奇數(shù)階幻方的構(gòu)造與特征值分析

劉樂(lè)樂(lè)

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問(wèn)題的提出

關(guān)于幻方的研究由來(lái)已久，中國(guó)古書(shū)《易經(jīng)》中記載的洛書(shū)是世界上最早的幻方.隨后，幻方傳入世界各地，引起了廣泛關(guān)注，取得了許多成果.幻方不僅具備美感，還蘊(yùn)含著許多奇特的奧秘，具體可參看文獻(xiàn)［1－3］.隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，幻方廣泛應(yīng)用于人工智能、圖像處理、圖論及對(duì)策論等方面.

定義1 對(duì)任意的正整數(shù)n≥3，將1，2，…，n2填入n×n的矩陣中，使得矩陣的每行、每列及對(duì)角線之和均為同一個(gè)數(shù)s，這樣的矩陣稱(chēng)為幻方矩陣（或魔方矩陣），簡(jiǎn)稱(chēng)為幻方，s為幻方值.

顯然，n階幻方中所有整數(shù)的和為

按照幻方的定義即知2s＝n（n2＋1）.

文獻(xiàn)［4］通過(guò)對(duì)幻方矩陣特征值的分析，給出了一種構(gòu)造奇數(shù)階非奇異幻方的方法，但并未給出其特征值的計(jì)算公式.文獻(xiàn)［5］給出了幻方的精彩應(yīng)用案例.文獻(xiàn)［6］討論了奇數(shù)階幻方的一種構(gòu)造方法.除此之外，幻方的構(gòu)造方法還有很多，在文獻(xiàn)［2］中有詳細(xì)的介紹.文獻(xiàn)［7］給出了利用線性空間理論來(lái)構(gòu)造幻方的方法.文獻(xiàn)［8］對(duì)奇數(shù)階幻方特征值給出了一個(gè)猜測(cè)：奇數(shù)階幻方的特征值均為實(shí)特征值，除最大特征值為幻方矩陣的幻方值外，其它特征值正負(fù)成對(duì)出現(xiàn).

現(xiàn)對(duì)文獻(xiàn)［7］中奇數(shù)階幻方的一種構(gòu)造方法進(jìn)行改造，給出奇數(shù)階幻方的一種代數(shù)表示方法.基于這種表示法，應(yīng)用循環(huán)矩陣和對(duì)稱(chēng)循環(huán)矩陣的性質(zhì)，對(duì)奇數(shù)階幻方特征值進(jìn)行分析，最后給出奇數(shù)階幻方全部特征值的統(tǒng)一計(jì)算公式.因此，發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)［8］中關(guān)于奇數(shù)階幻方特征值的猜想是錯(cuò)誤的.

為了分析奇數(shù)階幻方特征值的性質(zhì)，需要以下的概念與結(jié)論.

定義2［9］若n階復(fù)矩陣A∈?n×n具有形狀

則稱(chēng)A 為n 階循環(huán)矩陣，記為A＝circ（a0，a1，…，an－1）.稱(chēng)π＝circ（0，1，0，…，0）為 基 本 循 環(huán) 矩陣，即

顯然，π為正交矩陣，則必為正規(guī)矩陣，從而π在復(fù)數(shù)域上可以對(duì)角化.因?yàn)椋衝＝E 且πk≠E（其中，k＜n為 正 整 數(shù)，E 為 單 位 矩 陣），所 以，π 的n個(gè)特征值分別為1，ε，ε2，…，εn－1，其中，ε為n次單位原根，相對(duì)應(yīng)的特征向量為α0，α1，…，αn－1，可解得

定義3［9］若n階復(fù)矩陣B∈?n×n具有形狀

則稱(chēng)B 為n 階對(duì)稱(chēng)循環(huán)矩陣，記為B＝sc（a0，a1，…，an－1）.稱(chēng)σ＝sc（0，0，…，0，1，0）為基本對(duì)稱(chēng)循環(huán)矩陣，即

引理1［9］矩陣A，B 由式（1）和（2）定義，則有表示

2 奇數(shù)階n＝2m＋1（m≥1）幻方的構(gòu)造

引理2中關(guān)于奇數(shù)階幻方的構(gòu)造方法引自文獻(xiàn)［7］.

引理2 矩陣M＝n An＋Bn＋Hn為n＝2 m＋1（m≥1）階幻方，其中

即

Bn為An逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得矩陣，Hn為元素全為1的矩陣.

現(xiàn)對(duì)這種構(gòu)造作以下改造.為此，先證明引理3.

引理3 矩陣π 為基本循環(huán)矩陣，σ 為基本對(duì)稱(chēng)循環(huán)矩陣，則有

證明 易驗(yàn)證σπn－1＝σπnπ－1＝σπ－1，從而有πσ＝σπn－1成立.往證另一算式成立.由πσ＝σπn－1可得

結(jié)合引理2和引理3可得定理1.

證明 由引理1和引理2可將M 寫(xiě)成

結(jié)合引理3及恒等式πn＝π2m＋1＝E，得

3 幻方特征值的計(jì)算

現(xiàn)基于定理1求出奇數(shù)階幻方的特征值.由于相似矩陣具有相同的特征值，因此，要計(jì)算幻方矩陣M 的特征值，只需考慮矩陣P－1MP.結(jié)合文獻(xiàn)［10］可得定理2.

定理2 存在n 階可逆矩陣P，使得P－1πP 和P－1HnP 均為對(duì)角陣，且

證明 令P＝（α0，α1，…，αn－1），其中，αi＝（1，εi，ε2i，…，ε（n－1）i），i＝0，1，…，n－1.顯然，P 是范德蒙矩陣，從而P 可逆.易驗(yàn)證P－1πP＝diag（1，ε，ε2，…，εn－1），P－1HnP＝diag（n，0，0，…，0）.由引理3，πσ＝σπ－1，有

記P－1σP＝（aij）n×n，即為

解得

進(jìn)一步，將P＝（α0，α1，…，αn－1）代入式（3），得uk＝ε2k，k＝0，1，2，…，n－1.

由定理1計(jì)算得

因此，結(jié)合定理2，有定理3.

定理3 令f（x）＝xm＋1g（x），則

定理4 對(duì)任意正整數(shù)k，0≤k≤n，有

證明 利用Abel分部求和公式［11］，得

現(xiàn)證明a和b成立.

即定理4成立.

由定理2～4得定理5.定理5給出了奇數(shù)階幻方全部特征值的統(tǒng)一計(jì)算公式.

定理5 n＝2m＋1（m≥1）階幻方M 的全部特征值為

式中，i為虛數(shù)單位，即i2＝－1.

對(duì)任意正整數(shù)k，εk與εn－k總是共軛的，因此，εk＋εn－k∈?，且有

于是，令φ（λ）＝0，可知M 的全部特征值由式（4）給出.

4 結(jié) 論

研究結(jié)果表明，奇數(shù)階幻方矩陣有實(shí)特征值s，其它特征值均為純虛數(shù)且共軛出現(xiàn)，其數(shù)值由式（4）給出.鑒于此，發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)［8］中關(guān)于奇數(shù)階幻方的特征值的猜想是錯(cuò)誤的.例如，當(dāng)n＝3時(shí)，3階幻方的特征值分別為其特征值中有純虛數(shù)，并非全是實(shí)數(shù).

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