一類不連通的分形方塊(Σ3,6)的拓撲豪斯道夫維數(shù)

柯楓，代玉霞，李青

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

一類不連通的分形方塊(Σ3,6)的拓撲豪斯道夫維數(shù)

柯楓，代玉霞，李青

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

分形方塊；拓撲基；拓撲豪斯道夫維數(shù)

0 引言及結(jié)果

設(shè)n≥2，記D={d1,d2,…,dm}?{0,1,…,n-1}2為一個數(shù)字集，其中#D=m表示D的基數(shù).設(shè)

(1)

(2)

其中C≥1為常數(shù). 文獻[2-4]中研究了分形方塊的拓撲結(jié)構(gòu)和李卜希茲等價類.

本文中主要研究分形方塊的拓撲豪斯道夫維數(shù)，先回顧拓撲豪斯道夫維數(shù)的定義.

定義0.1 定義dimtHφ=-1. 對非空度量空間X，定義X的拓撲豪斯道夫維數(shù)為

其中?A表示集合A的邊界，dimH表示豪斯道夫維數(shù)[1].

本文中用dimt表示拓撲維數(shù)[6-7]. 下面性質(zhì)給出了拓撲豪斯道夫維數(shù)與拓撲維數(shù)及豪斯道夫維數(shù)之間的大小關(guān)系.

性質(zhì)0.1[8]對任意的度量空間X，有dimtX≥dimtHX≤dimHX.

下面性質(zhì)說明了拓撲豪斯道夫維數(shù)的單調(diào)性.

性質(zhì)0.2[8]對任意的度量空間X?Y,有dimtHX≤dimtHY.

下面性質(zhì)是研究拓撲豪斯道夫維數(shù)的一個基本性質(zhì).

性質(zhì)0.3[8]對任意的度量空間X,Y,若f:X→Y是一個滿足(2)式的一個雙射，則dimtHX=dimtHY.

本文中主要研究Σ3,6中的不連通的分形方塊的拓撲豪斯道夫維數(shù). Σ3,6中不連通的分形方塊有6個.

圖1 Σ3,6中不連通的分形方塊圖

其經(jīng)過多次迭代后如圖2所示：

下面定理給出本文中主要結(jié)論.

1 預(yù)備引理

為證明定理，本節(jié)介紹證明中用到的引理，主要是給出分形方塊上拓撲基(后面簡稱基)的構(gòu)造方法，先給出基的等價描述.

定理1.1[5]設(shè)Ц是拓撲空間(X,J)上的一個開集族，則Ц是拓撲空間的一個基當(dāng)且僅當(dāng)對于每一個x∈X和x的每一個領(lǐng)域Ux，存在Vx∈Ц使得x∈Vx?Ux.

下面引理給出了分形方塊矩形基的一種構(gòu)造方法.

引理1.2[9]設(shè)F是一個分形方塊，E是[0,1]的稠密子集，記

則Ц是F的一個基.

類似地可得方形方塊的一個多邊形基的一種構(gòu)造方法.

推論1.3 設(shè)F是一個分形方塊，V是[0,1]2的稠密子集，記

則Ц是F的一個基.

定理1.5[8]設(shè)X是一個非空的可分度量空間，則dimtH(X×[0,1])=dimH(X×[0,1])=dimHX+1.

2 定理的證明

本節(jié)分4種情形證明定理.

情形一(運用定理1.5)

情形二(構(gòu)造引理1.2中的基)

記

圖3 F3的一個拓撲基

則任意的U∩F3∈Ц，U∩F3的頂點均屬于E2，從而由引理1.2，Ц是F3的基.

其結(jié)構(gòu)如圖3所示：

對F4,

設(shè)

即Vn為[0,1]2按9n等分下去所得到的方塊的右下方的頂點集.

對任意的v=(a,b)∈Vn，作直線ln:y=-x+a+b. 又因為當(dāng)a=1,b=0時：

是一個可列集，所以對每一個n，ln∩F4是由可數(shù)個可列集的并構(gòu)成的，也為可數(shù)集.

圖4 F4的一個拓撲基

情形三(構(gòu)造引理1.4中的基)

記

下面通過V作F5的滿足引理1.4的基.

對任意p=(a,b)∈V，存在k≥0，使得p∈Vk+1Vk(若p=(0,0)，則記p∈V0). 作點p的關(guān)于直線x=a對稱的鄰域U1(p)，且滿足：

(i) 在直線x=a右邊的邊界有曲線C1,1，C1,2確定；

遞歸作p的關(guān)于直線x=a對稱的鄰域Un(p)，n≥2滿足

(i) 在直線x=a右邊的邊界有曲線Cn,1,Cn,2確定；

圖5 F5的一個拓撲基

其基的結(jié)構(gòu)如圖5所示：

由上述構(gòu)造可得，對任意p∈V，有Un+1(p)?Un(p)且

令

則由引理1.4，Ц是F5的一個基.

情形四(構(gòu)造推論1.3中的基)

記

設(shè)

另一方面，記

圖6 F6的一個拓撲基

其基的結(jié)構(gòu)如圖6所示.

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[9] 柯楓. 代玉霞. 李青. 一類分形方塊的拓撲豪斯道夫維數(shù)[J].預(yù)出版.

(責(zé)任編輯 趙燕)

The topological Hausdorff dimension of a class of disconnected fractal squares

KE Feng, DAI Yuxia, LI Qing

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

fractal square; topological basic; topological Hausdorff dimension

2016-08-17

國家自然科學(xué)基金(11301162)資助

柯楓(1989-)，男，碩士生；代玉霞，通信作者，講師，研究方向：分形幾何，E-mail:daiyuxia8173@163.com

1000-2375(2017)02-0107-05

O211

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.02.001