基于UKF的GPS L1C／A碼微弱信號跟蹤算法＊

（1.南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院 南京 210016）（2.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院 南京 210096）（3.南京郵電大學(xué)自動化學(xué)院 南京 210046）

1 引言

微弱信號下L1 信號跟蹤是實(shí)現(xiàn)高靈敏度GPS軟件接收機(jī)的關(guān)鍵技術(shù)之一?？柭?960年發(fā)表了著名的用遞歸方法解決離散數(shù)據(jù)線性濾波問題的論文。這種將期望和方差線性化的卡爾曼濾波器稱作擴(kuò)展卡爾曼濾波器，簡稱為EKF（Extended Kalman Filter）。但是EKF 濾波結(jié)果的好壞與狀態(tài)噪聲和觀測噪聲的統(tǒng)計(jì)特性有關(guān)且容易導(dǎo)致濾波發(fā)散；其中雅可比矩陣的計(jì)算過于復(fù)雜，對GPS軟件接收機(jī)實(shí)時性的影響很大。

20世紀(jì)90年代，Julier等人提出了基于Unscented 變換的 Unscented 卡爾曼濾波算法（UKF）。UKF 是一種容易實(shí)現(xiàn)且高效的濾波算法。因此，本文參考文獻(xiàn)［5］提出的模型，使用UKF來代替EKF實(shí)現(xiàn)微弱信號的碼和載波跟蹤，以避免在跟蹤環(huán)中使用EKF 方法所存在的問題。通過構(gòu)建模型、建立方程，采用仿真噪聲干擾下的微弱中頻信號對該算法進(jìn)行性能分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于UKF的跟蹤算法可以明顯提高信號跟蹤的靈敏度。

2 基于UKF的L1C／A 碼信號跟蹤算法

通常的獨(dú)立接收機(jī)能跟蹤信號的載噪比在35dB-Hz以上，當(dāng)信號的載噪比低于35dB-Hz時，PLL會因?yàn)殍b相器的非線性和信號相位的動態(tài)變化而失鎖。卡爾曼濾波器具有時間遞推的特點(diǎn)，是一種非常高效的優(yōu)化算法。下面將基于UKF估計(jì)技術(shù)設(shè)計(jì)一個DLL和PLL 聯(lián)合的碼和載波跟蹤環(huán)，用來跟蹤弱GPS L1C／A 碼信號，如圖1所示。

圖1 基于UKF濾波的弱信號跟蹤環(huán)結(jié)構(gòu)

2.1 系統(tǒng)模型的構(gòu)建

軟件接收機(jī)射頻前端中輸出的數(shù)字信號模型表示為

其中，yk是在采樣時間tk時，RF前端的輸出。A（tk）是信號的幅度。函數(shù)d（t）是GPS數(shù)據(jù)流，每20ms隨機(jī)切換。函數(shù)c（t）是接收到的信號中的C／A 碼，碼率為1.023MHz。ts是PRN 碼的起始時間，是碼相位延遲的被測量。頻率ωIF是歸一化的中頻。ωD是載波信號的多普勒頻移。角度φ0是初始載波相位。vk項(xiàng)是均值為0的離散高斯白噪聲序列，方差為δ2n。

接收機(jī)接收到的信號和本地復(fù)制的碼和載波信號之間的相關(guān)積分，可以表示如下：

其中Ik（Δ）和Qk（Δ）分別是同相和正交積分，Δ＞0為早碼，Δ＜0為晚碼。CL（t）是接收機(jī)本地復(fù)制的偽碼。tLk是即碼的起始時間。每個積分的長度都是一個PRN碼周期。φL（t）是本地復(fù)制載波的相位。

為了在下面的濾波中使用相關(guān)積分，將其表示成如下形式：

2.2 系統(tǒng)的觀測方程

卡爾曼濾波器使用在一個導(dǎo)航數(shù)據(jù)比特周期范圍的即碼和早減晚碼積分，形成一個式（6）的觀測矢量：

其中g(shù)v是第v個導(dǎo)航數(shù)據(jù)間隔中第一個數(shù)據(jù)位的索引，Nv是第v個間隔中所包含的采樣點(diǎn)的個數(shù)。為了將觀測矢量與狀態(tài)矢量結(jié)合起來，將觀測矢量表示為

其中是在比特間隔內(nèi)的平均載波幅度，Δφm是在比特間隔內(nèi)的平均載波相位誤差，Δtm＝ts（tmidk）-tmidk是在比特間隔中點(diǎn)的碼相位誤差tmidk＝（tNCOkm＋tNCOkm＋20）／2。nm是一個均值為零且互不相關(guān)的高斯離散白噪聲向量序列，方差為4×4的一個恒等矩陣，nm的協(xié)方差R可以表示為如下形式：

其中，λ＝2［1-R（Δeml）］。

2.3 系統(tǒng)的狀態(tài)方程

式（9）為載波跟蹤環(huán)的狀態(tài)方程，其中［φωd］T是被估計(jì)的狀態(tài)向量，φ代表接收到的載波與本地載波的相位誤差，ωd代表信號中的多普勒頻移，˙ωd代表多普勒頻移的變化率，ωL是本地復(fù)制信號的載波多普勒頻移，δtk是相干積分時間。wk＝［wφwωw˙ωwj］T是離散的零均值的高斯白噪聲向量，wk的協(xié)方差Q由如下三個部分組成：

其中QLOS是接收機(jī)與衛(wèi)星的相對運(yùn)動加速度的隨機(jī)誤差強(qiáng)度系數(shù)。Qf＝，Sf是接收機(jī)的頻率隨機(jī)誤差強(qiáng)度系數(shù)。Qθ＝，Sg是接收機(jī)的相位隨機(jī)誤差強(qiáng)度系數(shù)。ωL1是歸一化的L1載波頻率。對于TCXO 一般取Sf＝5×10-21和Sg＝5.9×10-20s-1。則積分間隔內(nèi)的平均載波相位誤差可以表示為

碼跟蹤環(huán)的狀態(tài)方程建立如下［4］：

其中tsk＋1和tsk是接收信號中碼起始和結(jié)束時間。wtsk的協(xié)方差E（）＝δtkqts是白噪聲序列，qts是隨機(jī)變化強(qiáng)度。則積分間隔內(nèi)的平均碼相位誤差可以表示為

載波幅度的狀態(tài)方程建立如下：wAk是零均值的高斯白噪聲，它的方差qA是隨機(jī)變化的強(qiáng)度。則積分間隔內(nèi)的平均載波幅度可以表示為

3 UKF跟蹤的實(shí)現(xiàn)

初始化：

擴(kuò)展之后的初始向量和方差，表示為

計(jì)算sigma點(diǎn)：

其中k∈｛0，…，∞｝

時間更新：

測量更新：

其中，xa＝［xTvTnT］T，χa＝［（χx）T（χv）T（χn）T］T，合成尺度參數(shù)λ＝L（10-6-1），L是增廣狀態(tài)變量的維數(shù)，Pv是處理噪聲協(xié)方差，Pn是測量噪聲協(xié)方差，Wi是權(quán)值。

4 仿真與性能分析

本文采用仿真噪聲干擾下的微弱GPS C／A 中頻信號，中頻頻率設(shè)置為1.405MHz。信號的采樣頻率設(shè)置為5.714MHz。初始相位誤差設(shè)置為［-π，＋π］之間的隨機(jī)變量。多普勒頻移的范圍設(shè)置為［-10kHz，＋10kHz］。多普勒頻移的誤差設(shè)置為［-200Hz，＋200Hz］。取Sf＝5×10-21和Sg＝5.9×10-20s-1的TCXO 時鐘，驗(yàn)證UKF載波跟蹤環(huán)的性能。實(shí)驗(yàn)中，信號載噪比取為15dB-Hz和45dB-Hz兩個值。實(shí)驗(yàn)分三個部分：UKF 算法對載波相位跟蹤的改善、UKF 算法對載波頻率跟蹤性能的改善、UKF 算法對碼相位的跟蹤性能的改善。

圖2為在信噪比為15dB-Hz和45dB-Hz的情況下，基于UKF 跟蹤與基于傳統(tǒng)Atan鑒相器跟蹤的載波相位跟蹤誤差。從圖中可以看出在15dB-Hz的情況下，傳統(tǒng)跟蹤方法的跟蹤誤差在-0.2～＋0.2 個載波周期之間。而UKF 的跟蹤誤差在-0.05～＋0.05個載波周期之間。在載噪比為45dB-Hz的時候UKF 的載波相位跟蹤誤差明顯小于傳統(tǒng)方法。

圖2 傳統(tǒng)跟蹤環(huán)和UKF的載波相位跟蹤誤差

圖3為在信噪比為15dB-Hz和45dB-Hz的情況下，基于UKF跟蹤與基于傳統(tǒng)的歸一化早減晚功率碼鑒相器DLL跟蹤的碼相位跟蹤誤差。從圖中可以看出在15dB-Hz的情況下，傳統(tǒng)跟蹤方法的跟蹤誤差已經(jīng)超出了0.5 個碼片的范圍。而UKF的跟蹤誤差在-0.2～＋0.2 個碼片之間。在載噪比為45dB-Hz的時候，UKF 的碼相位跟蹤誤差明顯小于傳統(tǒng)方法。

圖3 傳統(tǒng)跟蹤環(huán)和UKF的碼相位跟蹤誤差

圖4 傳統(tǒng)跟蹤環(huán)和UKF的多普勒頻移跟蹤誤差（15dB-Hz）

圖4為在信噪比為15dB-Hz的情況下，基于UKF跟蹤與基于傳統(tǒng)的Atan鑒相器跟蹤的載波多普勒頻移誤差。從圖中可以看出，傳統(tǒng)跟蹤方法的跟蹤誤差在-100Hz～＋100Hz的范圍之內(nèi)波動，而UKF的跟蹤誤差在-20Hz～＋20Hz之間。

圖5 傳統(tǒng)跟蹤環(huán)和UKF的多普勒頻移跟蹤誤差（45dB-Hz）

圖5為在載噪比為45dB-Hz 的時候，基于UKF跟蹤與基于傳統(tǒng)的Atan鑒相器跟蹤的載波多普勒頻移誤差，從圖中可以看出UKF 的多普勒頻移跟蹤誤差明顯小于傳統(tǒng)方法。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：微弱信號條件下，UKF 載波跟蹤環(huán)路都能在較短時間內(nèi)收斂，UKF 跟蹤算法有效減小了碼和載波跟蹤中的誤差。

5 結(jié)語

針對在低載噪比情況下常用的碼跟蹤DLL 和載波跟蹤PLL 誤差較大的情況，本文提出一種基于UKF的GPS L1C／A 碼微弱信號跟蹤算法。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用UKF簡化了計(jì)算的復(fù)雜度，提高了跟蹤靈敏度和精度，是一種適合于軟件接收機(jī)實(shí)現(xiàn)的算法。相對于傳統(tǒng)的跟蹤環(huán)路，基于UKF的載波跟蹤環(huán)路的跟蹤靈敏度和跟蹤精度都有明顯提高。

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