非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型角位移振蕩運(yùn)動(dòng)定量分析

蔣增輝，宋 威，賈區(qū)耀，陳 農(nóng)

( 中國(guó)航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院，北京 100074)

0 引 言

由氣動(dòng)俯仰阻尼力矩導(dǎo)致飛行器動(dòng)不穩(wěn)定的研究通常限于線性情況，近年來國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出非線性負(fù)阻尼極限環(huán)類型的氣動(dòng)阻尼有可能導(dǎo)致飛行器動(dòng)不穩(wěn)定的觀點(diǎn)［1-7］。在作者所從事的風(fēng)洞自由飛試驗(yàn)中多次觀察到不同外型飛行器模型在超聲速/高超聲速小迎角狀態(tài)下有可能產(chǎn)生具有如下特征的錐形振蕩運(yùn)動(dòng)［8-9］，其表現(xiàn)為：

(1) 在小迎角狀態(tài)下( 如0°或配平角附近) 受激勵(lì)很快達(dá)到5°、6°的振幅；

(2) 當(dāng)進(jìn)入均勻流場(chǎng)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ吞幱谛≌穹鯛顟B(tài)下，很快被激勵(lì)，而處于大振幅初狀態(tài)下趨向收斂。

風(fēng)洞自由飛試驗(yàn)雖然較易觀察到試驗(yàn)?zāi)Ｐ吞幱谛≌穹鶢顟B(tài)下很快被激勵(lì)，處于大振幅初狀態(tài)下趨向收斂，但因記錄時(shí)間的長(zhǎng)度有限，難以對(duì)有限振幅、極限環(huán)型的被激勵(lì)的錐形振蕩運(yùn)動(dòng)作出定量評(píng)估，并給出該氣動(dòng)模式下的氣動(dòng)參數(shù)表達(dá)式。而飛行記錄的時(shí)間較長(zhǎng)，故有可能從飛行記錄的數(shù)據(jù)對(duì)非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型的被激勵(lì)的錐形振蕩運(yùn)動(dòng)作出定量的評(píng)估。因此本文依據(jù)某飛行器的兩次飛行試驗(yàn)記錄作角位移振蕩運(yùn)動(dòng)特性的定量分析，進(jìn)而分析出現(xiàn)錐形振蕩運(yùn)動(dòng)的該飛行器角運(yùn)動(dòng)θ、Ψ 是否屬于自激振蕩引起的非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型振蕩運(yùn)動(dòng)，從而論證非線性負(fù)阻尼極限環(huán)類型的氣動(dòng)阻尼是否能夠?qū)е嘛w行器動(dòng)不穩(wěn)定。

1 由飛行記錄給定的俯仰( θ)、偏航(Ψ)角位移-時(shí)間關(guān)系

一個(gè)無控、軸對(duì)稱外型的超聲速飛行器，飛行中記錄了固連于飛行器質(zhì)心的坐標(biāo)系ox1y1z1沿3 個(gè)坐標(biāo)軸方向的角速度ωx，ωy，ωz，則固連坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間歐拉角的角速度有如下關(guān)聯(lián)方程［10］：

若已知t=t0時(shí)θ=θ0、Ψ=Ψ0、γ=γ0，則對(duì)方程組(1) 積分可獲得θ-t，Ψ-t 與γ-t。飛行記錄中t0時(shí)的初值θ0，Ψ0，γ0可能不準(zhǔn)，但當(dāng)討論軸對(duì)稱體關(guān)于θ、Ψ 的振蕩運(yùn)動(dòng)特性時(shí)，θ0，Ψ0的值對(duì)結(jié)果影響不大。

對(duì)于半固連于飛行器質(zhì)心坐標(biāo)系的測(cè)量系統(tǒng)，飛行記錄獲得的ωx，ωy，ωz與地面坐標(biāo)系之間的歐拉角形式與式(1) 類似，其方程形式更為簡(jiǎn)單。

圖1 和2 所示為某超聲速軸對(duì)稱外型無控飛行器的兩次飛行記錄的俯仰θ -偏航Ψ 角位移時(shí)間歷程。該時(shí)間歷程由半固連于飛行器質(zhì)心坐標(biāo)系的測(cè)量系統(tǒng)獲得，并且去除了重力對(duì)飛行軌跡的影響，因此在飛行時(shí)間段內(nèi)，若飛行器維持在XOY 平面內(nèi)飛行，則俯仰角θ、偏航角Ψ 可視同于迎角α 與β。軸對(duì)稱體可以近似地認(rèn)為γ 值對(duì)θ、Ψ 方向運(yùn)動(dòng)的影響是可略去的。

圖1 第一次飛行記錄的俯仰( θ) -偏航( Ψ) 時(shí)間歷程Fig.1 θ-Ψ curves of the first flight

由圖1 和2 可以看出： 在起始的頭幾秒，如圖1( a) 、圖2( a) 所示，θ 和Ψ 的振幅均很快被激勵(lì)，且θ-Ψ 軌跡圖形無規(guī)律； 隨著時(shí)間的推移，振幅繼續(xù)增大，飛行記錄的θ-Ψ 時(shí)間歷程圖如圖1( b) 、圖2( b)所示近似為橢圓?？紤]該飛行器飛行中振幅增大可能是由自激振蕩引起的非線性負(fù)阻尼極限環(huán)類型的氣動(dòng)阻尼導(dǎo)致，因此采用下面的微分方程來描述θ 和Ψ 的角位移振蕩運(yùn)動(dòng)：

圖2 第二次飛行記錄的俯仰( θ) -偏航( Ψ) 時(shí)間歷程Fig.2 θ-Ψ curves of the second flight

2 非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型振蕩運(yùn)動(dòng)的振幅外包絡(luò)線參數(shù)擬合解

常系數(shù)非線性微分方程(2) ，采用近似解的多尺度方法、平均法都能得到如下關(guān)系式：

設(shè)解θ=α( t) cos( ω0t+B( t) ) =α( t) cosφ( 這里

若在φ 的積分周期2π/ω0內(nèi)，α( t) 、B( t) 近似是幾乎不變的量，則可得近似解

設(shè)t=t0時(shí)，α( t0) =αt0，對(duì)方程(5) 積分得

類似地，關(guān)于Ψ 可得到： Ψ = β( t) cos( ω0t + A( t) ) =β( t) cosφ1，設(shè)t=t0時(shí)，β( t0) =βt0

α( t) 、β( t) 是θ -t 或Ψ -t 振幅的外包絡(luò)線，給出飛行記錄曲線θ-t 或Ψ-t 中振幅的峰值α( ti) 、β( ti) ( i=0，1…約10 個(gè)點(diǎn)) ，則可通過對(duì)非線性組合的待定參數(shù)C11，αt0，Cm1或C22，βt0，Cn1作出擬合解，如圖3、4 所示?？梢钥吹?，兩次飛行記錄的俯仰方向圖3( a) 、4( a) 和偏航方向的圖3( b) 、4( b) ，擬合結(jié)果回代值與觀測(cè)值一致性均很好，表明擬合結(jié)果可信。數(shù)值結(jié)果見表1 和2。

圖3 非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型振蕩外包絡(luò)線觀測(cè)值與擬合值( 第一次飛行數(shù)據(jù))Fig.3 Comparison of observations and fitting results for outside envelope curve of non-linear negative damping limit cycle oscillation for the first flight

圖4 非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型振蕩外包絡(luò)線觀測(cè)值與擬合值( 第二次飛行數(shù)據(jù))Fig.4 Comparison of observations and fitting results for outside envelope curve of non-linear negative damping limit cycle oscillation for the second flight

3 非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型氣動(dòng)阻尼力矩的參數(shù)辨識(shí)

當(dāng)θ-Ψ 時(shí)間歷程處于橢圓狀態(tài)時(shí)( 圖1( b) 和圖2( b) 所示狀態(tài)) ，根據(jù)θ -t、Ψ -t 的時(shí)間歷程( 又稱θ、Ψ 的觀測(cè)值) ，從運(yùn)動(dòng)方程(2) 出發(fā)，作氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)，得到θ0及C00，Cm1，C11； 或Ψ0及C00，Cn1，C22；再由辨識(shí)求得的待定參數(shù)，計(jì)算出θ-t 或Ψ-t，稱為回代值，與飛行記錄觀測(cè)值對(duì)比，如圖5 和6所示?？梢钥吹?，兩次飛行記錄的俯仰方向圖5( a) 、圖6( a) 和偏航方向的圖5( b) 、圖6( b) ，辨識(shí)結(jié)果回代值與觀測(cè)值一致性均很好，表明辨識(shí)結(jié)果可信。數(shù)值結(jié)果見表1 和表2。

由于包絡(luò)線擬合對(duì)振蕩峰值的誤差較為敏感，而C11作為非線性阻尼項(xiàng)的高次項(xiàng)對(duì)于峰值的選取則更為敏感一些，因此由表1 和表2 可以看到，除第一次飛行數(shù)據(jù)結(jié)果中外包絡(luò)線擬合得到的C11與辨識(shí)結(jié)果稍有差異( 分別為380.735 與518.416) 外，由第一次、第二次飛行記錄參數(shù)辨識(shí)獲得的Cm1，C11或Cn1，C22與外包絡(luò)線公式(6) 、( 7) 出發(fā)作參數(shù)擬合獲得的Cm1，C11或Cn1，C22數(shù)值均較為接近。這說明采用兩種方法做定量分析所得的結(jié)果是一致的，因而對(duì)角位移振蕩運(yùn)動(dòng)所作的定量分析結(jié)果是可信的。4 個(gè)參數(shù)Cm1、C11、Cn1和C22數(shù)值可由表1 和表2 中數(shù)據(jù)確定，代入方程( 2) 中即可得到氣動(dòng)阻尼力矩的典型表達(dá)式。由于定量分析得到的參數(shù)Cm1、C11、Cn1和C22全部大于零，且C00＜0，因而根據(jù)第1 節(jié)中所述的判據(jù)可知，角運(yùn)動(dòng)θ、Ψ 確實(shí)是屬于自激振蕩引起的非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型振蕩運(yùn)動(dòng)，因而該錐形振蕩運(yùn)動(dòng)是由非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型的氣動(dòng)阻尼力矩所激勵(lì)。這說明非線性負(fù)阻尼極限環(huán)類型的氣動(dòng)阻尼確實(shí)能夠?qū)е嘛w行器動(dòng)不穩(wěn)定。

表1 第一次飛行數(shù)據(jù)及擬合、辨識(shí)結(jié)果Table 1 The first flight record and comparison of fitting and parameter identification results

表2 第二次飛行數(shù)據(jù)及擬合、辨識(shí)結(jié)果Table 2 The second flight record and comparison of fitting and parameter identification results

圖5 第一次飛行數(shù)據(jù)飛行記錄與參數(shù)辨識(shí)回代值Fig. 5 Comparison of flight record of the first flight and parameter identification results

圖6 第二次飛行數(shù)據(jù)飛行記錄與參數(shù)辨識(shí)回代值Fig.6 Comparison of flight record of the second flight and parameter identification results

4 結(jié) 論

從飛行記錄的俯仰角θ、偏航角Ψ 的觀測(cè)值θ -t、Ψ-t 出發(fā)，采用氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)，及由觀測(cè)值θ-t、Ψ-t 的外包絡(luò)線通過參數(shù)擬合兩種分析方法，取得了非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型氣動(dòng)阻尼力矩典型表達(dá)式Cm1(1 -C11)或Cn1(1 -C22)中的氣動(dòng)參數(shù)Cm1、Cn1以及C11、C22，證明該類錐形振蕩運(yùn)動(dòng)是典型的非線性負(fù)阻尼極限環(huán)型的振蕩運(yùn)動(dòng)。進(jìn)而證明非線性負(fù)阻尼極限環(huán)類型的氣動(dòng)阻尼能夠?qū)е嘛w行器動(dòng)不穩(wěn)定。至少在一段可用平均動(dòng)壓值近似描述的采樣區(qū)間內(nèi)，阻尼氣動(dòng)模式量化的表達(dá)式Cm1(1 -C11)可為地面仿真、優(yōu)化控制提供。

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