探索向量問題求解 彰顯數(shù)學思想魅力

周凌峰+唐永

策略1緊扣數(shù)學概念

在數(shù)學教材中許多數(shù)學概念如三角形的外心、重心、函數(shù)的單調性等不僅僅是定義，同時也是方法，只要我們緊扣概念，抓住概念的本質特征，就會自然產生解決問題的方法.

評注因為AB·AC=cbcosA=12（b2+c2-a2），所以需要找a，b，c滿足的條件.a，b，c滿足a2=bc，a+b+c=6是顯而易見的，由于兩個方程三個未知數(shù)，所以獨立變量只有一個，選擇哪個變量為自變量較為合理？兩個方程都是關于b和c對稱，選擇a較為合理，通過消元，得到AB·AC=-（a+3）2+27，這樣就建立了以a為自變量的目標函數(shù)，然后挖掘自變量a的隱含條件，即目標函數(shù)的定義域，最后求出目標函數(shù)的值域.有時，自變量的條件是夠隱蔽的，它需要我們全面地考慮，如本題只考慮a是正數(shù)這個條件是不夠的，還需考慮三角形三邊的條件，否則就前功盡棄.這類問題往往可以從三個方面考慮，一是每一個變量自身存在的條件，二是變量間關系，三是條件化簡時，注意等價性.

綜上，在解決向量問題的過程中，發(fā)現(xiàn)其背后是函數(shù)與方程、化歸轉化、數(shù)形結合以及消元、構造等數(shù)學思想方法的應用.通過這番探討，不僅能有效提升學生的綜合解題能力，而且可以培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性，還可以提升我們對于數(shù)學解題的理性認識.

策略1緊扣數(shù)學概念

在數(shù)學教材中許多數(shù)學概念如三角形的外心、重心、函數(shù)的單調性等不僅僅是定義，同時也是方法，只要我們緊扣概念，抓住概念的本質特征，就會自然產生解決問題的方法.

評注因為AB·AC=cbcosA=12（b2+c2-a2），所以需要找a，b，c滿足的條件.a，b，c滿足a2=bc，a+b+c=6是顯而易見的，由于兩個方程三個未知數(shù)，所以獨立變量只有一個，選擇哪個變量為自變量較為合理？兩個方程都是關于b和c對稱，選擇a較為合理，通過消元，得到AB·AC=-（a+3）2+27，這樣就建立了以a為自變量的目標函數(shù)，然后挖掘自變量a的隱含條件，即目標函數(shù)的定義域，最后求出目標函數(shù)的值域.有時，自變量的條件是夠隱蔽的，它需要我們全面地考慮，如本題只考慮a是正數(shù)這個條件是不夠的，還需考慮三角形三邊的條件，否則就前功盡棄.這類問題往往可以從三個方面考慮，一是每一個變量自身存在的條件，二是變量間關系，三是條件化簡時，注意等價性.

綜上，在解決向量問題的過程中，發(fā)現(xiàn)其背后是函數(shù)與方程、化歸轉化、數(shù)形結合以及消元、構造等數(shù)學思想方法的應用.通過這番探討，不僅能有效提升學生的綜合解題能力，而且可以培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性，還可以提升我們對于數(shù)學解題的理性認識.

策略1緊扣數(shù)學概念

在數(shù)學教材中許多數(shù)學概念如三角形的外心、重心、函數(shù)的單調性等不僅僅是定義，同時也是方法，只要我們緊扣概念，抓住概念的本質特征，就會自然產生解決問題的方法.

評注因為AB·AC=cbcosA=12（b2+c2-a2），所以需要找a，b，c滿足的條件.a，b，c滿足a2=bc，a+b+c=6是顯而易見的，由于兩個方程三個未知數(shù)，所以獨立變量只有一個，選擇哪個變量為自變量較為合理？兩個方程都是關于b和c對稱，選擇a較為合理，通過消元，得到AB·AC=-（a+3）2+27，這樣就建立了以a為自變量的目標函數(shù)，然后挖掘自變量a的隱含條件，即目標函數(shù)的定義域，最后求出目標函數(shù)的值域.有時，自變量的條件是夠隱蔽的，它需要我們全面地考慮，如本題只考慮a是正數(shù)這個條件是不夠的，還需考慮三角形三邊的條件，否則就前功盡棄.這類問題往往可以從三個方面考慮，一是每一個變量自身存在的條件，二是變量間關系，三是條件化簡時，注意等價性.

綜上，在解決向量問題的過程中，發(fā)現(xiàn)其背后是函數(shù)與方程、化歸轉化、數(shù)形結合以及消元、構造等數(shù)學思想方法的應用.通過這番探討，不僅能有效提升學生的綜合解題能力，而且可以培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性，還可以提升我們對于數(shù)學解題的理性認識.