例談消元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

秦國清

現(xiàn)在有很多人關(guān)注高考，在研究高考試題，復(fù)雜多樣的高考試題因而能充塞整個(gè)課堂.尤其是近年來，數(shù)學(xué)試題的情景設(shè)置變得陌生異常，讓我們的老師也跟著躁動(dòng)起來.高三復(fù)習(xí)時(shí)，部分老師標(biāo)新立異，過分追求試題解法的“獨(dú)特新穎、多樣快捷”，而忽視了對基礎(chǔ)知識(shí)的梳理和對基本思想方法的訓(xùn)練，舍本求末，讓人感覺有“矯揉造作”的痕跡.這樣的復(fù)習(xí)根本無法給學(xué)生打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)生囫圇吞棗，根基不牢，又何談培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？

本文筆者將結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，以消元法為例，具體談?wù)勅绾卫没緮?shù)學(xué)思想方法解題.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中必不可少的一部分，也是探索許多問題的出發(fā)點(diǎn)，至關(guān)重要.消元法屬于化歸（轉(zhuǎn)化）思想的范疇，是實(shí)施化歸思想的一種重要方式及手段.它在幫助學(xué)生解決函數(shù)與方程、不等式及線性規(guī)劃、三角與向量、數(shù)列、解析幾何等問題中有著廣泛的應(yīng)用.

一、遵循統(tǒng)一原則，直接消元

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常運(yùn)用化歸思想中的和諧統(tǒng)一原則，將條件和結(jié)論中的一些要素結(jié)合起來，在量與形的關(guān)系上向趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行，采取直接消元的方法解決問題.

例1（1）已知函數(shù)f（x）=|2x-3|，若0<2a

思路分析從已知條件和函數(shù)圖象中可得出一些不等關(guān)系0<2a<32，

32

b+1>2a，來限制a、b兩個(gè)變量，而由絕對值函數(shù)解析式可推出a與b的內(nèi)在聯(lián)系：3-4a=4b+3.由此自然想到用消元法消去其中一個(gè)變量，得到T=3a2-2a的二次函數(shù)關(guān)系式，再由a的雙重限制條件得出0

（2）在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，設(shè)B=2A，則ba的取值范圍為.

思路分析不難看出所求結(jié)果可由正弦定理可變?yōu)閟inBsinA，而B=2A，直接代入消元得：sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cosA，下面在確定A的范圍時(shí)，一定要放到銳角三角形中.雖然A，B，C三個(gè)變量，但我們可利用消元法得到B=2A<π2，

C=π-3A<π2.所以π6

（3）如圖，P點(diǎn)坐標(biāo)（2，0），OP為△ABC的中線，Q為圓x2+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，求（OA+OP+PB）·OQ的最小值.

思路分析首先看出所求結(jié)果表達(dá)式中的OP+PB可以用一個(gè)向量OB替代，從而減少向量的個(gè)數(shù)，得到（OA+OB）·OQ，在利用三角形中中線向量的結(jié)論代入消元，使OA+OB變?yōu)橐粋€(gè)向量2OP，即可求出2OP·OQ=2|OP||OQ|cosα=0，α為夾角等于π2時(shí)，取最小值0.

（4）已知兩正數(shù)x，y滿足x+y=1，則z=（x+1x）（y+1y）的最小值為.

思路分析 學(xué)生展開表達(dá)式（x+1x）（y+1y）可得xy+xy+yx+1xy，此時(shí)，想用基本不等式，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)基本不等式等號不能同時(shí)取到，學(xué)生困惑之時(shí)，有學(xué)生提出直接將y表示為1-x（0

二、整體把握感知，間接消元

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常要求學(xué)生去感知出題者的意圖，整體把握解題的方向.這里常涉及到間接消元的思想方法，如以換元或構(gòu)造的形式手段來實(shí)現(xiàn)降元、消元的目的.

例2（1）已知a2+8b2≥b（a+b）對于任意a，b∈R恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.

思路分析本題出現(xiàn)多元，如何解決？出題者意圖明顯，就是要千方百計(jì)變換成一個(gè)主元的形式，這就要采取新的方式來消元.可先移項(xiàng)整理：a2-λab+（8-λ）b2≥0.將不等式兩邊同除以b2（b=0時(shí)恒成立），得：（ab）2-λ（ab）+（8-λ）≥0，變?yōu)榱艘粋€(gè)以（ab）為整體主元的一元二次不等式的形式，由判別式易得-8≤λ≤4.

以上解題技巧方法，也常用于解析幾何中，如已知a，b，c關(guān)系式來求離心率e的范圍.

（2）（2013年江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2，若d2=6d1，則橢圓C的離心率為 .

解析過程如圖，l：x=a2c，d2=a2c-c=b2c，由等面積得：d1=bca.若d2=6d1，則b2c=6bcc，整理得：6a2-ab-6b2=0，兩邊同除以a2，得：6（ba）2-（ba）+6=0，解之得：ba=63，所以，離心率為：e=1-（ba）2=33.

（3）（2012年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷第14題）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-5a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是.

思路分析審題后發(fā)現(xiàn)又是一個(gè)多元問題，且夾雜著函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、線性規(guī)劃等方面的知識(shí)，其核心仍然是消元.由已知條件得3ac+bc≥5

ac+bc≤4

bc≥eac，可先構(gòu)造x=ac，y=bc則有3x+y≥5

x+y≤4

y≥ex

x，y>0，所求ba變?yōu)閥x.順利實(shí)現(xiàn)由三元降為二元的目標(biāo)，再利用線性規(guī)劃和導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)，可求出ba的范圍為[e，7].

（4）（2011年江蘇高考第14題改）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2=r2（r>0）和直線l：3x-4y+m=0.若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓O有公共點(diǎn)，求m與r的關(guān)系式.

思路分析由題意可得半徑為1的新圓的圓心可以取遍直線上的點(diǎn)，這個(gè)新圓與圓O有公共點(diǎn)，也就是圖中陰影平行帶，與圓O有公共點(diǎn)，也就是圖中兩種位置情況下l1或l2與圓O相切或相交的情形，這就要求圓心O分別到l1或l2的距離小于等于r，而l1，l2， 兩條直線的解析式還有待于l來平移表示，顯然麻煩.如果抓住陰影平行帶中間一條主線l，用圓心（0，0）到l的距離d=|m|5≤r+1來處理，就又快又好的實(shí)現(xiàn)目標(biāo).解題中的兩個(gè)距離關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個(gè)距離關(guān)系不也是間接消元的一次成功應(yīng)用嗎？

三、滲透本質(zhì)思想，綜合消元

化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法的核心，它教會(huì)我們用聯(lián)系、發(fā)展變化的觀點(diǎn)來看待問題，并通過對原問題的作用，使之簡化為另一個(gè)問題.這種思想的實(shí)質(zhì)就是使矛盾轉(zhuǎn)化，便于我們解決，而消元法就是化歸思想最好的詮釋.

例3（1）x，y，z∈R+，求t=xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解法分析法1：分子分母同除以y2得：

t=xy+2zy（xy）2+（zy）2+1 （1）

令m=xy，n=zy，第一次實(shí)施消元得t=m+2nm2+n2+1，

整理得tm2-m+（1+n2）t-2n=0.

方程有實(shí)根Δ≥0，實(shí)現(xiàn)第二次消元，可得

4t2n2-8tn+（4t2-1）≤0.

存在t，則Δ=64t2-16t2（4t2-1）≥0.

再利用判別式，實(shí)施第三次消元可得

4t2≤5，t2≤54，∴0

法2：在（1）中，令xy=Rcosθ，zy=Rsinθ（θ∈（0，π2）），

實(shí)施三角代換消元得

t=R（cosθ+2sinθ）R2+1=5Rsin（θ+φ）R2+1.

利用不等式R2+1≥2R，進(jìn)行約分可得tmax=52

法3：構(gòu)造不等式，整體運(yùn)算，約分消元.

因?yàn)閥2=15y2+45y2，所以

t=xy+2yz（x2+15y2）+（45y2+z2）≤xy+2yz25（xy+2yz）=52，

x2+15y2≥215xy，45y2+z2≥245yz

兩個(gè)不等式能同時(shí)取等號.

本題的三種方法至始至終緊扣消元這一主題，把化歸思想演繹得淋漓盡致.

羅增儒教授曾把解題總結(jié)為“條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向.”即從已知條件入手推出中間結(jié)論（可知），當(dāng)中間結(jié)論能直接證明最終結(jié)論時(shí)，則解題成功；當(dāng)中間結(jié)論不能直接證明最終結(jié)論時(shí)，可把最終結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化為“需知”，再用中間結(jié)論證明“需知”從而達(dá)到解題目的.也就是說，解題是找出已知與未知的關(guān)系并不斷縮小以至消除二者之間的差距，這難道不是最大意義上的“消元”嗎？

三、滲透本質(zhì)思想，綜合消元

化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法的核心，它教會(huì)我們用聯(lián)系、發(fā)展變化的觀點(diǎn)來看待問題，并通過對原問題的作用，使之簡化為另一個(gè)問題.這種思想的實(shí)質(zhì)就是使矛盾轉(zhuǎn)化，便于我們解決，而消元法就是化歸思想最好的詮釋.

例3（1）x，y，z∈R+，求t=xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解法分析法1：分子分母同除以y2得：

t=xy+2zy（xy）2+（zy）2+1 （1）

令m=xy，n=zy，第一次實(shí)施消元得t=m+2nm2+n2+1，

整理得tm2-m+（1+n2）t-2n=0.

方程有實(shí)根Δ≥0，實(shí)現(xiàn)第二次消元，可得

4t2n2-8tn+（4t2-1）≤0.

存在t，則Δ=64t2-16t2（4t2-1）≥0.

再利用判別式，實(shí)施第三次消元可得

4t2≤5，t2≤54，∴0

法2：在（1）中，令xy=Rcosθ，zy=Rsinθ（θ∈（0，π2）），

實(shí)施三角代換消元得

t=R（cosθ+2sinθ）R2+1=5Rsin（θ+φ）R2+1.

利用不等式R2+1≥2R，進(jìn)行約分可得tmax=52

法3：構(gòu)造不等式，整體運(yùn)算，約分消元.

因?yàn)閥2=15y2+45y2，所以

t=xy+2yz（x2+15y2）+（45y2+z2）≤xy+2yz25（xy+2yz）=52，

x2+15y2≥215xy，45y2+z2≥245yz

兩個(gè)不等式能同時(shí)取等號.

本題的三種方法至始至終緊扣消元這一主題，把化歸思想演繹得淋漓盡致.

羅增儒教授曾把解題總結(jié)為“條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向.”即從已知條件入手推出中間結(jié)論（可知），當(dāng)中間結(jié)論能直接證明最終結(jié)論時(shí)，則解題成功；當(dāng)中間結(jié)論不能直接證明最終結(jié)論時(shí)，可把最終結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化為“需知”，再用中間結(jié)論證明“需知”從而達(dá)到解題目的.也就是說，解題是找出已知與未知的關(guān)系并不斷縮小以至消除二者之間的差距，這難道不是最大意義上的“消元”嗎？

三、滲透本質(zhì)思想，綜合消元

化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法的核心，它教會(huì)我們用聯(lián)系、發(fā)展變化的觀點(diǎn)來看待問題，并通過對原問題的作用，使之簡化為另一個(gè)問題.這種思想的實(shí)質(zhì)就是使矛盾轉(zhuǎn)化，便于我們解決，而消元法就是化歸思想最好的詮釋.

例3（1）x，y，z∈R+，求t=xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解法分析法1：分子分母同除以y2得：

t=xy+2zy（xy）2+（zy）2+1 （1）

令m=xy，n=zy，第一次實(shí)施消元得t=m+2nm2+n2+1，

整理得tm2-m+（1+n2）t-2n=0.

方程有實(shí)根Δ≥0，實(shí)現(xiàn)第二次消元，可得

4t2n2-8tn+（4t2-1）≤0.

存在t，則Δ=64t2-16t2（4t2-1）≥0.

再利用判別式，實(shí)施第三次消元可得

4t2≤5，t2≤54，∴0

法2：在（1）中，令xy=Rcosθ，zy=Rsinθ（θ∈（0，π2）），

實(shí)施三角代換消元得

t=R（cosθ+2sinθ）R2+1=5Rsin（θ+φ）R2+1.

利用不等式R2+1≥2R，進(jìn)行約分可得tmax=52

法3：構(gòu)造不等式，整體運(yùn)算，約分消元.

因?yàn)閥2=15y2+45y2，所以

t=xy+2yz（x2+15y2）+（45y2+z2）≤xy+2yz25（xy+2yz）=52，

x2+15y2≥215xy，45y2+z2≥245yz

兩個(gè)不等式能同時(shí)取等號.

本題的三種方法至始至終緊扣消元這一主題，把化歸思想演繹得淋漓盡致.

羅增儒教授曾把解題總結(jié)為“條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向.”即從已知條件入手推出中間結(jié)論（可知），當(dāng)中間結(jié)論能直接證明最終結(jié)論時(shí)，則解題成功；當(dāng)中間結(jié)論不能直接證明最終結(jié)論時(shí)，可把最終結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化為“需知”，再用中間結(jié)論證明“需知”從而達(dá)到解題目的.也就是說，解題是找出已知與未知的關(guān)系并不斷縮小以至消除二者之間的差距，這難道不是最大意義上的“消元”嗎？