八粒子量子態(tài)對彩色圖像的存儲方案＊

蘇丹， 和偉， 吳經(jīng)緯， 莫晶

（云南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，云南 昆明650500）

人們獲取的信息70%來自視覺系統(tǒng)，圖像是信息的重要載體.圖像數(shù)字化后數(shù)據(jù)量非常大，需要占據(jù)大量存儲空間，而且圖像的分辨率越高，組成一幅圖的像素就越多，則圖像文件就越大；同時，像素深度越深，表達(dá)單個像素的顏色和亮度的位數(shù)越多［1］，圖像文件也就越大.量子衍生圖像處理方法是量子衍生方法在圖像處理領(lǐng)域的拓展，它為該領(lǐng)域的理論研究和技術(shù)實現(xiàn)提供了一種新的觀念和思路.盡管在經(jīng)典圖像存儲中提出關(guān)聯(lián)記憶的方法［2］，然而在n比特關(guān)聯(lián)記憶中存儲圖案數(shù)是o（n）時，這是一種無效的方案.在本文中，我們提出了一種基于量子態(tài)的彩色圖像存儲方法，借助于量子態(tài)的巨大存儲能力，以及通過采用量子并行計算特性的Grover量子搜索算法［3］能起到平方根加速的理想效果.并且我們在圖像存儲和圖像重構(gòu)的過程中，對量子比特陣列進行搜索找到相應(yīng)的彩色圖像，這證明了所采用的方法有很好的效果.

1 量子比特描述

比特是經(jīng)典信息與通信中最基本的概念，量子信息理論以及量子通信也建立在一個相似的概念基礎(chǔ)之上，稱之為量子比特［4］，與經(jīng)典比特一樣，量子比特也描述一種狀態(tài).經(jīng)典比特常用0和1表示，量子比特也經(jīng)常寫成｜0〉和｜1〉形式，稱為計算基矢，其中“｜〉”為dirac標(biāo)記，一般用｜0〉表示0，用｜1〉表示1.與經(jīng)典比特不同，量子比特不僅有｜0〉和｜1〉兩種狀態(tài)，這兩種狀態(tài)的任意線性組合又能表示其他的狀態(tài)，任一狀態(tài)表示為｜ψ〉＝α｜0〉＋β｜1〉，其中α、β是復(fù)系數(shù)，滿足和｜1〉常稱為正交基矢.當(dāng)α＝0或β＝0時，量子比特退化為｜0〉和｜1〉，和經(jīng)典比特具有一樣的特性，此時量子比特退化為經(jīng)典比特.以下是經(jīng)典比特與量子比特的比較表：

表1 量子比特與經(jīng)典比特的比較Table 1 Comparison of quantum bit and classical bit

2 像素量子比特表述

在圖像從灰度空間到量子空間的映射過程中，首先要將圖像灰度函數(shù)進行歸一化變換處理，定義如下歸一化變換函數(shù)為

其中f（x，y）∈［0，1］表示像素 （x，y）的歸一化灰度值，xi，yj分別表示待處理圖像g（x，y）的最大、最小灰度值，T和α是引入的兩個參數(shù)，T稱為灰度閥值，且T∈ （xi，yj），α∈ （0，1），I（x，y）為待處理的圖像.從量子衍生的觀點出發(fā)，定義如下像素量子比特表達(dá)形式為

3 量子圖像存儲過程

對于一幅（三通道）彩色圖像I和每個圖像的像素（x，y）有如下關(guān)系式：

其中r、g、b為三個矢量分量，代表了自然界中的紅綠藍(lán)（r，g，b）三原色，而每種原色又被人為地分為了256（0～255）個灰度等級.首先對即將輸入的彩色圖像I進行彩虹變換［5］，即

特別要指出，這三個周期函數(shù)按三者之一總會在所選擇的彩色間隔中處于峰的位置來使用，如圖1所示.

圖1 彩色色標(biāo)與用于彩虹變換的三個周期函數(shù)Fig.1 Colorful color codes and three periodic functions used for rainbow transformation

在量子系統(tǒng)中存儲彩色圖像時，考慮將一個n位量子比特陣列作為存儲器，陣列中的每個量子位都包含兩個與之相關(guān)的參量x和y，這兩個參量一起表示二維圖像的點，這樣的一個量子比特陣列被用來存儲視覺圖像信息.在向該陣列輸入信息前，假設(shè)每個量子比特的初始狀態(tài)為｜0〉，那么寄存器的狀態(tài)可用下列公式表達(dá)

我們采用八個粒子所具有的28＝256個量子態(tài)來對每一種顏色的灰度等級進行編序描述，這樣就可以用八個量子位按照二進制編碼的規(guī)則來表示｜i〉.對灰度等級進行如下表示：

另外采用2粒子量子態(tài)對三基色進行區(qū)分，則對三原色中每一種顏色的存儲只需確定其灰度等級，比如存儲紅色，灰度值為100時，寄存器標(biāo)志位為｜01〉，寄存器中對應(yīng)的位置為｜01100100〉；如果存儲綠色，灰度值為128時，寄存器標(biāo)志位為｜10〉，寄存器中對應(yīng)的位置為｜10000000〉；如果存儲藍(lán)色，灰度值為64時，寄存器標(biāo)志位為｜11〉，寄存器中對應(yīng)的位置為｜01000000〉.

這樣我們就可以用三個并列的量子比特陣列對該彩色圖像的像素點進行存儲，其中這三個量子比特陣列分別存儲紅、綠、藍(lán)三種顏色的等級值.彩色圖像上的每個像素點都可以用一個函數(shù)來表示，即

其中i∈ ｛0 ，1 ｝ .這樣彩色圖像的每個像素點可以被三個相同的八量子比特陣列分別賦值，彩色圖像也就被存儲了.

彩色圖像被存儲后，用檢索信息來重構(gòu)提取圖像，圖像信息的獲取是通過對量子陣列的測量來實現(xiàn).以存儲紅色灰度等級的N比特的量子寄存器和附加的一個1比特的寄存器來說明，過程如下：

（1）首先使用Walsh－Hadamard變換來初始化量子寄存器.此時量子寄存器的量子態(tài)為

（2）重復(fù)下列步驟m次，m為搜索次數(shù).

①對于某個量子基態(tài)｜〉，如果滿足C（｜〉）＝1，使用旋轉(zhuǎn)操作R，將｜〉的概率幅旋轉(zhuǎn)π，否則保持不變.R的定義為

②對量子基態(tài)概率幅向量應(yīng)用矩陣D定義的幺正變換，放大所需量子基態(tài)的概率幅.矩陣的定義為

可以看到R算子的作用是對目標(biāo)量子態(tài)進行旋轉(zhuǎn)操作，D算子的作用是對目標(biāo)量子態(tài)進行放大操作.

使用R、D算子對256個量子基態(tài)的量子寄存器進行操作（即量子搜索），然后進行測量.在測量成功概率第一次出現(xiàn)峰值的時候，進行測量，便能以較大概率獲得目標(biāo)量子態(tài)，這一次數(shù)即為使用Grover算法進行搜索的理想搜索次數(shù)，約為次，其中N為量子寄存器中量子基態(tài)的數(shù)量.另外通過經(jīng)典算法與Grover算法性能的比較，可以看出如果一個處于亂序狀態(tài)的數(shù)據(jù)庫［6］包含N個元素，采用經(jīng)典算法需要進行N次搜索，而利用Grover算法搜索只要進行次搜索，便能以較大概率獲得目標(biāo)［7］，如下表所示（以數(shù)據(jù)庫中包含256個元素為例）：

表2 經(jīng)典算法性能與Grover算法性能的比較Table 2 Comparison of performance between classic algorithm and Grover algorithm

實際上，量子比特陣列中的任何一個存儲態(tài)都包含一個｜ψinitial〉和其他存儲態(tài)的相干疊加態(tài)，因此不同圖像的存儲態(tài)是非正交的，因而不能明確地區(qū)分，也就是說利用投影算子僅能給出各個像素點的位置的概率結(jié)果，不能由此完全正確地重構(gòu)圖像.相對應(yīng)地，可以使用探測各個像素點量子比特糾纏的量子測量來確定各個像素點的位置.現(xiàn)已推導(dǎo)出N粒子糾纏態(tài)貝爾型不等式，這表明對N個像素點的這種存儲方法是可行的.因此從理論上，量子陣列能夠存儲任意復(fù)雜的多個像素點的圖片.可以為了找到這個存儲的彩色圖像，在量子陣列中選取一系列N個量子比特構(gòu)成的一組進行測量，判斷他們是否違背Seevinck－Svetlichny不等式［8－9］，如果違背該不等式表明當(dāng)前的N個點量子糾纏態(tài)為完全糾纏，屬于同一幅圖片，如果不違背則表明當(dāng)前的N個點則不是同一幅圖像，由這個信息就可以直接得出存儲圖像重構(gòu)后的結(jié)構(gòu)輪廓.對于一幅彩色圖像而言，則需要次［10］不同的測量來檢測一幅彩圖糾纏在量子比特陣列中.

4 結(jié)束語

本文利用量子態(tài)作為載體在量子比特陣列中存儲彩色圖像，通過RGB彩色空間到量子比特空間的映射，很好地解決了在量子糾纏系統(tǒng)中存儲彩色圖像的問題.另外，彩色圖像在量子陣列中的存儲還有很多需要改進的地方，可以做進一步的研究.

［1］朱秀昌，劉峰，胡棟.數(shù)字圖像處理與圖像通信［M］.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2006.

［2］KOHONEN TEUVO.Self－organization and associative memory［M］.3rd ed.London：Springer－Verlag New York，Inc.Berlin and Heidelberg GmbH ＆ Co.K，1989.

［3］GROVER L K.Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack［J］.Physical Review Letters，1997，79（2）：325－328.

［4］NIELSEN MICHAEL A，CHUANG ISAAC L.Quantum computation and quantum information［M］.London：Cambridge University press，2000.

［5］KOSCHAN ANDREAS，ABIDI MONGI.Digital color image processing［M］.Indiana：Wiley Publishing，Inc.，2009.

［6］GROVER L K.A fast quantum－mechanical algorithm for database search［C］.The 28th Annual ACM Symposium on Theory of Computing，New York：ACM Press，1996，212－219.

［7］陳洪光，李飚，沈振康.逼近全概率 Grover算法的搜索次數(shù)計算［J］.計算機工程與應(yīng)用，2004，40（3）：67－59.

［8］SEEVINCK M，SVETLICHNY G.Bell－type inequalities for partial separability inN－particle systems and quantum mechanical violations［J］.Physical Review Letters，2002，89（6）：060401.

［9］COLLINS D，GISIN N，POPESCU S，et al.Bell－type inequalities to detect true n－body nonseparability［J］.Physical Review Letters，2002，88（17）：170405.

［10］RIEFFEL E，POLAK W.An Introduction to quantum computing for non－physicists［J］.ACM Computing Surveys，2000，32（3）：300－335.