解題思路在于靈活運動

朱愛明

在處理解幾問題時，若多從運動的角度來思考，不僅可以拓寬思維，而且還由于揭示了問題的本質(zhì)，從而達到事半功倍的效果，下面僅以幾個例子來說明.

例1在橢圓中，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點，P為橢圓上一點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率的取值范圍為 .

解法1在焦點三角形△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=PF21+PF22-2PF1·PF2cos∠F1PF2，則F1F22=（PF1+PF2）2-3PF1·PF2，即4c2=4a2-3PF1·PF2，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3.又因為PF1+PF2=2a，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3≤（PF1+PF22）2=a2，即a2≤4c2，所以e2≥14，則12≤e<1.

解法2由于在橢圓中，點P在橢圓周上運動時，焦點三角形的頂角∠F1PF2也在不斷變化，而且變化時先增大然后減小，當(dāng)點P為短軸頂點時最大.因為∠F1PF2=60°，所以∠F1BF2≥60°，則∠F1BO≥30°，即sin∠F1BO=ca≥12，故12≤e<1.

點撥解法1運用了余弦定理結(jié)合了基本不等式來建立關(guān)于e的不等式，從而求出離心率的取值范圍；解法2巧妙地利用了焦點三角形中頂角的變化規(guī)律，這樣就大大簡化了解題過程.

類題（2009年福建理科第18題改編）如圖，在三角形△MNP中，MP=5，∠NMP=120°，求MN+NP的最小值.

解析由于MN長和∠NMP確定，從運動的觀點看，頂點N應(yīng)在以MN為弦且圓周角為120°的圓弧MP上運動，則由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)頂點N位于MP的中點N′時，MN+NP最小，此時，MN=PN=533，則MN+NP的最小值為1033.

例2（2009年江蘇第18題改編）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1∶（x+3）2+（y-1）=4和圓C2∶（x-4）2+（y-5）2=4，設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).

解析由于直線l1和l2繞點P旋轉(zhuǎn)，而且兩圓全等，則點P一定在線段C1C2的垂直平分線上，當(dāng)l1和l2分別經(jīng)過兩圓圓心C1，C2時，△PC1C2為等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計算可得點P坐標(biāo)為（-32，132）或（52，-12）.

點撥充分利用圓的幾何性質(zhì)，有意識地在解析幾何中運用平面幾何的知識，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，往往起到事半功倍的效果.

例3（2008年江蘇第14題）滿足條件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面積的最大值 .

解析實際上頂點C運動時是有規(guī)律的.（若一動點到兩個定點的距離之比為常數(shù)（不等于1），則這個動點的軌跡是圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，這個結(jié)論稱之為“阿波羅尼斯軌跡”），因此可利用頂點C運動的軌跡尋求三角形的高的變化規(guī)律.

解以直線AB為x軸，邊AB中點O為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題設(shè)可設(shè)A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），則由AC=2BC可得，（x+1）2+y2=2[（x-1）2+y2]，整理得頂點C所在圓方程為（x-3）2+y2=8，可知AB邊上高的最大值為22，故S△ABC的最大值為22.

例4（2009年南通）已知橢圓C∶y2a2+x2b2=1（a>b>0）的離心率為63，過右頂點A的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且B（-1，-3）.

（1）求橢圓C和直線l的方程；

（2）記曲線C在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D.若曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與D有公共點，試求實數(shù)m的最小值.

解析（1）所求橢圓方程為y212+x24=1，直線l的方程為y=x-2.（過程略）

（2）曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0可整理為圓（x-m）2+（y+2）2=8，其圓心坐標(biāo)為G（m，-2），半徑r=22，表示圓心在直線y=-2上，半徑為22的動圓.

由于要求實數(shù)m的最小值，由圖可知，只須考慮m<0的情形.

設(shè)⊙G與直線l相切于點T，則由|a+2-2|2=22，得m=±4.當(dāng)m=-4時，過點G（-4，-2）與直線l垂直的直線l′的方程為x+y+6=0，解方程組x+y+6=0，

x-y-2=0，得T（-2，-4）.

因為區(qū)域D內(nèi)的點的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為-1，2，所以切點TD，由圖可知當(dāng)⊙G過點B時，m取得最小值，即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得mmin=-7-1.

點撥本題第（2）問難點在于平面區(qū)域D內(nèi)點的特點不易把握，如果轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，則運算量較大，如能抓住動圓運動的特點，利用數(shù)形結(jié)合的思想便能靈活解題.

在處理解幾問題時，若多從運動的角度來思考，不僅可以拓寬思維，而且還由于揭示了問題的本質(zhì)，從而達到事半功倍的效果，下面僅以幾個例子來說明.

例1在橢圓中，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點，P為橢圓上一點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率的取值范圍為 .

解法1在焦點三角形△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=PF21+PF22-2PF1·PF2cos∠F1PF2，則F1F22=（PF1+PF2）2-3PF1·PF2，即4c2=4a2-3PF1·PF2，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3.又因為PF1+PF2=2a，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3≤（PF1+PF22）2=a2，即a2≤4c2，所以e2≥14，則12≤e<1.

解法2由于在橢圓中，點P在橢圓周上運動時，焦點三角形的頂角∠F1PF2也在不斷變化，而且變化時先增大然后減小，當(dāng)點P為短軸頂點時最大.因為∠F1PF2=60°，所以∠F1BF2≥60°，則∠F1BO≥30°，即sin∠F1BO=ca≥12，故12≤e<1.

點撥解法1運用了余弦定理結(jié)合了基本不等式來建立關(guān)于e的不等式，從而求出離心率的取值范圍；解法2巧妙地利用了焦點三角形中頂角的變化規(guī)律，這樣就大大簡化了解題過程.

類題（2009年福建理科第18題改編）如圖，在三角形△MNP中，MP=5，∠NMP=120°，求MN+NP的最小值.

解析由于MN長和∠NMP確定，從運動的觀點看，頂點N應(yīng)在以MN為弦且圓周角為120°的圓弧MP上運動，則由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)頂點N位于MP的中點N′時，MN+NP最小，此時，MN=PN=533，則MN+NP的最小值為1033.

例2（2009年江蘇第18題改編）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1∶（x+3）2+（y-1）=4和圓C2∶（x-4）2+（y-5）2=4，設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).

解析由于直線l1和l2繞點P旋轉(zhuǎn)，而且兩圓全等，則點P一定在線段C1C2的垂直平分線上，當(dāng)l1和l2分別經(jīng)過兩圓圓心C1，C2時，△PC1C2為等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計算可得點P坐標(biāo)為（-32，132）或（52，-12）.

點撥充分利用圓的幾何性質(zhì)，有意識地在解析幾何中運用平面幾何的知識，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，往往起到事半功倍的效果.

例3（2008年江蘇第14題）滿足條件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面積的最大值 .

解析實際上頂點C運動時是有規(guī)律的.（若一動點到兩個定點的距離之比為常數(shù)（不等于1），則這個動點的軌跡是圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，這個結(jié)論稱之為“阿波羅尼斯軌跡”），因此可利用頂點C運動的軌跡尋求三角形的高的變化規(guī)律.

解以直線AB為x軸，邊AB中點O為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題設(shè)可設(shè)A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），則由AC=2BC可得，（x+1）2+y2=2[（x-1）2+y2]，整理得頂點C所在圓方程為（x-3）2+y2=8，可知AB邊上高的最大值為22，故S△ABC的最大值為22.

例4（2009年南通）已知橢圓C∶y2a2+x2b2=1（a>b>0）的離心率為63，過右頂點A的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且B（-1，-3）.

（1）求橢圓C和直線l的方程；

（2）記曲線C在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D.若曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與D有公共點，試求實數(shù)m的最小值.

解析（1）所求橢圓方程為y212+x24=1，直線l的方程為y=x-2.（過程略）

（2）曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0可整理為圓（x-m）2+（y+2）2=8，其圓心坐標(biāo)為G（m，-2），半徑r=22，表示圓心在直線y=-2上，半徑為22的動圓.

由于要求實數(shù)m的最小值，由圖可知，只須考慮m<0的情形.

設(shè)⊙G與直線l相切于點T，則由|a+2-2|2=22，得m=±4.當(dāng)m=-4時，過點G（-4，-2）與直線l垂直的直線l′的方程為x+y+6=0，解方程組x+y+6=0，

x-y-2=0，得T（-2，-4）.

因為區(qū)域D內(nèi)的點的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為-1，2，所以切點TD，由圖可知當(dāng)⊙G過點B時，m取得最小值，即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得mmin=-7-1.

點撥本題第（2）問難點在于平面區(qū)域D內(nèi)點的特點不易把握，如果轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，則運算量較大，如能抓住動圓運動的特點，利用數(shù)形結(jié)合的思想便能靈活解題.

在處理解幾問題時，若多從運動的角度來思考，不僅可以拓寬思維，而且還由于揭示了問題的本質(zhì)，從而達到事半功倍的效果，下面僅以幾個例子來說明.

例1在橢圓中，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點，P為橢圓上一點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率的取值范圍為 .

解法1在焦點三角形△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=PF21+PF22-2PF1·PF2cos∠F1PF2，則F1F22=（PF1+PF2）2-3PF1·PF2，即4c2=4a2-3PF1·PF2，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3.又因為PF1+PF2=2a，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3≤（PF1+PF22）2=a2，即a2≤4c2，所以e2≥14，則12≤e<1.

解法2由于在橢圓中，點P在橢圓周上運動時，焦點三角形的頂角∠F1PF2也在不斷變化，而且變化時先增大然后減小，當(dāng)點P為短軸頂點時最大.因為∠F1PF2=60°，所以∠F1BF2≥60°，則∠F1BO≥30°，即sin∠F1BO=ca≥12，故12≤e<1.

點撥解法1運用了余弦定理結(jié)合了基本不等式來建立關(guān)于e的不等式，從而求出離心率的取值范圍；解法2巧妙地利用了焦點三角形中頂角的變化規(guī)律，這樣就大大簡化了解題過程.

類題（2009年福建理科第18題改編）如圖，在三角形△MNP中，MP=5，∠NMP=120°，求MN+NP的最小值.

解析由于MN長和∠NMP確定，從運動的觀點看，頂點N應(yīng)在以MN為弦且圓周角為120°的圓弧MP上運動，則由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)頂點N位于MP的中點N′時，MN+NP最小，此時，MN=PN=533，則MN+NP的最小值為1033.

例2（2009年江蘇第18題改編）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1∶（x+3）2+（y-1）=4和圓C2∶（x-4）2+（y-5）2=4，設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).

解析由于直線l1和l2繞點P旋轉(zhuǎn)，而且兩圓全等，則點P一定在線段C1C2的垂直平分線上，當(dāng)l1和l2分別經(jīng)過兩圓圓心C1，C2時，△PC1C2為等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計算可得點P坐標(biāo)為（-32，132）或（52，-12）.

點撥充分利用圓的幾何性質(zhì)，有意識地在解析幾何中運用平面幾何的知識，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，往往起到事半功倍的效果.

例3（2008年江蘇第14題）滿足條件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面積的最大值 .

解析實際上頂點C運動時是有規(guī)律的.（若一動點到兩個定點的距離之比為常數(shù)（不等于1），則這個動點的軌跡是圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，這個結(jié)論稱之為“阿波羅尼斯軌跡”），因此可利用頂點C運動的軌跡尋求三角形的高的變化規(guī)律.

解以直線AB為x軸，邊AB中點O為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題設(shè)可設(shè)A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），則由AC=2BC可得，（x+1）2+y2=2[（x-1）2+y2]，整理得頂點C所在圓方程為（x-3）2+y2=8，可知AB邊上高的最大值為22，故S△ABC的最大值為22.

例4（2009年南通）已知橢圓C∶y2a2+x2b2=1（a>b>0）的離心率為63，過右頂點A的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且B（-1，-3）.

（1）求橢圓C和直線l的方程；

（2）記曲線C在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D.若曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與D有公共點，試求實數(shù)m的最小值.

解析（1）所求橢圓方程為y212+x24=1，直線l的方程為y=x-2.（過程略）

（2）曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0可整理為圓（x-m）2+（y+2）2=8，其圓心坐標(biāo)為G（m，-2），半徑r=22，表示圓心在直線y=-2上，半徑為22的動圓.

由于要求實數(shù)m的最小值，由圖可知，只須考慮m<0的情形.

設(shè)⊙G與直線l相切于點T，則由|a+2-2|2=22，得m=±4.當(dāng)m=-4時，過點G（-4，-2）與直線l垂直的直線l′的方程為x+y+6=0，解方程組x+y+6=0，

x-y-2=0，得T（-2，-4）.

因為區(qū)域D內(nèi)的點的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為-1，2，所以切點TD，由圖可知當(dāng)⊙G過點B時，m取得最小值，即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得mmin=-7-1.

點撥本題第（2）問難點在于平面區(qū)域D內(nèi)點的特點不易把握，如果轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，則運算量較大，如能抓住動圓運動的特點，利用數(shù)形結(jié)合的思想便能靈活解題.