對照比較，從中啟發(fā)學(xué)生，使其鞏固學(xué)習(xí)成果，理順?biāo)悸?，使學(xué)生的思維能力得到發(fā)展。

分析：此題如果想由已知比例式解出a,b,c的值，然后代入所求代數(shù)式中求值，則是無解的。因?yàn)閍,b,c的具體值根本無法由已知比例式求得，由此可知解此題必須另辟蹊徑。

依照慣例分析，可采用以下解法1。

說明：用此方法計(jì)算時(shí)，設(shè)這些比例的比值為k，得到用k的代數(shù)式表示a,b,c的公式，然后利用a,b,c中都有相同的因式k，對分式約分去掉未知數(shù)k，從而得出結(jié)果。這種數(shù)學(xué)思想方法很重要，對解決許多數(shù)學(xué)問題都有幫助，教師在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生對此進(jìn)行認(rèn)真體會。

解完此題后，教師還要啟發(fā)學(xué)生思考如下問題：除了這一解法，是否還有其他解法？學(xué)生在討論交流后，可得出以下3種解法。

故不妨取特殊值a=2,b=3,c=4,

說明：此方法采取的是特殊值法，即把比例式中的字母取滿足條件且較簡單的特殊值，再將這些值代入所需求值的代數(shù)式中，即可得解。但有一點(diǎn)需提起注意：應(yīng)用該方法給字母取值時(shí)，不具有普遍性，即字母取值本身有多種情況，而此處僅取一特例，讓人覺得過于特殊化，因此這種方法具有一定的局限性，只適用于不需寫過程而只要結(jié)果的填空題或選擇題的解答。從另一方面說，在特殊情況下，此方法也是完全可行的。

再將a和b代入所求代數(shù)式中，得其值為。

說明：此方法是通過已知比例式，把a(bǔ),b,c都化成含c的代數(shù)式表示，代入所需求值的代數(shù)式后，通過分式將字母c約去，從而得出結(jié)果。解此題也可將a,c用含b的代數(shù)式表示，或?qū),c用含a的代數(shù)式表示，之后代入代數(shù)式中求解。

第1，3，4種解法不僅適用于解填空題和選擇題，還適用于需要寫出解題過程的其他題型，具有普遍適用性，學(xué)生容易理解。解法2雖然具有一定局限性，但方法新且計(jì)算速度快，有時(shí)甚至可以不動筆僅略加思考即得到答案，因此與其他方法相比各有千秋。通過對比教學(xué)，可以使學(xué)生認(rèn)識到求代數(shù)式的值可以采用不同方法，有的方法簡捷，有的繁難，但是經(jīng)過這種訓(xùn)練，學(xué)生思考問題的角度得到變換，思維方法得以拓展，這有助于提高學(xué)生思維的靈活性。

3.聯(lián)系分析。將兩個(gè)以上的事物按照一定順序，為達(dá)到一定目的而進(jìn)行細(xì)致的觀察，找出事物之間的聯(lián)系或變化規(guī)律。

對兩項(xiàng)之間的聯(lián)系進(jìn)行分析：

(2)要使兩個(gè)非負(fù)數(shù)的式子之和為0，必須令2x+3y+1=0及x-2y+1=0,從而將兩個(gè)方程聯(lián)立建成方程組，求出x與y的值。

通過聯(lián)系分析，可找到已知等式中二次根式與絕對式內(nèi)兩個(gè)式子的聯(lián)系，從而可求出x與y的值。

4.探究分析。

例7 一個(gè)兩位數(shù)等于其個(gè)位數(shù)的平方，其個(gè)位數(shù)比十位數(shù)大，求這個(gè)兩位數(shù)。

這道題顯然應(yīng)通過列方程組求解，但關(guān)鍵是如何寫出這個(gè)兩位數(shù)。教師可引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行以下探索分析：

12=1×10+2,23=2×10+3,37=3×10+7，…

從而找出寫出這個(gè)兩位數(shù)的方法：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)為y,十位數(shù)為x,則這個(gè)兩位數(shù)可以寫成：10x+y,最終依照題意可以列出方程組進(jìn)而求出這個(gè)兩位數(shù)。

上述這些分析方法都是在數(shù)學(xué)教學(xué)中較為常用的分析方法，教師若能在課堂教學(xué)中有意識地穿插使用這些方法，則對培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力頗有助益。

（二）理解概念是提高運(yùn)算能力的前提

當(dāng)學(xué)生面對數(shù)學(xué)運(yùn)算題時(shí)，要得到正確的運(yùn)算結(jié)果，首先要正確理解概念，熟記重要的公式、法則及定理，準(zhǔn)確無誤是對運(yùn)算的基本要求。正確記憶公式和法則是準(zhǔn)確運(yùn)算的前提，除此之外，還要掌握公式的推導(dǎo)方法。只有理解相關(guān)概念并掌握公式的推導(dǎo)，才能做到對公式的正用、反用和活用，從而提高運(yùn)算能力。教師要讓學(xué)生充分理解和掌握與運(yùn)算相關(guān)的基礎(chǔ)知識，這樣才能減少其運(yùn)算的出錯(cuò)率。

在學(xué)習(xí)分式這部分內(nèi)容時(shí)，教師最好能用與分?jǐn)?shù)類比的方法導(dǎo)出分式概念、分式的基本性質(zhì)與四則運(yùn)算法則，具體引入方法如下：

首先，先引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過的分?jǐn)?shù)概念：兩數(shù)相除，可以表示成分?jǐn)?shù)的形式。例如：。一個(gè)分?jǐn)?shù)由分子、分母和分?jǐn)?shù)線構(gòu)成，分子、分母都是數(shù)，但分母不能是零。由于零不能做除數(shù)，故分母不能為零。分?jǐn)?shù)有正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，如果分子等于零，只要分母不是零(不論是正數(shù)還是負(fù)數(shù))，這個(gè)分?jǐn)?shù)的值即為零。教師可順勢將分?jǐn)?shù)的概念引伸到代數(shù)式中，讓學(xué)生觀察這兩個(gè)式子有什么特點(diǎn)并作出總結(jié)：(1)分式由分子、分母與分?jǐn)?shù)線構(gòu)成；(2)分母中含有字母的就是分式。在很自然地引入分式的概念后，指出分?jǐn)?shù)與分式的區(qū)別所在：分?jǐn)?shù)與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。

其次，教師在講解分式的基本性質(zhì)時(shí)，應(yīng)先引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，由此推想分式的基本性質(zhì)。比如，計(jì)算不同分母分?jǐn)?shù)的加法：,這里先將異分母化為同分母，。這樣運(yùn)算是根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。分式是一般化了的分?jǐn)?shù)，因此，分式應(yīng)該有,這里，A,B,M是整式.根據(jù)分式的概念應(yīng)該要求B≠0,由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)應(yīng)該想到M≠0。由此可得：分式的基本性質(zhì)是分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。

最后，分式的四則運(yùn)算順序也可以類比分?jǐn)?shù)進(jìn)行，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，然后再進(jìn)行乘除運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算，這一順序和步驟正是分式四則混合運(yùn)算的順序和步驟。四則混合運(yùn)算法則概括地說就是：“先乘除，后加減，先進(jìn)行括號內(nèi)運(yùn)算。”

通過對同類知識或不同類知識的比較，可以使學(xué)生對概念的理解更深刻，由此減少學(xué)生因?qū)Ω拍罾斫獠煌笍囟霈F(xiàn)的運(yùn)算錯(cuò)誤，從而強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力。

（三）掌握數(shù)學(xué)思想方法是提高運(yùn)算能力的保證

計(jì)算能力的提高非一朝一夕之功可以成就，它需要長期的培養(yǎng)和訓(xùn)練。這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)計(jì)算能力的教學(xué)，而滲透數(shù)學(xué)思想方法是提高計(jì)算能力最有效、最實(shí)際的教學(xué)手段。只有讓學(xué)生真正掌握了數(shù)學(xué)思想方法，才能提高其運(yùn)算能力，達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)的目的。

在講授完全平方公式時(shí)，教師可先給出以下問題：

例8 一塊邊長為a的正方形，將其邊長增加b米，形成一個(gè)新的正方形，請用不同形式表示新的正方形的面積S。

圖1 示意圖

從圖1中可以看出，直接計(jì)算大正方形的面積，與把大正方形分成一個(gè)小正方形和兩個(gè)長方形面積之和計(jì)算，其結(jié)果是一樣的。采用兩種思路計(jì)算正方形的面積，由面積相等可得出等式成立，由此就能簡明扼要地推導(dǎo)出完全平方和公式：(a+b)2=a2+2ab+b2。

由此可見，對一些難以理解、枯燥無味的字母公式或法則，可以通過數(shù)形結(jié)合的方法得出規(guī)律，這樣可以使學(xué)生更清晰、更直觀地認(rèn)識運(yùn)算公式或法則。例8的解法特點(diǎn)是使用分割面積的數(shù)形結(jié)合方法，幫助學(xué)生直接理解問題，其過程簡明扼要，易懂且易理解，可以使學(xué)生的觀察與分析能力得到鍛煉和提高。

綜上所述，教師在教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，充分激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主動性和積極性。只有這樣，才能培養(yǎng)出具有創(chuàng)造性能力的人才。而創(chuàng)造性人才的培養(yǎng)，不僅關(guān)乎我國科學(xué)技術(shù)水平的提高，也關(guān)系到我國科教興國戰(zhàn)略的成敗。作為人民教師，我們?nèi)沃囟肋h(yuǎn)！

(責(zé)任編輯:陳 靜)

梁肇方,男,廣東省高要市白土鎮(zhèn)初級中學(xué),數(shù)學(xué)中學(xué)一級教師。