高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩種數(shù)學(xué)思想方法

劉春建

數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者有諸多論述.概括起來(lái)，大多數(shù)是從“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”兩個(gè)角度進(jìn)行闡述的.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出來(lái)的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的各種方式、手段途徑、策略等.在高考中，如果能掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法必可以大大提高學(xué)生的戰(zhàn)斗力.

一、化歸思想方法

化歸，也就是歸結(jié)和轉(zhuǎn)換.它主要是通過(guò)觀察，分析，類比，聯(lián)想等轉(zhuǎn)化過(guò)程，將要解決的問(wèn)題化歸在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題，進(jìn)而解決原問(wèn)題，像這一類的手段和方法就統(tǒng)稱為化歸.簡(jiǎn)而言之，化歸就是將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成熟悉的問(wèn)題，具體來(lái)說(shuō)，化歸就是將問(wèn)題模式化，規(guī)范化，將要解決的問(wèn)題變?yōu)槲覀兪煜さ膯?wèn)題，然后利用已經(jīng)掌握的理論，方法去解決這個(gè)問(wèn)題從而間接地解決原問(wèn)題，而不是直接去尋找原問(wèn)題的答案.考慮到化歸的特點(diǎn)，在化歸的過(guò)程中，我們需要不斷地變化問(wèn)題，重新敘述問(wèn)題，轉(zhuǎn)換問(wèn)題，最終找到問(wèn)題的突破口.

例1已知x，y∈R且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）.

A.x+y<0B.x+y>0C.xy<0D.xy>0

分析已知不等式兩邊都含有x，y兩個(gè)變量，而學(xué)生目前只學(xué)習(xí)一元函數(shù)，為此先把不等式化為2x-3-x>2-y-3y，使它的兩邊都只含有一個(gè)變量，于是可以構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=2x-3-x，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把不等式問(wèn)題化歸為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題.

實(shí)現(xiàn)化歸的重點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之間潛在的內(nèi)在聯(lián)系，確定化歸的方向，選擇合適的化歸途徑實(shí)現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化.在應(yīng)用化歸方法時(shí)，我們往往需要進(jìn)行多次化歸，而化歸一般的模式可總結(jié)為

二、類比的思想方法

類比，它是根據(jù)兩種事物某些屬性（例如概念，性質(zhì)，形式，結(jié)構(gòu)，關(guān)系等等）的相似或者相同，推斷出它們其他屬性也可能相似或者相同的一種推理方法.波利亞說(shuō)過(guò)：沒(méi)有類比，在初等數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)中，也許就不會(huì)有發(fā)現(xiàn).可見(jiàn)類比是一種非常重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段，可以說(shuō)，類比是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的顧問(wèn)和助手.

例2 （2003 年江蘇?。┰谄矫鎺缀卫镉泄垂啥ɡ恚涸O(shè)三角形ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三菱錐的側(cè)面積與底面積的關(guān)系，若三菱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩互相垂直，則.

分析勾股地理揭示了一個(gè)直角三角形的兩條直角邊與斜邊的關(guān)系，由類比猜想得知，題設(shè)的三菱錐 A-BCD的三個(gè)側(cè)面與底面之間有S2△ABC+S2△ACD=S2△ADB（證略）

通過(guò)例子我們也可以總結(jié)出類比方法的一般模式：

三、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系，數(shù)和形反映的是事物的兩個(gè)方面，正是基于這兩個(gè)方面的抽象研究才誕生了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，才使得人們可以從不同側(cè)面認(rèn)識(shí)事物把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成空間圖形關(guān)系，或者反過(guò)來(lái)把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系.這種在解決問(wèn)題的過(guò)程中數(shù)和形相互轉(zhuǎn)化的思路就是數(shù)形結(jié)合思想.換句話說(shuō)，數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象難懂的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形符號(hào)結(jié)合，使得抽象思維和形象思維相互結(jié)合.在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想可以解決許多方面的問(wèn)題，如集合，函數(shù)，方程不等式，三角函數(shù)，線性規(guī)劃，數(shù)列，解析幾何，立體幾何，絕對(duì)值問(wèn)題等等，幾乎涵蓋了高中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.因此學(xué)生若是能掌握數(shù)形結(jié)合的思想，可以大大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，分析解決問(wèn)題的能力也可以大幅度提高.

例3（2012年江蘇）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是 .

答案：[e，7].

解析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc

可化為：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac.

設(shè)ac=x，y=bc，則題目轉(zhuǎn)化為：已知x，y滿足3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x>0，y>0，求yx的取值范圍.

作出（x，y）所在平面區(qū)域（如圖）.求出y=ex的切線的斜率e，設(shè)過(guò)切點(diǎn)P（x0，y0）的切線為y=ex+m（m≥0），則y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，須m=0. ∴yx的最小值在P（x0，y0）處，為e.此時(shí)，點(diǎn)P（x0，y0）在y=ex上A，B之間.當(dāng)（x，y）對(duì)應(yīng)點(diǎn)C時(shí)，y=4-x，

y=5-3x5y=20-5x，

4y=20-12xy=7xyx=7，∴yx的最大值在C處，為7.

∴yx的取值范圍為[e，7]，即ba的取值范圍是[e，7].

2012年高考江蘇卷把數(shù)形結(jié)合的思想展示得淋漓盡致，除此外，還有很多問(wèn)題都可以用到數(shù)形結(jié)合的這種思想.數(shù)與形的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)永恒的研究主題，在上面江蘇卷的問(wèn)題的解題過(guò)程中可以看出數(shù)形結(jié)合思想在高考中的實(shí)用性，所以，在平日教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，有必要重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，使之能成為一種習(xí)慣.

數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者有諸多論述.概括起來(lái)，大多數(shù)是從“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”兩個(gè)角度進(jìn)行闡述的.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出來(lái)的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的各種方式、手段途徑、策略等.在高考中，如果能掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法必可以大大提高學(xué)生的戰(zhàn)斗力.

一、化歸思想方法

化歸，也就是歸結(jié)和轉(zhuǎn)換.它主要是通過(guò)觀察，分析，類比，聯(lián)想等轉(zhuǎn)化過(guò)程，將要解決的問(wèn)題化歸在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題，進(jìn)而解決原問(wèn)題，像這一類的手段和方法就統(tǒng)稱為化歸.簡(jiǎn)而言之，化歸就是將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成熟悉的問(wèn)題，具體來(lái)說(shuō)，化歸就是將問(wèn)題模式化，規(guī)范化，將要解決的問(wèn)題變?yōu)槲覀兪煜さ膯?wèn)題，然后利用已經(jīng)掌握的理論，方法去解決這個(gè)問(wèn)題從而間接地解決原問(wèn)題，而不是直接去尋找原問(wèn)題的答案.考慮到化歸的特點(diǎn)，在化歸的過(guò)程中，我們需要不斷地變化問(wèn)題，重新敘述問(wèn)題，轉(zhuǎn)換問(wèn)題，最終找到問(wèn)題的突破口.

例1已知x，y∈R且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）.

A.x+y<0B.x+y>0C.xy<0D.xy>0

分析已知不等式兩邊都含有x，y兩個(gè)變量，而學(xué)生目前只學(xué)習(xí)一元函數(shù)，為此先把不等式化為2x-3-x>2-y-3y，使它的兩邊都只含有一個(gè)變量，于是可以構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=2x-3-x，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把不等式問(wèn)題化歸為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題.

實(shí)現(xiàn)化歸的重點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之間潛在的內(nèi)在聯(lián)系，確定化歸的方向，選擇合適的化歸途徑實(shí)現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化.在應(yīng)用化歸方法時(shí)，我們往往需要進(jìn)行多次化歸，而化歸一般的模式可總結(jié)為

二、類比的思想方法

類比，它是根據(jù)兩種事物某些屬性（例如概念，性質(zhì)，形式，結(jié)構(gòu)，關(guān)系等等）的相似或者相同，推斷出它們其他屬性也可能相似或者相同的一種推理方法.波利亞說(shuō)過(guò)：沒(méi)有類比，在初等數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)中，也許就不會(huì)有發(fā)現(xiàn).可見(jiàn)類比是一種非常重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段，可以說(shuō)，類比是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的顧問(wèn)和助手.

例2 （2003 年江蘇省）在平面幾何里有勾股定理：設(shè)三角形ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三菱錐的側(cè)面積與底面積的關(guān)系，若三菱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩互相垂直，則.

分析勾股地理揭示了一個(gè)直角三角形的兩條直角邊與斜邊的關(guān)系，由類比猜想得知，題設(shè)的三菱錐 A-BCD的三個(gè)側(cè)面與底面之間有S2△ABC+S2△ACD=S2△ADB（證略）

通過(guò)例子我們也可以總結(jié)出類比方法的一般模式：

三、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系，數(shù)和形反映的是事物的兩個(gè)方面，正是基于這兩個(gè)方面的抽象研究才誕生了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，才使得人們可以從不同側(cè)面認(rèn)識(shí)事物把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成空間圖形關(guān)系，或者反過(guò)來(lái)把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系.這種在解決問(wèn)題的過(guò)程中數(shù)和形相互轉(zhuǎn)化的思路就是數(shù)形結(jié)合思想.換句話說(shuō)，數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象難懂的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形符號(hào)結(jié)合，使得抽象思維和形象思維相互結(jié)合.在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想可以解決許多方面的問(wèn)題，如集合，函數(shù)，方程不等式，三角函數(shù)，線性規(guī)劃，數(shù)列，解析幾何，立體幾何，絕對(duì)值問(wèn)題等等，幾乎涵蓋了高中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.因此學(xué)生若是能掌握數(shù)形結(jié)合的思想，可以大大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，分析解決問(wèn)題的能力也可以大幅度提高.

例3（2012年江蘇）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是 .

答案：[e，7].

解析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc

可化為：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac.

設(shè)ac=x，y=bc，則題目轉(zhuǎn)化為：已知x，y滿足3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x>0，y>0，求yx的取值范圍.

作出（x，y）所在平面區(qū)域（如圖）.求出y=ex的切線的斜率e，設(shè)過(guò)切點(diǎn)P（x0，y0）的切線為y=ex+m（m≥0），則y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，須m=0. ∴yx的最小值在P（x0，y0）處，為e.此時(shí)，點(diǎn)P（x0，y0）在y=ex上A，B之間.當(dāng)（x，y）對(duì)應(yīng)點(diǎn)C時(shí)，y=4-x，

y=5-3x5y=20-5x，

4y=20-12xy=7xyx=7，∴yx的最大值在C處，為7.

∴yx的取值范圍為[e，7]，即ba的取值范圍是[e，7].

2012年高考江蘇卷把數(shù)形結(jié)合的思想展示得淋漓盡致，除此外，還有很多問(wèn)題都可以用到數(shù)形結(jié)合的這種思想.數(shù)與形的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)永恒的研究主題，在上面江蘇卷的問(wèn)題的解題過(guò)程中可以看出數(shù)形結(jié)合思想在高考中的實(shí)用性，所以，在平日教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，有必要重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，使之能成為一種習(xí)慣.

數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者有諸多論述.概括起來(lái)，大多數(shù)是從“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”兩個(gè)角度進(jìn)行闡述的.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出來(lái)的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的各種方式、手段途徑、策略等.在高考中，如果能掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法必可以大大提高學(xué)生的戰(zhàn)斗力.

一、化歸思想方法

化歸，也就是歸結(jié)和轉(zhuǎn)換.它主要是通過(guò)觀察，分析，類比，聯(lián)想等轉(zhuǎn)化過(guò)程，將要解決的問(wèn)題化歸在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題，進(jìn)而解決原問(wèn)題，像這一類的手段和方法就統(tǒng)稱為化歸.簡(jiǎn)而言之，化歸就是將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成熟悉的問(wèn)題，具體來(lái)說(shuō)，化歸就是將問(wèn)題模式化，規(guī)范化，將要解決的問(wèn)題變?yōu)槲覀兪煜さ膯?wèn)題，然后利用已經(jīng)掌握的理論，方法去解決這個(gè)問(wèn)題從而間接地解決原問(wèn)題，而不是直接去尋找原問(wèn)題的答案.考慮到化歸的特點(diǎn)，在化歸的過(guò)程中，我們需要不斷地變化問(wèn)題，重新敘述問(wèn)題，轉(zhuǎn)換問(wèn)題，最終找到問(wèn)題的突破口.

例1已知x，y∈R且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）.

A.x+y<0B.x+y>0C.xy<0D.xy>0

分析已知不等式兩邊都含有x，y兩個(gè)變量，而學(xué)生目前只學(xué)習(xí)一元函數(shù)，為此先把不等式化為2x-3-x>2-y-3y，使它的兩邊都只含有一個(gè)變量，于是可以構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=2x-3-x，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把不等式問(wèn)題化歸為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題.

實(shí)現(xiàn)化歸的重點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之間潛在的內(nèi)在聯(lián)系，確定化歸的方向，選擇合適的化歸途徑實(shí)現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化.在應(yīng)用化歸方法時(shí)，我們往往需要進(jìn)行多次化歸，而化歸一般的模式可總結(jié)為

二、類比的思想方法

類比，它是根據(jù)兩種事物某些屬性（例如概念，性質(zhì)，形式，結(jié)構(gòu)，關(guān)系等等）的相似或者相同，推斷出它們其他屬性也可能相似或者相同的一種推理方法.波利亞說(shuō)過(guò)：沒(méi)有類比，在初等數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)中，也許就不會(huì)有發(fā)現(xiàn).可見(jiàn)類比是一種非常重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段，可以說(shuō)，類比是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的顧問(wèn)和助手.

例2 （2003 年江蘇?。┰谄矫鎺缀卫镉泄垂啥ɡ恚涸O(shè)三角形ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三菱錐的側(cè)面積與底面積的關(guān)系，若三菱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩互相垂直，則.

分析勾股地理揭示了一個(gè)直角三角形的兩條直角邊與斜邊的關(guān)系，由類比猜想得知，題設(shè)的三菱錐 A-BCD的三個(gè)側(cè)面與底面之間有S2△ABC+S2△ACD=S2△ADB（證略）

通過(guò)例子我們也可以總結(jié)出類比方法的一般模式：

三、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系，數(shù)和形反映的是事物的兩個(gè)方面，正是基于這兩個(gè)方面的抽象研究才誕生了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，才使得人們可以從不同側(cè)面認(rèn)識(shí)事物把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成空間圖形關(guān)系，或者反過(guò)來(lái)把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系.這種在解決問(wèn)題的過(guò)程中數(shù)和形相互轉(zhuǎn)化的思路就是數(shù)形結(jié)合思想.換句話說(shuō)，數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象難懂的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形符號(hào)結(jié)合，使得抽象思維和形象思維相互結(jié)合.在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想可以解決許多方面的問(wèn)題，如集合，函數(shù)，方程不等式，三角函數(shù)，線性規(guī)劃，數(shù)列，解析幾何，立體幾何，絕對(duì)值問(wèn)題等等，幾乎涵蓋了高中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.因此學(xué)生若是能掌握數(shù)形結(jié)合的思想，可以大大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，分析解決問(wèn)題的能力也可以大幅度提高.

例3（2012年江蘇）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是 .

答案：[e，7].

解析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc

可化為：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac.

設(shè)ac=x，y=bc，則題目轉(zhuǎn)化為：已知x，y滿足3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x>0，y>0，求yx的取值范圍.

作出（x，y）所在平面區(qū)域（如圖）.求出y=ex的切線的斜率e，設(shè)過(guò)切點(diǎn)P（x0，y0）的切線為y=ex+m（m≥0），則y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，須m=0. ∴yx的最小值在P（x0，y0）處，為e.此時(shí)，點(diǎn)P（x0，y0）在y=ex上A，B之間.當(dāng)（x，y）對(duì)應(yīng)點(diǎn)C時(shí)，y=4-x，

y=5-3x5y=20-5x，

4y=20-12xy=7xyx=7，∴yx的最大值在C處，為7.

∴yx的取值范圍為[e，7]，即ba的取值范圍是[e，7].

2012年高考江蘇卷把數(shù)形結(jié)合的思想展示得淋漓盡致，除此外，還有很多問(wèn)題都可以用到數(shù)形結(jié)合的這種思想.數(shù)與形的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)永恒的研究主題，在上面江蘇卷的問(wèn)題的解題過(guò)程中可以看出數(shù)形結(jié)合思想在高考中的實(shí)用性，所以，在平日教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，有必要重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，使之能成為一種習(xí)慣.