藍紫光氮化鎵光子晶體面射型激光器

洪國彬，楊鈞杰，盧廷昌*

(1.臺灣交通大學(xué)光電系，中國臺灣新竹30050;2.臺灣交通大學(xué)光電工程研究所，中國臺灣新竹30050)

1 引言

數(shù)十年來，由于半導(dǎo)體激光器等光電組件研發(fā)技術(shù)的突飛猛進，使得光電科技產(chǎn)業(yè)快速蓬勃發(fā)展。進而促使半導(dǎo)體光電科技工藝追求更快速、微小化、低耗能及高功率輸出等優(yōu)點的組件為研究發(fā)展目標。近十年來，由于光子晶體(Photonic Crystal)具有優(yōu)益的光學(xué)特性，例如:光能隙(Photonic Bandgap)的形成及光子晶體中的波傳調(diào)控［1-3］等因素引起產(chǎn)業(yè)界及學(xué)研機構(gòu)極大的興趣，因而在半導(dǎo)體光電組件領(lǐng)域受到許多專家學(xué)者的關(guān)注。光子晶體可應(yīng)用于主動光電組件的發(fā)展，例如:發(fā)光二極管(Light Emitting Diodes)及光子晶體激光器［4-8］。

半導(dǎo)體光子晶體激光器發(fā)展至今，常見的型態(tài)大致可分成兩類:第一類為光子晶體缺陷型激光器(Photonic Crystal Defect Laser)，其共振腔模態(tài)設(shè)計在光能隙內(nèi)，因此光無法在缺陷以外的區(qū)域存在，使得光只會在此缺陷區(qū)域共振而形成光子晶體缺陷型激光器。此種光子晶體激光器可獲得較高的品質(zhì)因子(Quality Factor)、較小的模體積(ModalVvolume)、較大的珀塞爾效應(yīng)(Purcell effect)及低閾值條件(Threshold Condition)［11-12］。第二類為光子晶體能帶邊緣型激光器(Photonic Crystal Band-edge Laser)，此種激光器操作于平坦的能帶邊緣上，由于光波在能帶邊緣處的群速度趨近于零，在滿足特定布拉格繞射條件下而形成駐波。由于具有特定布拉格繞射的特性，某特定波長的光因需滿足能量與動量守恒而成為垂直面發(fā)射的光，于是此類激光器又稱為光子晶體面射型激光器(Photonic Crystal Surface Emitting Laser，PCSEL)［13-15］。其共振腔可以涵蓋整個光子晶體結(jié)構(gòu)，所形成的駐波在光子晶體內(nèi)振蕩易于與主動層重合，因此，光子晶體面射型激光器除具有大面積出光外，還有單模操作(Single-mode Operation)、低發(fā)散角(Divergence angle)及高功率輸出等優(yōu)點，非常適用于高密度光學(xué)儲存、微投影機光源、生醫(yī)感測以及激光器固態(tài)照明［3，16］。

在1990年初期，由于氮化鎵(GaN)為寬帶隙直接帶隙半導(dǎo)體，在發(fā)光二極管及半導(dǎo)體激光器等領(lǐng)域具有極大的發(fā)展?jié)摿?，對于提升光電組件性能有相當大的幫助，因而成為研究熱點［17-18］。然而早期大多數(shù)的面射型激光器均使用GaAs或InP三元或四元化合物為光子晶體的主要材料［19］，主要原因是GaAs及 InP的結(jié)晶質(zhì)量遠優(yōu)于氮化物材料。除此之外，由于GaAs或InP這類化合物所設(shè)計的激光器波段為0.98～1.55 μm，使得光子晶體的晶格常數(shù)通常大于300 nm，在制作光子晶體時較為容易。相比之下，用于可見光的氮化物系材料所需的光子晶體晶格常數(shù)較小，因而不易制作。直到2008年后才有GaN系列光子晶體面射型激光器的文章被發(fā)表［4-10］。

另一方面，如何建立一套完善且成熟的數(shù)值分析工具用于設(shè)計光子晶體面射型激光器是一項艱難且具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。設(shè)計光子晶體結(jié)構(gòu)時，必須先確定使用的晶格常數(shù)、晶格種類(如:六角晶格、四角晶格、蜂巢晶格或其它類光子晶體)、光子晶體材料的折射率及其結(jié)構(gòu)圖案(邊界形狀)，進而計算出光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)及閾值增益(threshold gain)等光子晶體激光器特性。目前常見的計算光能帶結(jié)構(gòu)及閾值增益的方法有:平面波展開法(plane wave expansion method)［20］、傳輸矩陣法(transfer matrix method)、耦合波理論(coupled wave theory)［21］、時域有限差分法(finitedifference time-domain)［22］及多重散射法(multiple scattering method)［23］等。而上述幾種方法各自有其優(yōu)點及極限，例如:平面波展開法受限于無限周期性晶格，對于實際光子晶體并不適用。傳輸矩陣法僅適合一維的層狀結(jié)構(gòu)。耦合波理論可以快速求得閾值條件，但對于邊界條件須另外處理;而時域有限差分法則是存在消耗大量計算機資源及計算時間較久的問題;反觀多重散射法雖僅適用圓形孔洞之光子晶體，但此法相較于其它方法具有許多優(yōu)點，如計算時間短，可計算各種晶格之閾值增益及數(shù)值結(jié)果較為準確等。因此，本文除采用平面波展開法計算能帶結(jié)構(gòu)外，主要使用多重散射法探討光子晶體面射型晶格常數(shù)、邊界形狀及晶格種類等對激光器特性的影響。同時與光子晶體激光器的實驗測量結(jié)果進行比較。

本文主要研究內(nèi)容架構(gòu)大致如下:第2節(jié)主要針對多重散射法進行簡單的說明及推演;第3節(jié)講述GaN光子晶體面射型激光器的制作流程包含分布式布拉格反射器(Distributed Bragg Reflector，DBR)及光子晶體結(jié)構(gòu)，并介紹激光器特性的光學(xué)量測系統(tǒng);第四節(jié)探討光子晶體晶格常數(shù)、邊界形狀及晶格種類對閾值增益、發(fā)散角及偏振度等激光器特性的影響，同時將多重散射法求得的閾值增益與實驗測量結(jié)果比較;最后總結(jié)全文所探討內(nèi)容與重要發(fā)現(xiàn)。

2 多重散射法

此節(jié)主要介紹多重散射法的理論推演［24］。假設(shè)二維光子晶體材料性質(zhì)具有各向同性且由均勻的增益介質(zhì)所構(gòu)成，此增益介質(zhì)稱為材料B，而介質(zhì)中存在一些圓柱形散射體稱為材料A。因材料B為增益介質(zhì)，故介電常數(shù)為復(fù)數(shù)形式，其表示式為:

式中，εb為材料B隨光波頻率ω變化之介電常數(shù)。材料B的波數(shù)(wave number)為kB=kbik″b，其中 k″b為增益系數(shù)。若視主動層產(chǎn)生的光波進入光子晶體前的光為空間中的光波源，并將此波源所在位置定義為二維坐標系統(tǒng)的原點，如圖1所示。

圖1 光子晶體結(jié)構(gòu)及點波源示意圖Fig.1 Schematic drawing of photonic structure and light source

當空間中的散射體被坐標原點的頻率為ω的單頻波(monochromatic wave)所照射，這個單頻波碰觸到散射體后，會因散射體產(chǎn)生散射波向外傳播而形成新的波源。而散射體產(chǎn)生的散射波會在各散射體間不斷地來回產(chǎn)生多次散射，最后達到穩(wěn)定狀態(tài)。因此在空間中，位置r的P點接收到第j個散射體所散射出來的散射電場可表示成:

由于入射波在rj處不能有奇異點，于是入射波僅能用第一類貝塞爾函數(shù)(Bessel function)迭加展開。因此，第 i個(i=1，2，…，N;i≠j)散射體外的總?cè)肷潆妶隹杀硎境?

式中，Jn為第一類貝塞爾函數(shù)為散射體外入射電場的展開系數(shù)。因此，第i個散射體外的總電場為:

同理，第i個散射體內(nèi)的總電場可表示成:

接著，將散射體內(nèi)外的總電場可透過電場及其導(dǎo)數(shù)在散射體邊界處連續(xù)的條件，并求解聯(lián)立方程組則可獲得待定系數(shù)間的關(guān)系式:

式中，g=f(kB/kA)，f為材料A及B介電常數(shù)的比值。h=kA/(gkB)，ai為第i個散射體的半徑。由式(6)及式(7)得知，若能求得系數(shù)，即可求得散射場內(nèi)外的電場。于是將入射波源及式(2)透過貝塞爾函數(shù)及漢克爾函數(shù)的加法定理(addition theorem)［25］，并配合式(3)則可整理出下式:

將式(6)及式(8)代入式(10)，則可整理成:

式(13)可整理成 MA=T的形式，因此，透過式(13)求得A，即n階展開階數(shù)，則散射體內(nèi)外的電場將可由下列二式求得。

此外，若A/T的值為發(fā)散，則達到激光器振蕩條件，因此，可由求解復(fù)數(shù)行列式方程det(M)=0獲得一組閾值增益及經(jīng)由k=ω/c得到歸一化頻率。

3 光子晶體激光器制作與測量系統(tǒng)

本節(jié)主要講述光子晶體面射型激光器的制作流程及光學(xué)測量系統(tǒng)。制作流程可分成兩個部分:一為氮化物布拉格反射器的生長;二為光子晶體結(jié)構(gòu)的制作。

3.1 布拉格反射器及微共振腔制作流程

氮化物布拉格反射器及微共振腔的制作使用有機金屬化學(xué)氣相沉積法(metal-organic chemical vapor deposition)將此二結(jié)構(gòu)生長在藍寶石基板上，其生長過程及實驗參數(shù)如下:首先，基板加熱到1 100℃持續(xù)5 min作高溫清潔處理，然后將溫度降至500℃，并在基板上生長一層30 nm的GaN成核層(nucleation layer)。接著將溫度再次提高至1 100℃以生長2 μm厚的GaN緩沖層(buffer layer)。之后同樣在1 100℃的高溫下生長25(或35)層的1/4λAlN/GaN布拉格反射器，并在DBR上方生長厚度約7個波長的微共振腔。此微共振腔的組成依序為560(或675)nm厚摻雜Si的n型GaN、10 層 In0.2Ga0.8N/GaN 量 子 阱 (quantum well)、24 nm的AlGaN作為電子阻擋層(Electron Blocking Layer)及最后再長上一層 200(或115)nm厚摻雜Mg的p型GaN。在生長布拉格反射器時，在這25層結(jié)構(gòu)中穿插生長AlN/GaN超晶格(Superlattice)，這樣有助于釋放生長布拉格反射器時所產(chǎn)生的應(yīng)變。且可進一步改善布拉格反射器界面的質(zhì)量及提升反射率。除此之外，AlN/GaN布拉格反射器用途為扮演低折射率的角色將光場局限在主動層中。而AlGaN電子阻擋層的作用在于減少電子跑出p型氮化鎵層外。

3.2 光子晶體結(jié)構(gòu)制作流程

生長完布拉格反射器及微共振腔后，光子晶體激光器結(jié)構(gòu)最重要的部分就是如何在磊晶晶圓上制作光子晶體。以下就光子晶體面射型激光器結(jié)構(gòu)中，光子晶體納米結(jié)構(gòu)的制作流程加以說明。

制作光子晶體的步驟為:先在已生長布拉格反射器及微共振腔的晶圓上使用等離子體增強化學(xué)氣相沉積(PECVD)生長200 nm厚的SiNx，然后在SiN上長一層150(或200)nm的聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)。為了在GaN上制作納米級的周期性孔洞結(jié)構(gòu)，先以電子束光刻(Electron Beam Lithography)在PMMA的表面定義出光子晶體的晶格常數(shù)、晶格種類及邊界形狀。接著以感應(yīng)耦合等離子體干式蝕刻(Inductively Coupled Plasma Reactive Ion Etching，ICP-RIE)將光子晶體圖案轉(zhuǎn)印至GaN。即在p型GaN干蝕刻出孔洞，其深度約為400 nm。然后依序利用丙酮去除聚甲基丙烯酸甲酯，再用二氧化硅蝕刻液(BOE)將SiN洗掉，便完成光子晶體的制作。其中ICP-RIE蝕刻的深度為400 nm主要是為了將蝕刻出的孔洞穿過多層量子阱以達到光子晶體與主動層的耦合效應(yīng)。經(jīng)過上述的制作流程，最后制作出的光子晶體面射型激光器結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖3為六角晶格、四角晶格及蜂巢晶格的掃瞄式電子顯微鏡(Scanning Electron Microscopy，SEM)影像圖。本文后續(xù)將針對這3種晶格的光子晶體對激光器特性之影響加以分析與討論。

圖2 光子晶體面射型激光器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Scheme of PCSEL structure

圖3 光子晶體結(jié)構(gòu)電子顯微鏡影像Fig.3 SEM images of photonic crystal structure

3.3 激光器特性測量系統(tǒng)

當光子晶體激光器結(jié)構(gòu)制作完成后，則可透過光學(xué)測量系統(tǒng)，測量光子晶體激光器的激光光譜，角度解析光致發(fā)光、發(fā)散角等，了解光子晶體激光器基本模態(tài)的行為與特性。本文主要介紹的測量系統(tǒng)為角度解析光致發(fā)光系統(tǒng)(Angular-Resolved Photoluminescence，ARPL)，其系統(tǒng)設(shè)置如圖4所示。

圖4 角度解析光致發(fā)光系統(tǒng)Fig.4 Angular-resolved photoluminescence system

此系統(tǒng)主要由兩個光激發(fā)源所構(gòu)成:一為三倍頻摻釹釩酸釔(Nd∶YVO4)355 nm脈沖激光器，其脈沖寬度為0.5 ns，重復(fù)率為1 kHz;二為325 nm的氦鎘(He-Cd)連續(xù)波激光器。由改變此兩種激光器光束照射至光子晶體的角度達到角度解析的目的，其變化角度為0～60°，最小可變動角度為0.5°。激光器光點大小約為50 μm，可以完整覆蓋整個光子晶體。當上述兩種激光器光束照射至光子晶體激光器結(jié)構(gòu)，并激發(fā)多層量子阱后所產(chǎn)生的光，由放大倍率為15倍及數(shù)值孔徑(Numerical Aperture，NA)為0.32的物鏡收集并過濾掉激光后，經(jīng)由光纖(纖芯600 μm)將信號送至電荷耦合組件(Charge-Coupled Device)進入光譜計(spectrometer)形成一高分辨率的圖像，此光譜計的解析能力為0.07 nm。

4 數(shù)值分析與實驗測量結(jié)果

本文成功生長并制作各種晶格常數(shù)、邊界形狀及晶格種類之GaN光子晶體面射型激光器結(jié)構(gòu)，并通過光學(xué)測量系統(tǒng)，測得相關(guān)激光器特性，如閾值增益、發(fā)散角、偏振度等。利用平面波展開法獲得光子晶體的光能帶結(jié)構(gòu)及多重散射法求得光子晶體的閾值增益，并與實驗結(jié)果比較，其結(jié)果與實驗測得的閾值增益相吻合。由此說明，本文提出的多重散射法作為設(shè)計光子晶體激光器結(jié)構(gòu)的數(shù)值方法可靠。接下來將針對光子晶體的晶格常數(shù)、邊界形狀及晶格種類之GaN光子晶體面射型激光器特性的影響加以探討與說明。

4.1 晶格常數(shù)的影響

此節(jié)為探討光子晶體的晶格常數(shù)對激光器特性的影響。光子晶體制作之參數(shù)為六角晶格，如圖5所示。其晶格常數(shù)(a)為190～300 nm，圓柱孔洞半徑(r)與晶格常數(shù)之比值(r/a)固定為0.28。光子晶體邊界形狀為圓形，其直徑約為50 μm。

圖5 六角晶格于實空間及倒置空間示意圖Fig.5 Schematic diagram of the hexagonal lattice in real and reciprocal spaces

圖6為室溫下測得的激光光強隨激發(fā)能量密度變化圖，樣品所對應(yīng)之晶格常數(shù)為290 nm。從圖中可清楚地看出激光器的閾值條件激發(fā)能量密度為3.5 mJ/cm2，其對應(yīng)的峰值功率密度為7 MW/cm2。當激發(fā)能量超過閾值條件，激光器的光強度則隨之迅速增強。

圖6 激光器光輸出強度Fig.6 Output intensity versus excitation energy density

圖7 (a)1.33 倍;(b)1.17 倍;(c)1.00 倍;(d)0.66及(e)0.33倍之閾值能量時的激光器發(fā)射光譜Fig.7 Emission spectra of(a)1.33εth，(b)1.17εth，(c)1.00εth，(d)0.66εth，and(e)0.33εth，respectively

圖7為室溫下不同激發(fā)能量的激光器發(fā)射光譜，圖中(a)～(e)分別表示1.33～0.33倍的閾值能量密度(εth)。從此圖中可看出，光子晶體激光光譜只有一個峰值，其峰值波長為424.3 nm，半高寬(FWHM)為0.11 nm。值得注意的是，此單模激光僅出現(xiàn)在光子晶體圖案區(qū)域內(nèi)。另一方面，在無光子晶體的區(qū)域中，當激發(fā)能量密度超過光子晶體激光器閾值能量密度兩倍或以上時，始發(fā)出多個峰值的光譜，推測其共振腔是由底層布拉格反射器與GaN/空氣界面所形成的反射器所構(gòu)成，說明了光子晶體面射型激光器與傳統(tǒng)垂直共振面射型激光器的差異，光子晶體可使激光器結(jié)構(gòu)產(chǎn)生單模操作的特性。

圖8為歸一化頻率(a/λ)隨晶格常數(shù)變化圖，圖中圓點為各晶格常數(shù)激光的歸一化頻率，其對應(yīng)的激光波長為401～425 nm。結(jié)果表明，歸一化頻率隨晶格常數(shù)變大而增大，且變化呈現(xiàn)不連續(xù)的步階函數(shù)狀分布。而實線為r/a=0.28的條件下所計算出光子晶體TE模態(tài)能帶結(jié)構(gòu)圖。比較圓點與能帶結(jié)構(gòu)可發(fā)現(xiàn)，不同晶格常數(shù)的激光出現(xiàn)在不同的能帶邊緣處，如圖中虛線所示。這些步階狀分布的圓點恰巧對應(yīng)至倒置晶格第一布里淵區(qū)(Brillouin zone)中的Γ點、K點及M點(如圖5(b)所示)。主要是因為這些特殊方向上的晶格點易滿足布拉格繞射條件及有較高的狀態(tài)密度(density of state)所致。

接下來探討光子晶體激光器的晶格常數(shù)為190～260 nm，且r/a由0.18變化至0.3。同圖8的分析，光子晶體激光的歸一化頻率可分成3個區(qū)段，分別為0.48、0.56及0.59，其對應(yīng)的晶格常數(shù)為190、210及230 nm。本文將對應(yīng)至Γ點、K點及M點上的模態(tài)定義為Γ1模態(tài)、K2模態(tài)及M3模態(tài)。并透過ARPL系統(tǒng)沿著Γ-K及Γ-M方向(如圖5(b)所示)測量光子晶體的繞射圖案，進而了解光子晶體激光器的垂直面發(fā)射特性。

圖8 歸一化頻率隨晶格常數(shù)變化圖Fig.8 Normalized frequency a versus the lattice constant

圖9 Γ1模態(tài)之角度解析光致發(fā)光光譜Fig.9 Measured ARPL diagram near the Γ1mode

圖9為透過ARPL系統(tǒng)測量的Γ1模態(tài)的繞射圖案，圖中虛線為Γ點附近的能帶結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果。由于YVO4脈沖激光器的激發(fā)能量較高，可以清楚看出光子晶體激光器垂直面射的角度接近激光器結(jié)構(gòu)表面的法線方向。另外，YVO4脈沖激光器因激發(fā)能量太強，激發(fā)光譜中無法明顯觀察到繞射線。然而，若使用He-Cd連續(xù)波激光器激發(fā)，其光譜中便可清楚地看到繞射圖案。圖中微向上彎曲曲線的產(chǎn)生，是由于激光器垂直方向上的p-i-n GaN層及氮化物布拉格反射器產(chǎn)生的干涉而衍生出法布里-珀羅效應(yīng)(Fabry-Perot effect)所造成。除此之外，在圖中可觀察到一些不同斜率的繞射線，這些線代表著不同的繞散模態(tài)，其中一些繞射線與仿真結(jié)果(如虛線)匹配。而那些具有相同斜率的繞射線指的是光子晶體平面方向的波導(dǎo)模態(tài)。另一方面，從模擬結(jié)果得知，在Γ點附近應(yīng)有4個相似的能帶邊緣模態(tài)，但是ARPL只觀察到主要的激光峰值出現(xiàn)在第二低的能帶邊緣，而次要的峰值出現(xiàn)在最低的能帶邊緣。主要是此兩能帶邊緣模態(tài)的光場相較于另兩個較高的能帶邊緣模態(tài)與主動層的耦合較強，因而在光學(xué)測量上無法同時觀察到這四個態(tài)模同時產(chǎn)生。同樣地，在K點及M點的角度解析光致發(fā)光也有類似圖9的情況。

圖10為Γ1、K2及M3模態(tài)的發(fā)射角度和發(fā)散角度之比較圖，由此圖可清楚地了解不同模態(tài)發(fā)射角度與發(fā)散角度的差異。這3種模態(tài)的激光發(fā)射角度分別為 0°、29°及 59.5°，其所對應(yīng)的發(fā)散角分別為1.2°、2.5°及2.2°。從發(fā)射角度的測量中可發(fā)現(xiàn)，測量結(jié)果與布拉格繞射機制理論值吻合。然而，K2及M3模態(tài)的發(fā)射角度與理論值(30°及61.87°)有著微小的差異，特別是M3模態(tài)。主要是因為ARPL系統(tǒng)部分組件在對齊樣品上有一些困難，因而測量結(jié)果可能存在1°～2°的偏差。另外，圖中K2及M3模態(tài)的光譜存在一些次要峰值，主要是因為K2及M3模態(tài)需較高的閾值增益才能激發(fā)出這些模態(tài)，因而較高的激發(fā)能量使得其它在氮化鎵層及基板傳播的波導(dǎo)模態(tài)出現(xiàn)在光譜上。

圖10 Γ1、K2及M3模態(tài)之發(fā)射角度和發(fā)散角度Fig.10 Emission and divergence angles of Γ1，K2，and M3modes

以上結(jié)果說明光子晶體的晶格常數(shù)對激光器模態(tài)(Γ1、K2及M3)的產(chǎn)生有著極大的影響。這表示可由改變晶格常數(shù)的方式達到調(diào)變激光器模態(tài)的行為。另外值得注意的是，不論是何種模態(tài)，本文所制作的光子晶體激光器驗證了光子晶體激光器具有單模操作及低發(fā)散角的優(yōu)點。

4.2 邊界形狀的影響

此節(jié)將介紹光子晶體邊界形狀對光子晶體激光器的特性影響。本節(jié)所探討的激光器結(jié)構(gòu)的光子晶體由六角晶格組成，其晶格常數(shù)為190 nm，而孔洞半徑與晶格常數(shù)之比值(r/a)為0.3。制作光子晶體激光器結(jié)構(gòu)時，光子晶體的邊界形狀可分成圓形及六角形兩種，其各自的電子顯微鏡影像如圖11所示。

圖11 光子晶體電子顯微鏡影像Fig.11 SEM images of photonic crystal

圖12 光能帶結(jié)構(gòu)及歸一化頻率Fig.12 Photonic band diagram normalized frequencies

圖12為平面波展開法求得Γ點附近之能帶結(jié)構(gòu)與多重散射法求得的歸一化頻率。由能帶結(jié)構(gòu)圖可發(fā)現(xiàn)，在Γ點附近共有4個主要的共振模態(tài)，如圖12(a)中標示的A至D，其中模態(tài)B及D為雙重簡并模態(tài)。而使用多重散射法計算出之歸一化頻率亦有4個共振模態(tài)，如圖12(b)中4條曲線。從圖12(b)可看出，當計算時的殼層數(shù)(如圖5(a)之虛線圈數(shù))大于20時，此4個模態(tài)的歸一化頻率即收斂至定值，且此4個模態(tài)分別對應(yīng)至圖12(a)中的模態(tài)A、B、C及D。特別值得一提的，多重散射法求得的模態(tài)B與C的歸一化頻率隨著殼層數(shù)增加時有紅移及藍移的現(xiàn)象。其原因為模態(tài)B靠近Γ點附近的能帶曲線為開口向上，而模態(tài)C則是開口向下。同理，模態(tài)A與D附近的能帶變化為開口向下及向上，當殼層數(shù)增加時具有藍移與紅移的行為。由圖12了解平面波展開法與多重散射法之間的關(guān)系與差異后，接下來將使用多重散射法計算光子晶體的閾值增益。

圖13為閾值增益隨填充因子(filling factor)變化關(guān)系圖。計算閾值增益時，采用有效介電常數(shù)法［26-27］求得空氣圓柱及GaN的有效介電常數(shù)，并代入多重散理論模型進而求得模態(tài)A至D的歸一化頻率。其有效介電常數(shù)的計算方式為Δε =εb－εa，f為填充因子，Ω =0.865為限制因子(confinement factor)及neff=2.482為有效折射率。經(jīng)由上述的計算，當 r/a=0.3時，可求得εb=7.484及 εa=3.065，其中 εb為 GaN 光子晶體之介電常數(shù)的實部，如式(1)的實數(shù)部分，而εa則是空氣圓柱的等效介電常數(shù)。

圖13 閾值增益隨填充因子變化曲線Fig.13 Threshold gain as a function of the filling factor

從此圖可發(fā)現(xiàn)，4個模態(tài)ABCD的最小閾值增益出現(xiàn)在填充因子為35%、30%、10%及15%時。此結(jié)果說明制作光子晶體時，填充因子可作為調(diào)控激光器操作模態(tài)的控因，即選擇特定的填充因子后便決定了激光的操作模態(tài)。另外，從角度解析光致發(fā)光光譜發(fā)現(xiàn)，光子晶體激光器操作于Γ點附近的模態(tài)B，其結(jié)果與多重散射法的分析結(jié)果相匹配。其理由為本節(jié)所探討的光子晶體的填充因子約為32.6%，而從圖13得知，當填充因子接近30%時，模態(tài)A與B有最小的閾值增益。并承上節(jié)ARPL的測量結(jié)果，Γ點附近僅有Γ1模態(tài)出現(xiàn)。且由于模態(tài)A的頻率與主動層增益峰值之位置有較大的偏移量，于是模態(tài)A與主動層的耦合較差，因而ARPL的測量無法觀察到模態(tài)A的存在。

圖14 激光輸出強度Fig.14 Output intensity versus excitation energy

由上述結(jié)果了解激光將操作于何種模態(tài)后，然后將比較不同邊界形狀的光子晶體激光器特性的差異。由激光器發(fā)射光譜的測量得知圓形邊界與六角形邊界的激光器波長分別為403 nm與406 nm，其光譜的半高寬為0.25 nm與0.28 nm。此外，圖14為圓形邊界與六角形邊界的光子晶體激光器的激光輸出光強度隨激發(fā)能量密度的變化曲線，其激光強度在室溫下由光點大小為50 μm的355 nm YVO4脈沖激光器所激發(fā)。其結(jié)果顯示，圓形邊界與六角形邊界的閾值激發(fā)能量密度為2.8 mJ/cm2與3.1 mJ/cm2。同時，在相同參數(shù)下，多重散射法求得的閾值增益分別為2.784×10－3及 3.798 ×10－3。實驗測量及理論計算的結(jié)果呈現(xiàn)了圓形邊界之光子晶體有較小的閾值條件。其原因可能為圓形邊界的光子晶體，因圖形的對稱性提供光在光子晶體內(nèi)有較多的對稱性反射，進而容易達到激光器閾值。

上述結(jié)果說明了多重散射法的模擬與實驗結(jié)果相吻合，非常適用于設(shè)計光子晶體激光器結(jié)構(gòu)。同時，光子晶體的邊界形狀對激光器波長及其半高寬的影響似乎無顯著的變化。相較于六角邊界，采用圓形邊界其激光器閾值能量約可降低0.3 mJ/cm2。

4.3 晶格種類的影響

本節(jié)為比較不同晶格種類的差異，針對六角晶格、四角晶格、蜂巢晶格的晶格常數(shù)加以設(shè)計，使得這3種晶格具有相同的激光波長。因此，這3種晶格在具有相同的倒置晶格向量的條件下，其晶格常數(shù)的比例為 3.464∶3∶2［9］，而實際制作之光子晶體的晶格常數(shù)分別為 176、150及100 nm，其邊界形狀為圓形，直徑約為40 μm。

圖15 激光器光輸出強度Fig.15 Emission intensity as a function of the pumping energy

圖15為在室溫下不同晶格的激光輸出強度隨激發(fā)能量密度的變化曲線。由此圖可知六角晶格、四角晶格、蜂巢晶格的激光閾值條件分別為2.3、3.8及1.6 mJ/cm2。在此3種晶格中，蜂巢晶格的閾值能量密度最小。主要原因為靠近能帶邊緣處的光能帶較其它晶格平坦，使得蜂巢晶格有較高的光子狀態(tài)密度。因此，蜂巢晶格有較多的光子與主動層交互作用而使閾值條件降低［28-30］。

當激發(fā)能量高于閾值條件，則可測得激光光譜，如圖16所示。在室溫下測得六角晶格、四角晶格及蜂巢晶格的激光波長為別為391.4、391.7及393.8 nm。此數(shù)據(jù)說明了，這3種晶格之激光器結(jié)構(gòu)操作在相似的光學(xué)增益范圍。依據(jù)各晶格之晶格常數(shù)所計算出歸一化頻率分別為0.447、0.383及0.254。這些光子晶體激光器操作于Γ點能帶邊緣［24］，與本文設(shè)計相當接近。

圖16 激光器光發(fā)射光譜Fig.16 Emission spectra for different lattice types

圖17為3種晶格的閾值能量密度實驗測量值及多重散射法求得的閾值增益。由閾值能量密度實驗值可以看出，蜂巢晶格的閾值能量較低，且六角晶格及四角晶格的閾值能量分布范圍較蜂巢晶格大。相較于實驗值，使用多重散射法時，空氣圓柱與GaN的有效拆射率分別為1.87及2.65，在此參數(shù)下計算出Γ1模態(tài)閾值增益。結(jié)果顯示蜂巢晶格的閾值增益在三者之中最小，而四角晶格的閾值增益最大，與實驗結(jié)果有相同的趨勢。

圖17 閾值能量密度實驗值及閾值增益理論值Fig.17 Measured threshold energy densities and theoretical threshold gains

圖18 Γ1模態(tài)之發(fā)散角Fig.18 Divergence angles of Γ1mode

圖18為六角晶格、四角晶格及蜂巢晶格的發(fā)散角測量結(jié)果，其實驗測量的角度分辨率為0.5°。測量結(jié)果顯示，這3種晶格的發(fā)散角分別為1.7°、2.2°及 1.3°。這些數(shù)據(jù)說明，此 3 種晶格的激光垂直于激光器結(jié)構(gòu)的表面。依據(jù)多方向分布反饋(Multidirectional Distributed Feedback)原理，若光子晶體面射型激光器垂直出光，即表示此激光器操作于Γ點能帶邊緣。此結(jié)果驗證了本文的設(shè)計，同時，從測量結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，蜂巢晶格的發(fā)散角最小。其原因可歸究于倒置空間中k向量的耦合。圖18的插圖為蜂巢晶格的倒置晶格，其箭頭為倒置空間k向量。由于晶格結(jié)構(gòu)的不同，蜂巢晶格比六角晶格及四角晶格有較多的倒置空間k向量，使其易于滿足特定布拉格繞射條件而形成垂直面射出光的情況，因而蜂巢晶格有較小的發(fā)散角。

圖19為六角晶格的極化曲線測量結(jié)果，圖中黑點為實驗值。四角晶格及蜂巢晶格也有相似的結(jié)果。本文為了解激光偏振程度(Degree of Polarization，DOP)，依據(jù)極化曲線量的測量結(jié)果可求得六角晶格、四角晶格及蜂巢晶格的偏振度分別為73%、70%及86%。

圖19 六角晶格之極化曲線Fig.19 Measured polarization curves of hexagonal lattice

一般而言，對于GaN光子晶體面射型激光器，因倒置空間k向量提供的對稱反饋機制使其偏振度較低。然而，實驗結(jié)果呈現(xiàn)3種晶格的偏振度高達70%以上，其中以蜂巢晶格為最高。原因可能為激光器結(jié)構(gòu)本身存在一些缺陷及光子晶體的周期性不夠完美，造成本應(yīng)提供對稱反饋的k向量，無法在對稱的晶格點上產(chǎn)生相同的繞射，而是在其它方向上產(chǎn)生繞射反饋，因而使得激光的偏振度相對提高。

5 結(jié)論

本文成功制備了GaN光子晶體面射型激光器結(jié)構(gòu)，并由角度解析光致發(fā)光系統(tǒng)分析光子晶體面射型激光器的光學(xué)特性。同時，使用平面波展開法及多重散射法計算光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)與閾值增益。實驗結(jié)果顯示，由改變光子晶體的晶格常數(shù)即可達到調(diào)變激光器發(fā)光模態(tài)的目的。此外，光子晶體的邊界形狀對激光波長及半高寬的影響并無顯著的改變。相較于六角邊界，采用圓形邊界約可降低約0.3 mJ/cm2的閾值能量。另一方面，比較晶格種類對激光器特性的影響中發(fā)現(xiàn)，蜂巢晶格具有較小的激發(fā)能量密度(1.6 mJ/cm2)及發(fā)散角(1.3°)，但激光的偏振度高達86%。反觀四角晶格的激發(fā)能量密度(3.8 mJ/cm2)及發(fā)散角(2.2°)為三者之中最大，且偏振度為70%。而六角晶格則介于兩者之間，偏振度與四角晶格相似，但激發(fā)能量密度只有四角晶格的60%。在理論計算方面，多重散射法的模擬與實驗結(jié)果相吻合，非常適用于設(shè)計光子晶體激光器結(jié)構(gòu)。綜上所述，光子晶體面射型激光器將有益于高功率低閾值激光器的發(fā)展。同時本文的激光器制作流程及多重散射法在未來可應(yīng)用于GaAs、InP及ZnO等半導(dǎo)體光子晶體激光器，作為快速設(shè)計與制作的依據(jù)。

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