預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)反向思維計(jì)算法

何 鵕，孫 麗

（河北省水利水電勘測設(shè)計(jì)研究院，天津300250）

1 反向思維法內(nèi)涵

反向思維法是以結(jié)構(gòu)計(jì)算求出的控制截面邊緣應(yīng)力為依據(jù)，通過反向思維推導(dǎo)出該截面受壓區(qū)及受拉區(qū)應(yīng)施加的預(yù)壓力N′p及Np，相應(yīng)構(gòu)件抗裂驗(yàn)算邊緣纖維產(chǎn)生了混凝土法向預(yù)應(yīng)力σpc及相應(yīng)受壓區(qū)混凝土邊緣纖維產(chǎn)生了法向預(yù)拉應(yīng)力σ′pc；以σpc平衡在荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下控制截面受拉區(qū)混凝土邊緣纖維產(chǎn)生的拉應(yīng)力σck，以σ′pc平衡在自重荷載作用下受壓區(qū)混凝土邊緣纖維產(chǎn)生的壓應(yīng)力σcc；根據(jù)選用的鋼絞線的強(qiáng)度指標(biāo)可直接計(jì)算出構(gòu)件受壓區(qū)和受拉區(qū)的預(yù)壓力N′p、Np及相應(yīng)的鋼絞線的根數(shù)n′、n，一步到位，此法稱預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)反向思維計(jì)算法。

2 公式的建立

根據(jù)SL 191—2008 《水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》，采用“化整為零”的方法，將式中的總預(yù)壓力Np分解為受壓區(qū)的預(yù)壓力N′p及受拉區(qū)的預(yù)壓力Np，各自在受壓區(qū)及受拉區(qū)混凝土邊緣纖維產(chǎn)生了法向預(yù)應(yīng)力σ′1、σ1及σ′2、σ2，由此找出受壓區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預(yù)應(yīng)力σ′pc=σ′1+σ′2及受拉區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預(yù)應(yīng)力σpc=σ1+σ2。

在混凝土構(gòu)件受壓區(qū)施加有效預(yù)壓力N′p時，對截面重心取矩，如圖1。

圖1 鋼絞線配置計(jì)算圖

計(jì)算截面受壓區(qū)及受拉區(qū)混凝土邊緣纖維產(chǎn)生的法向應(yīng)力為：

式中 N′p受壓區(qū)施加的扣除全部應(yīng)力損失后的有效預(yù)壓力合力（kN）；σ′1、σ1為受壓區(qū)施加預(yù)壓力N′p時，受壓區(qū)、受拉區(qū)混凝土邊緣產(chǎn)生的法向預(yù)應(yīng)力（N/mm2）；An為構(gòu)件凈截面面積（m2）；yn為凈截面重心至受壓區(qū)邊緣纖維的距離（m）；a′p為受壓區(qū)施加預(yù)壓力筋的保護(hù)層（mm）；In為凈截面的慣性矩（m4）；h為梁高（m）。

在混凝土構(gòu)件受拉區(qū)施加有效預(yù)壓力Np時，對截面重心取矩，計(jì)算截面受壓區(qū)及受拉區(qū)混凝土邊緣纖維產(chǎn)生的法向應(yīng)力為：

式中 Np為在構(gòu)件受拉區(qū)施加的扣除全部應(yīng)力損失后的有效預(yù)壓力合力（kN）；σ′2、σ′2為受拉區(qū)施加預(yù)壓力Np時，受壓區(qū)、受拉區(qū)混凝土邊緣產(chǎn)生的法向預(yù)應(yīng)力（N/mm2）；h0為截面受拉區(qū)有效預(yù)壓力合力至梁頂高度（m）。

預(yù)應(yīng)力狀態(tài)如圖2。

圖2 預(yù)應(yīng)力狀態(tài)

在N′p（z）、Np（z）共同作用下，控制截面上的應(yīng)力分布呈三角形，如圖2（a），受拉區(qū)預(yù)應(yīng)力σpc=σ1+σ2時，受壓區(qū)預(yù)應(yīng)力σ′pc=σ′1+σ′2=0。

式（3）兩邊同時乘以An：

令

式（4）簡化后為：

式中 受拉區(qū)及受壓區(qū)施加有效預(yù)壓力Np（z）、N′p（z），令受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向預(yù)應(yīng)力為零時，e 為受拉區(qū)與受壓區(qū)有效預(yù)壓力的比例系數(shù)；受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向預(yù)應(yīng)力為零時，α1、α2為受拉區(qū)、受壓區(qū)幾何力學(xué)指標(biāo)系數(shù)。

當(dāng)受拉區(qū)σpc=σ1+σ2，受壓區(qū)σ′pc=σ′1+σ′2=0 時，構(gòu)件受拉區(qū)與受壓區(qū)預(yù)壓力Np（z）與N′p（z）兩者關(guān)系：

當(dāng)σ′1+σ′2=0 時，受拉區(qū)混凝土邊緣法向預(yù)應(yīng)力：

當(dāng)控制截面上的應(yīng)力分布如圖2（b）時，構(gòu)件受壓區(qū)及受拉區(qū)施加的預(yù)壓力分別為N′p（t）、Np（t），受壓區(qū)混凝土邊緣纖維預(yù)應(yīng)力σ′pc=σ′1+σ′2，受拉區(qū)混凝土邊緣纖維預(yù)應(yīng)力σpc=σ1+σ2=0，則有：

式（10）兩邊同時乘An：

令

式（10）化簡后為：

相應(yīng)受壓區(qū)施加預(yù)壓力N′p（t），受拉區(qū)施加預(yù)壓力Np（t），受拉區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預(yù)應(yīng)力σpc為零，受壓區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預(yù)應(yīng)力為σ′pc，受壓區(qū)與受拉壓區(qū)施加的預(yù)壓力的比例系數(shù)為：

式中 受壓區(qū)及受拉區(qū)施加有效預(yù)壓力N′p（t）、Np（t），令受拉區(qū)混凝土邊緣纖維預(yù)應(yīng)力為零時，e′為受壓區(qū)與受拉區(qū)有效預(yù)壓力的比例系數(shù)；受拉區(qū)混凝土邊緣法向預(yù)應(yīng)力為零時，α′1、α′2為受拉區(qū)、受壓區(qū)幾何力學(xué)指標(biāo)系數(shù)。

當(dāng)受拉區(qū)σpc=σ1+σ2=0，受壓區(qū)σ′pc=σ′1+σ′2時，構(gòu)件受壓區(qū)與受拉區(qū)預(yù)壓力N′p（t）與Np（t）兩者關(guān)系：

當(dāng)σ1+σ2=0 時，受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向預(yù)應(yīng)力：

3 鋼絞線配置準(zhǔn)用值計(jì)算

在梁構(gòu)件受拉區(qū)混凝土邊緣纖維法向預(yù)應(yīng)力σpc=-σck的前提下，在受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向預(yù)應(yīng)力σ′pc為零時，計(jì)算出梁構(gòu)件受拉區(qū)及受壓區(qū)配置鋼絞線的數(shù)量n1、n′1，稱其為鋼絞線準(zhǔn)用值。

令σpc=σ1+σ2=-σck，即對梁構(gòu)件的受拉區(qū)邊緣纖維施加的預(yù)應(yīng)力σpc與受壓區(qū)邊緣纖維施加的預(yù)應(yīng)力σ′pc=0，構(gòu)件在荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下σpc與抗裂驗(yàn)算混凝土邊緣纖維法向拉應(yīng)力σck大小相等，受力方向相反。準(zhǔn)用值預(yù)應(yīng)力狀態(tài)如圖2（a）。

按照σpc=-σck配置鋼絞線。現(xiàn)將式（1）～式（2）中的σ1及σ2相加與-σck列出下列方程：

將式（8）代入式（17）。在滿足構(gòu)件受拉區(qū)σck+σpc=0 時，受壓區(qū)應(yīng)施加的有效預(yù)壓力準(zhǔn)用值：

式中符號同前，參數(shù)α′1、α′2及e 可通過excel表進(jìn)行計(jì)算，受拉區(qū)應(yīng)施加的有效預(yù)壓力Np（z）用式（8）求得。

4 鋼絞線配置替代值計(jì)算

梁構(gòu)件受拉區(qū)邊緣纖維的法向預(yù)應(yīng)力為零，即σpc=σ1+σ2=0，受壓區(qū)混凝土邊緣纖維的法向預(yù)應(yīng)力σ′pc等于在自重荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下受壓區(qū)混凝土邊緣纖維法向正應(yīng)力-σcc，即σ′pc=σ′1+σ′2=-σcc，在此情況下，計(jì)算出梁構(gòu)件受拉區(qū)及受壓區(qū)配置鋼絞線的數(shù)量n2、n′2稱鋼絞線替代值。

在σpc=σ1+σ2=0 的情況下，即梁構(gòu)件受壓區(qū)預(yù)應(yīng)力σ′pc=-σcc，替代值預(yù)應(yīng)力狀態(tài)如圖2（b）。計(jì)算截面受壓區(qū)及受拉區(qū)施加的預(yù)壓力N′p（t）、Np（t）和配置的鋼絞線的數(shù)量n′2、n2。對于預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件來說，施工期受壓區(qū)混凝土邊緣纖維的壓應(yīng)力σcc是一種潛在的能量，應(yīng)充分利用，它可以替代一部分鋼絞線，同時也改善了預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)。

按照σ′pc=-σcc配置鋼絞線?，F(xiàn)將式（1）～式（2）中的σ′1及σ′2相加與σ′pc=σcc列出下列方程：

將式（15）代入式（19）求解。在滿足構(gòu)件受壓區(qū)σcc+σ′pe=0 時，受拉區(qū)有效預(yù)壓力替代值為：

式（20）中的Np（t）及用式（15）計(jì)算出的N′p（t）為有效預(yù)壓力替代值。

計(jì)算中，當(dāng)替代值時n′2>n′1，說明σcc壓力有富裕，取n′2=n′1，n′=0，此時，受壓區(qū)不必設(shè)置預(yù)應(yīng)力鋼絞線。

5 預(yù)應(yīng)力鋼絞線根數(shù)計(jì)算

前面計(jì)算出的預(yù)壓力Np及N′p，其相應(yīng)的鋼絞線的數(shù)量就是通過每根鋼絞線扣除預(yù)應(yīng)力損失后平均有效預(yù)壓力計(jì)算的。

式中 Aps為一根鋼絞線的截面積（mm2/根）；σcon為預(yù)應(yīng)力筋張拉時的控制應(yīng)力（N/mm2）；Np、N′p為受拉區(qū)、受壓區(qū)每根鋼絞線扣除預(yù)應(yīng)力損失后，平均有效預(yù)壓力（kN/根）；μp、μ′p為結(jié)構(gòu)控制截面受拉區(qū)或受壓區(qū)鋼絞線總預(yù)應(yīng)力損失率。

需要說明的是，梁受壓區(qū)及受拉區(qū)施加的有效預(yù)壓力N′p及Np，必須用扣除預(yù)應(yīng)力損失后的單根鋼絞線的預(yù)壓力計(jì)量鋼絞線的根數(shù)，見式（22）、式（22′）。

直埋鋼絞線總預(yù)應(yīng)力損失率μ′p為15%～16%，曲線鋼絞線總預(yù)應(yīng)力損失率μp為直線鋼絞線總預(yù)應(yīng)力損失率的1.1 倍。這是后張法預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁兩端張拉控制截面計(jì)算出的總預(yù)應(yīng)力損失率。

6 設(shè)計(jì)流程

已知構(gòu)件控制截面上下邊緣應(yīng)力σcc、σck及相關(guān)截面參數(shù)h、hp、An、In、y、a′p。

計(jì)算分以下3 步：

（1）由式（5）、式（7）、式（12）、式（14）計(jì)算出與預(yù)應(yīng)力相關(guān)參數(shù)α1、α2、α′1、α′2、e 及e′。

（2）將參數(shù)代入式（18）、式（8）、式（20）、式（15），可求出結(jié)構(gòu)受壓區(qū)及受拉區(qū)預(yù)壓力準(zhǔn)用值N′p（z）、Np（z）及替代值Np（t）及N′p（t）。

（3）準(zhǔn)用值減去替代值之后，即為結(jié)構(gòu)受拉區(qū)及受壓區(qū)預(yù)壓力設(shè)計(jì)值N′p（s）及Np（s），通過式（21）、式（21′）及式（22）、式（22′）計(jì)算出受壓區(qū)及受拉區(qū)鋼絞線的根數(shù)n′及n。

7 實(shí)例

以泲河渡槽中縱梁為例，梁長L=30m，計(jì)算跨度l0=27.5m，懸臂長l1=1.25m，梁高h(yuǎn)=8.4m。

7.1 主要技術(shù)指標(biāo)

1 級混凝土建筑物，偶然組合承載力安全系數(shù)K=1.15，鋼絞線強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fptk=1860N/mm2，張拉控制應(yīng)力σcon=0.75fptk=1395N/mm2，鋼絞線公稱直徑準(zhǔn)s15.2mm，每根鋼絞線的有效預(yù)壓力Np=-151.0kN/根，N′p=-165.4kN/根，凈截面面積An=9.51m2，凈截面慣性矩In=67.62m4，鋼絞線彈性模量Ep=1.95×105N/mm2，凈截面重心至梁頂距離yn=4.86m，截面受拉區(qū)有效預(yù)壓力合力高度h0=8.05m，受壓區(qū)預(yù)壓力鋼絞線保護(hù)層a′p=0.25m。

標(biāo)準(zhǔn)荷載下混凝土抗裂邊緣纖維拉應(yīng)力σck=3.68N/mm2，受壓區(qū)壓應(yīng)力σc=-5.05N/mm2。

7.2 計(jì)算步驟

（1）用式（5）、式（7）、式（12）、式（14）計(jì)算相關(guān)參數(shù)。α′1=1.59，α′2=2.29，e′=2.00，α1=2.18，α2=3.14，e=3.52。

（2）用式（18）、式（8）、式（20）、式（15）計(jì)算相關(guān)參數(shù)。N′p（z）=-6864.4kN，Np（z）=-24190.5kN；N′p（t）=-4913.4kN，Np（t）=-2453.17kN。

（3）準(zhǔn)用值減替代值N′p（s）=-1950.96kN，Np（s）=-21737.29kN。通過式（21）、式（21′）及式（22）、式（22′）求出構(gòu)件受壓區(qū)及受拉區(qū)鋼絞線的根數(shù)n′=12根，n=144 根。

計(jì)算結(jié)果表明，受壓區(qū)施加預(yù)壓力-1950.96kN，鋼絞線12 根；受拉區(qū)施加預(yù)壓力-21737.29kN，鋼絞線144 根。

標(biāo)準(zhǔn)荷載下抗裂邊緣混凝土纖維拉應(yīng)力σck=3.68N/mm2，設(shè)防按σck=5.65N/mm2；標(biāo)準(zhǔn)荷載下受壓區(qū)壓應(yīng)力σc=-5.05N/mm2，自重標(biāo)準(zhǔn)荷載下受壓區(qū)壓應(yīng)力σcc=-1.84N/mm2，受壓區(qū)混凝土邊緣纖維預(yù)拉應(yīng)力［σ′pc］=-σcc=1.84N/mm2，實(shí)際在標(biāo)準(zhǔn)荷載下，受壓區(qū)壓應(yīng)力σ′=-3.21N/mm2，如圖3（c），滿足設(shè)計(jì)要求。

圖3 預(yù)應(yīng)力與荷載應(yīng)力疊加狀態(tài)

用該法計(jì)算出的鋼絞線數(shù)量比泲河渡槽中縱梁最終設(shè)計(jì)成果少5 根，誤差為3.1%。此法完全可以用在預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)初步設(shè)計(jì)階段。依此布置鋼絞線，在此基礎(chǔ)上再作進(jìn)一步優(yōu)化。

8 結(jié)語

根據(jù)SL191—2008《水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》給出的預(yù)應(yīng)力混凝土邊緣纖維法向應(yīng)力的基本公式，通過反向思維，按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法確定混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)力σck及施工期受壓區(qū)混凝土邊緣壓應(yīng)力σcc，使受拉區(qū)預(yù)壓應(yīng)力σpc=-σck，受壓區(qū)預(yù)拉應(yīng)力［σ′pc］=-σcc，直接求出結(jié)構(gòu)受壓區(qū)及受拉區(qū)應(yīng)施加的預(yù)壓力N′p（s）、Np（s）及相應(yīng)鋼絞線的根數(shù)n′、n。此方法改變了用預(yù)壓力合力求解預(yù)應(yīng)力的概念，概念清楚，方法簡捷，便于應(yīng)用。

［1］SL 191—2008，水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.

［2］牛桂林，何鵕，宋寶生.預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)后張法鋼絞線計(jì)算方法［J］.水利水電技術(shù)，2005（6）.

［3］孫麗.淺談預(yù)應(yīng)力混凝土力筋配置［J］.中國水利水電市場，2010（9）.

［4］杜拱辰.現(xiàn)代預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1988.

［5］周氐.水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)手冊［K］.北京：中國水利水電出版社，2002.