幾種AR和ARMA模型對城市用水量預測的比較

翁建華，廉東方，崔曉鈺

（1.上海電力學院 能源與機械工程學院，上海200090；2.上海理工大學 能源與動力工程學院，上海200093）

城市用水量預測是通過對歷史數(shù)據(jù)進行綜合分析，并在基本趨勢判斷基礎上，對未來時段的用水量作出預測。

用于城市用水量預測的方法有多種，如時間序列分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡模型法［1-2］等。每種預測方法都有各自特點，針對具體問題選擇合適方法十分重要［3-5］。對城市短期用水量預測，最常用的還是時間序列分析法。時間序列分析法包括自回歸（AR）、移動平均（MA）、自回歸移動平均（ARMA）、灰色預測法等［6］。

根據(jù)城市用水特點采用AR和ARMA模型，對城市某區(qū)域用水量進行預測，并比較了不同模型的預測結(jié)果。

1 城市短期用水量特點

城市短期用水量可分為時用水量、日用水量和周用水量，這些短期用水量受天氣、季節(jié)、居民生活、社會活動及工業(yè)生產(chǎn)狀況等因素的影響而變化。無異常情況下一周內(nèi)工作日（周一至周五）的用水量變化特征是相似的，而周末與節(jié)假日的用水量則與工作日明顯不同。一天內(nèi)的時用水量基本上以24h為周期進行變化，且有夜晚低、白天高的特點。短期內(nèi)無異常情況下，連續(xù)數(shù)個工作日 （或連續(xù)數(shù)個非工作日）同一時間段的用水量比較接近，連續(xù)幾周日用水量的變化也有趨向于自身重復的特性。

某市一區(qū)域工作日的時用水量變化曲線如圖1。

圖1 工作日的時用水量變化

由圖1可見，白天的用水量明顯要高于夜晚，尤其凌晨零點至四點用水量達到一天的最低。

連續(xù)18個工作日的日用水量變化曲線如圖2。

圖2 工作日的日用水量變化

由圖2可見，周五的日用水量通常為一周工作日的日用水量最低值。

2 用水量預測的時間序列分析法

城市用水量的短期預測常采用時間序列分析法。本文采用不同AR及ARMA模型［7-8］對某市一區(qū)域用水量進行預測，并對不同模型的預測結(jié)果進行比較。

2.1 自回歸模型AR（p）

對于時間序列X1，X2，…Xt，…，采用AR（p）模型，則當前值Xt可表示為過去觀察值Xt-1，Xt-2，……，Xt-p的線性組合：

其中α1，α2，……，αp為模型參數(shù)；p為模型階數(shù)；et為隨機干擾。

2.2 自回歸移動平均模型

對于時間序列X1，X2，…，Xt，…，采用ARMA（p，q）模型，則當前值Xt不僅與過去觀察值Xt-1，Xt-2，…，Xt-p有關，還與過去時刻進入系統(tǒng)的擾動有關，則：

式中 α1，α2，…，αp和β1，β2，…，βq為模型參數(shù)；{ek}為白噪聲過程；p，q為模型階數(shù)。

無論是AR模型還是ARMA模型，都需要利用歷史數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進行估計。參數(shù)估計的方法有矩估計法、最小二乘法和極大似然估計法等。

預測模型的評價指標有相對誤差、均方差（MSE）和平均絕對百分比誤差（MAPE）等，計算方法有［9］：

2.2.1 相對誤差Pi

相對誤差Pi公式如下：

式中 ei=Fi-xi；xi為第i時刻的實際觀測值；Fi為第i時刻的預測值。

2.2.2 均方差MSE

均方差MSE公式如下：

2.2.3 平均絕對百分比誤差MAPE

平均絕對百分比誤差MAPE公式如下：

誤差越小，則模型預測的精度越高。

3 預測結(jié)果及分析

利用17個連續(xù)工作日的時用水量，并對個別異常數(shù)據(jù)進行修復處理后，用AR模型預測得到的次日各時間段的時用水量如圖3。

圖3 時用水量AR模型預測

圖3中的用水量進行了歸一化處理。模型參數(shù)的估計采用最小二乘法。

AR模型預測結(jié)果與實測值之間的相對誤差分布如圖4。

圖4 AR模型時用水量預測結(jié)果相對誤差

由圖4可見，相對誤差均在±10%之內(nèi)，且絕大多數(shù)在±5%之內(nèi)。

用ARMA（5，3）模型預測得到的次日各時間段的時用水量如圖5。

圖5 時用水量ARMA模型預測結(jié)果

ARMA模型預測結(jié)果與實測值之間的相對誤差分布如圖6。相對誤差均在±10%之內(nèi)，且只有個別點誤差在±5%之外。

圖6 ARMA模型時用水量預測結(jié)果的相對誤差分布

AR模型及ARMA模型預測結(jié)果的均方差MSE和平均絕對百分比誤差MAPE如表1。

表1 AR和ARMA模型時用水量預測結(jié)果 單位：%

由表1可見，ARMA（5，3）模型預測結(jié)果的MSE最小，而AR（5）模型預測結(jié)果的MAPE最小。

利用17個連續(xù)工作日的日用水量，用AR（5）和ARMA（5，3）模型預測得到的后兩個工作日的結(jié)果如圖7。

圖7 AR和ARMA模型預測結(jié)果

預測結(jié)果的相對誤差如表2，預測結(jié)果的相對誤差也都在±10%以內(nèi)。

表2 AR和ARMA模型日用水量預測結(jié)果的相對誤差單位：%

4 結(jié)語

（1）用時間序列法中的AR和ARMA模型對某市一區(qū)域的時用水量和日用水量進行預測，預測結(jié)果與實測值基本一致。與實測值相比，各模型預測結(jié)果的相對誤差均在±10%以內(nèi)，且只有個別點的相對誤差在±5%之外。

（2）從預測結(jié)果的平均平方誤差MSE來看，高階的AR模型要好于低階的AR模型，ARMA模型要好于AR模型；而從平均絕對百分比誤差（MAPE）來看，ARMA模型并不優(yōu)于高階的AR模型。

（3）在選擇用水量預測模型時，需綜合考慮模型的預測精度與模型的復雜程度等因素，以便選取合適的模型進行用水量預測。

［1］JAIN A.，VARSHNEY A.K.，JOSHI U.C.Short-Term Water Demand Forecast Modelling at IIT Kanpur Using Artificial Neural Networks ［J］.Water Resources Management，2001（15）:299-321.

［2］許強.基于神經(jīng)網(wǎng)絡的城市日用水量預測［J］.水科學與工程技術(shù)，2012（5）: 58-60.

［3］李紅艷，崔建國，張星全.城市用水量預測模型的優(yōu)選研究［J］.中國給水排水，2004，20（2）: 41-43.

［4］張雅君，劉全勝.需水量預測方法的評析與擇優(yōu)［J］.中國給水排水，2001，17（7）: 27-29.

［5］陳揚.城市時用水量預測模型比較［J］.給水排水工程，2011，29（5）: 71-72.

［6］趙洪賓.給水管網(wǎng)系統(tǒng)理論與分析［M］.北京: 中國建筑工業(yè)出版社，2003.

［7］何書元.應用時間序列分析［M］.北京：北京大學出版社，2009.

［8］王黎明，王連，楊楠.應用時間序列分析［M］.上海：復旦大學出版社，2009.

［9］王勇領.預測計算方法［M］.北京：科學出版社，1986.