力學(xué)三維問題的分析策略

平貴生

力學(xué)三維問題指力學(xué)量（受力和運(yùn)動(dòng)參量）不在同一平面內(nèi)的力學(xué)問題，中學(xué)階段力學(xué)問題以受力情況不在同一平面內(nèi)的問題居多.

力學(xué)三維問題在中學(xué)階段對(duì)大多數(shù)同學(xué)都是難點(diǎn)，高考中一般不會(huì)涉及，但通過三維問題的分析，可以訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，強(qiáng)化力學(xué)問題的處理方法.在綜合復(fù)習(xí)或?qū)ｎ}復(fù)習(xí)時(shí)，花一定時(shí)間分析三維問題，對(duì)學(xué)生系統(tǒng)掌握力學(xué)問題的分析方法、拓展學(xué)生的思維能力、構(gòu)建知識(shí)方法結(jié)構(gòu)體系、完善題型有重要的意義.

一、力學(xué)三維問題模型的基本特征

1. 兩物體發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng).可能是兩個(gè)物體均相對(duì)地運(yùn)動(dòng)，也可能是兩個(gè)物體中只有一個(gè)物體相對(duì)地運(yùn)動(dòng)，則另一個(gè)物體相對(duì)地靜止.

2. 在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)受到不在一條直線上的幾個(gè)力作用（通常其中一個(gè)是滑動(dòng)摩擦力），在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上受到彈力的作用（彈力與滑動(dòng)摩擦力有聯(lián)系）.

3. 在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上處于平衡狀態(tài)（通常情況物體在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)出處于平衡狀態(tài)）.

二、分析力學(xué)三維問題的基本思路

1. 恰當(dāng)?shù)剡x定研究對(duì)象.

力學(xué)三維問題常涉及三個(gè)物體，一個(gè)是地面（或桌面、地球等），另外兩個(gè)是在地面上發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體（如斜面及在斜面上運(yùn)動(dòng)的物體），通常以受力情況最明確、最簡單的物體為研究對(duì)象.

2. 用正交分解思想將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題.

根據(jù)“在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上物體處于平衡狀態(tài)”這一特點(diǎn)，先分析與運(yùn)動(dòng)平面垂直方向上的受力情況，根據(jù)平衡條件求出接觸面的彈力FN，計(jì)算出物體所受的滑動(dòng)摩擦力大小f=μFN，接下來分析運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的受力情況就變成二維問題.

3. 恰當(dāng)選定參考系，確定物體的合運(yùn)動(dòng)方向及摩擦力方向.

發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體，一個(gè)被選定為研究對(duì)象，另一個(gè)必須選定為參考系.根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成與分解的規(guī)律可確定出物體的合運(yùn)動(dòng)方向，進(jìn)一步根據(jù)“滑動(dòng)摩擦力方向與合運(yùn)動(dòng)方向相反”確定滑動(dòng)摩擦力方向.

4. 根據(jù)牛頓第二定律或平衡條件列方程求解未知量.

三、力學(xué)三維問題實(shí)例分析

問題1如圖1所示，在傾角為30°的粗糙斜面上有一質(zhì)量為m的物體，若用與斜面底邊平行的恒力F=12mg拉物體，恰好能使該物體在斜面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng).則物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（ ）.

A.22 B.33 C.63 D.66

分析物體受重力mg、支持力FN、拉力F、滑動(dòng)摩擦力f共4個(gè)力的作用，這4個(gè)力不在同一個(gè)水平面內(nèi)，其中重力mg在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)和與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上均有分量.

重力在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的分量為mgsinθ，在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上的分量為mgcosθ.

在與物體運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向物體處于平衡狀態(tài)，因此有

FN=mgcosθ.

物體在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)的等效受力情況如圖3所示.物體勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)合力為零，因此有

f=F2+（mgsinθ）2=22mg，μ=fFN=63

注意因?yàn)榛瑒?dòng)摩擦力方向一定與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合速度方向相反，所以物體雖然受到水平向左的拉力作用，但不可能在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體運(yùn)動(dòng)的方向應(yīng)與 與 的合力方向一致.

問題2如圖4所示，半徑為r=0.2m的圓柱體繞水平軸OO′以角速度ω=9rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，將一質(zhì)量為m=1 kg的物體A放在圓柱體上方，并用光滑擋板擋住使它不能隨圓柱體一起轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)用一平行于水平軸的力F=2N推物體，可以使物體以v0=2.4 m/s的速度向右勻速滑動(dòng).試求物體與圓柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ.

分析以物體A為研究對(duì)象，物體受到圓柱體的支持力FN、重力mg、水平推力F、擋板對(duì)物體向外的彈力F1和圓柱體對(duì)物體的滑動(dòng)摩擦力f共5個(gè)力的作用，這5個(gè)力不在一個(gè)平面內(nèi).

以圓柱體為參考，物體A在水平面內(nèi)同時(shí)參與了二個(gè)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是水平向右運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是相對(duì)于圓柱體以v1=rω的速度向外運(yùn)動(dòng).

物體在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上受到支持力FN、重力mg兩個(gè)力的作用處于平衡狀態(tài)，因此有FN=mg=10 N.

設(shè)物體相對(duì)于圓柱體合運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，合運(yùn)動(dòng)速度與推力F方向之間的夾角為θ，則有

根據(jù)“滑動(dòng)摩擦力的方向始終與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的速度方向相反”可知物體A在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的受力情況如圖所示.物體勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)合力為零，因此有

力學(xué)三維問題指力學(xué)量（受力和運(yùn)動(dòng)參量）不在同一平面內(nèi)的力學(xué)問題，中學(xué)階段力學(xué)問題以受力情況不在同一平面內(nèi)的問題居多.

力學(xué)三維問題在中學(xué)階段對(duì)大多數(shù)同學(xué)都是難點(diǎn)，高考中一般不會(huì)涉及，但通過三維問題的分析，可以訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，強(qiáng)化力學(xué)問題的處理方法.在綜合復(fù)習(xí)或?qū)ｎ}復(fù)習(xí)時(shí)，花一定時(shí)間分析三維問題，對(duì)學(xué)生系統(tǒng)掌握力學(xué)問題的分析方法、拓展學(xué)生的思維能力、構(gòu)建知識(shí)方法結(jié)構(gòu)體系、完善題型有重要的意義.

一、力學(xué)三維問題模型的基本特征

1. 兩物體發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng).可能是兩個(gè)物體均相對(duì)地運(yùn)動(dòng)，也可能是兩個(gè)物體中只有一個(gè)物體相對(duì)地運(yùn)動(dòng)，則另一個(gè)物體相對(duì)地靜止.

2. 在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)受到不在一條直線上的幾個(gè)力作用（通常其中一個(gè)是滑動(dòng)摩擦力），在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上受到彈力的作用（彈力與滑動(dòng)摩擦力有聯(lián)系）.

3. 在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上處于平衡狀態(tài)（通常情況物體在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)出處于平衡狀態(tài)）.

二、分析力學(xué)三維問題的基本思路

1. 恰當(dāng)?shù)剡x定研究對(duì)象.

力學(xué)三維問題常涉及三個(gè)物體，一個(gè)是地面（或桌面、地球等），另外兩個(gè)是在地面上發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體（如斜面及在斜面上運(yùn)動(dòng)的物體），通常以受力情況最明確、最簡單的物體為研究對(duì)象.

2. 用正交分解思想將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題.

根據(jù)“在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上物體處于平衡狀態(tài)”這一特點(diǎn)，先分析與運(yùn)動(dòng)平面垂直方向上的受力情況，根據(jù)平衡條件求出接觸面的彈力FN，計(jì)算出物體所受的滑動(dòng)摩擦力大小f=μFN，接下來分析運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的受力情況就變成二維問題.

3. 恰當(dāng)選定參考系，確定物體的合運(yùn)動(dòng)方向及摩擦力方向.

發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體，一個(gè)被選定為研究對(duì)象，另一個(gè)必須選定為參考系.根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成與分解的規(guī)律可確定出物體的合運(yùn)動(dòng)方向，進(jìn)一步根據(jù)“滑動(dòng)摩擦力方向與合運(yùn)動(dòng)方向相反”確定滑動(dòng)摩擦力方向.

4. 根據(jù)牛頓第二定律或平衡條件列方程求解未知量.

三、力學(xué)三維問題實(shí)例分析

問題1如圖1所示，在傾角為30°的粗糙斜面上有一質(zhì)量為m的物體，若用與斜面底邊平行的恒力F=12mg拉物體，恰好能使該物體在斜面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng).則物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（ ）.

A.22 B.33 C.63 D.66

分析物體受重力mg、支持力FN、拉力F、滑動(dòng)摩擦力f共4個(gè)力的作用，這4個(gè)力不在同一個(gè)水平面內(nèi)，其中重力mg在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)和與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上均有分量.

重力在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的分量為mgsinθ，在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上的分量為mgcosθ.

在與物體運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向物體處于平衡狀態(tài)，因此有

FN=mgcosθ.

物體在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)的等效受力情況如圖3所示.物體勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)合力為零，因此有

f=F2+（mgsinθ）2=22mg，μ=fFN=63

注意因?yàn)榛瑒?dòng)摩擦力方向一定與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合速度方向相反，所以物體雖然受到水平向左的拉力作用，但不可能在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體運(yùn)動(dòng)的方向應(yīng)與 與 的合力方向一致.

問題2如圖4所示，半徑為r=0.2m的圓柱體繞水平軸OO′以角速度ω=9rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，將一質(zhì)量為m=1 kg的物體A放在圓柱體上方，并用光滑擋板擋住使它不能隨圓柱體一起轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)用一平行于水平軸的力F=2N推物體，可以使物體以v0=2.4 m/s的速度向右勻速滑動(dòng).試求物體與圓柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ.

分析以物體A為研究對(duì)象，物體受到圓柱體的支持力FN、重力mg、水平推力F、擋板對(duì)物體向外的彈力F1和圓柱體對(duì)物體的滑動(dòng)摩擦力f共5個(gè)力的作用，這5個(gè)力不在一個(gè)平面內(nèi).

以圓柱體為參考，物體A在水平面內(nèi)同時(shí)參與了二個(gè)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是水平向右運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是相對(duì)于圓柱體以v1=rω的速度向外運(yùn)動(dòng).

物體在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上受到支持力FN、重力mg兩個(gè)力的作用處于平衡狀態(tài)，因此有FN=mg=10 N.

設(shè)物體相對(duì)于圓柱體合運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，合運(yùn)動(dòng)速度與推力F方向之間的夾角為θ，則有

根據(jù)“滑動(dòng)摩擦力的方向始終與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的速度方向相反”可知物體A在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的受力情況如圖所示.物體勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)合力為零，因此有

力學(xué)三維問題指力學(xué)量（受力和運(yùn)動(dòng)參量）不在同一平面內(nèi)的力學(xué)問題，中學(xué)階段力學(xué)問題以受力情況不在同一平面內(nèi)的問題居多.

力學(xué)三維問題在中學(xué)階段對(duì)大多數(shù)同學(xué)都是難點(diǎn)，高考中一般不會(huì)涉及，但通過三維問題的分析，可以訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，強(qiáng)化力學(xué)問題的處理方法.在綜合復(fù)習(xí)或?qū)ｎ}復(fù)習(xí)時(shí)，花一定時(shí)間分析三維問題，對(duì)學(xué)生系統(tǒng)掌握力學(xué)問題的分析方法、拓展學(xué)生的思維能力、構(gòu)建知識(shí)方法結(jié)構(gòu)體系、完善題型有重要的意義.

一、力學(xué)三維問題模型的基本特征

1. 兩物體發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng).可能是兩個(gè)物體均相對(duì)地運(yùn)動(dòng)，也可能是兩個(gè)物體中只有一個(gè)物體相對(duì)地運(yùn)動(dòng)，則另一個(gè)物體相對(duì)地靜止.

2. 在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)受到不在一條直線上的幾個(gè)力作用（通常其中一個(gè)是滑動(dòng)摩擦力），在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上受到彈力的作用（彈力與滑動(dòng)摩擦力有聯(lián)系）.

3. 在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上處于平衡狀態(tài)（通常情況物體在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)出處于平衡狀態(tài)）.

二、分析力學(xué)三維問題的基本思路

1. 恰當(dāng)?shù)剡x定研究對(duì)象.

力學(xué)三維問題常涉及三個(gè)物體，一個(gè)是地面（或桌面、地球等），另外兩個(gè)是在地面上發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體（如斜面及在斜面上運(yùn)動(dòng)的物體），通常以受力情況最明確、最簡單的物體為研究對(duì)象.

2. 用正交分解思想將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題.

根據(jù)“在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上物體處于平衡狀態(tài)”這一特點(diǎn)，先分析與運(yùn)動(dòng)平面垂直方向上的受力情況，根據(jù)平衡條件求出接觸面的彈力FN，計(jì)算出物體所受的滑動(dòng)摩擦力大小f=μFN，接下來分析運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的受力情況就變成二維問題.

3. 恰當(dāng)選定參考系，確定物體的合運(yùn)動(dòng)方向及摩擦力方向.

發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體，一個(gè)被選定為研究對(duì)象，另一個(gè)必須選定為參考系.根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成與分解的規(guī)律可確定出物體的合運(yùn)動(dòng)方向，進(jìn)一步根據(jù)“滑動(dòng)摩擦力方向與合運(yùn)動(dòng)方向相反”確定滑動(dòng)摩擦力方向.

4. 根據(jù)牛頓第二定律或平衡條件列方程求解未知量.

三、力學(xué)三維問題實(shí)例分析

問題1如圖1所示，在傾角為30°的粗糙斜面上有一質(zhì)量為m的物體，若用與斜面底邊平行的恒力F=12mg拉物體，恰好能使該物體在斜面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng).則物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（ ）.

A.22 B.33 C.63 D.66

分析物體受重力mg、支持力FN、拉力F、滑動(dòng)摩擦力f共4個(gè)力的作用，這4個(gè)力不在同一個(gè)水平面內(nèi)，其中重力mg在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)和與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上均有分量.

重力在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的分量為mgsinθ，在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上的分量為mgcosθ.

在與物體運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向物體處于平衡狀態(tài)，因此有

FN=mgcosθ.

物體在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)的等效受力情況如圖3所示.物體勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)合力為零，因此有

f=F2+（mgsinθ）2=22mg，μ=fFN=63

注意因?yàn)榛瑒?dòng)摩擦力方向一定與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合速度方向相反，所以物體雖然受到水平向左的拉力作用，但不可能在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體運(yùn)動(dòng)的方向應(yīng)與 與 的合力方向一致.

問題2如圖4所示，半徑為r=0.2m的圓柱體繞水平軸OO′以角速度ω=9rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，將一質(zhì)量為m=1 kg的物體A放在圓柱體上方，并用光滑擋板擋住使它不能隨圓柱體一起轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)用一平行于水平軸的力F=2N推物體，可以使物體以v0=2.4 m/s的速度向右勻速滑動(dòng).試求物體與圓柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ.

分析以物體A為研究對(duì)象，物體受到圓柱體的支持力FN、重力mg、水平推力F、擋板對(duì)物體向外的彈力F1和圓柱體對(duì)物體的滑動(dòng)摩擦力f共5個(gè)力的作用，這5個(gè)力不在一個(gè)平面內(nèi).

以圓柱體為參考，物體A在水平面內(nèi)同時(shí)參與了二個(gè)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是水平向右運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是相對(duì)于圓柱體以v1=rω的速度向外運(yùn)動(dòng).

物體在與運(yùn)動(dòng)平面垂直的方向上受到支持力FN、重力mg兩個(gè)力的作用處于平衡狀態(tài)，因此有FN=mg=10 N.

設(shè)物體相對(duì)于圓柱體合運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，合運(yùn)動(dòng)速度與推力F方向之間的夾角為θ，則有

根據(jù)“滑動(dòng)摩擦力的方向始終與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的速度方向相反”可知物體A在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的受力情況如圖所示.物體勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)平面（斜面）內(nèi)合力為零，因此有