換個角度思考問題

查寶才

一般情況下，我們遇到一個問題，第一反應(yīng)就是從條件入手，順著題意一步一步分析，找出條件與結(jié)論的內(nèi)在關(guān)系，搭建條件與結(jié)論之間的橋梁，進(jìn)而解決問題，我們稱之為正向思維.而當(dāng)正向思維受阻，思維活動進(jìn)行不下去時，我們則可以改變思維方向，打破常規(guī).換個角度來看問題，也許轉(zhuǎn)機(jī)就會出現(xiàn)，問題隨之迎刃而解.下面筆者以自身在一線教學(xué)過程中遇到的幾個問題為例，談?wù)勅绾螕Q個角度思考問題.

【例1】 對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p，使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范圍是 .

分析：有的學(xué)生學(xué)習(xí)功底比較好，提出了思路一：將不等式x2+px>4x+p-3轉(zhuǎn)化為p（1-x）

有愛動腦筋，喜歡鉆研的學(xué)生提出了另一種思路：可以把p視為變量、x視為參量，這樣不等式可以理解成以p為變量的不等式，再構(gòu)造關(guān)于變量p的一次函數(shù)，使其在區(qū)間上恒大（?。┯诹氵M(jìn)行解題.

點評：思路一是大多數(shù)學(xué)生的思維.通過分類討論進(jìn)行分離參數(shù)，由不等式恒成立解決問題，是常規(guī)的通性通法.在教學(xué)過程中，教師力求給學(xué)生傳授這樣的通性通法，讓學(xué)生學(xué)會以不變應(yīng)萬變的常規(guī)思路.思路二學(xué)生不易想到，也不敢這樣去想，畢竟打破常規(guī)是需要勇氣和膽量的.但這樣的思路恰恰也拓展了我們的思維，讓我們有耳目一新的感覺.它打破了常規(guī)的思維定式，換了一個角度來思考問題，有一定的技巧，不失為一種思維創(chuàng)新.

【例2】 設(shè)x是實數(shù)，求函數(shù)y=x2-8x+41-x2-2x+5的最大值.

分析：本題是由兩個根號的差構(gòu)成的函數(shù)，顯然用平方、換元的思想方法探究會因形式較為復(fù)雜而難以繼續(xù)下去.此時若換個角度進(jìn)行思考，仔細(xì)觀察兩個根號內(nèi)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式后，發(fā)現(xiàn)可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=（x-4）2+52-（x-1）2+22，這樣就可以看做是直角坐標(biāo)系中一個動點P（x，0）到兩個定點A（4，5）和B（1，-2）的距離之差.作出點B（1，-2）關(guān)于x軸的對稱點B′（1，2），則由△PAB′中|PA-PB′|

點評：平方和換元的思想方法是解決帶根號問題的常規(guī)思路，但在本題中，用這些方法尋求解題途徑時卻比較困難，甚至無從下手.故需要換個角度看問題，針對根號的內(nèi)部特點，構(gòu)造一個“距離”模型，使得原問題在這個模型上變得直觀且易于解決.這種構(gòu)造性的思想及其方法還可以體現(xiàn)在，把題設(shè)條件所給出的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行重新組合，構(gòu)想出一種新的具體關(guān)系.例如構(gòu)造出與問題有關(guān)的函數(shù)、方程、數(shù)列、向量等模型.下面再看兩例.

【例3】 證明：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

分析：學(xué)生看到這個題目時，思考了足足十分鐘，仍然無從下手.有些膽大的學(xué)生偷偷地拿出了計算器，悄悄地演算結(jié)論.但在高考考場里，數(shù)學(xué)考試禁用任何帶有記憶功能的計算器，考生必須徒手結(jié)合大腦思考進(jìn)行答題.所以對于學(xué)生在課堂中使用計算器的行為，我及時進(jìn)行了制止.盡管該題的數(shù)據(jù)與結(jié)構(gòu)并不那么復(fù)雜，但從代數(shù)形式上看，確實難以找到解決問題的突破口.既然代數(shù)形式難以入手，那么能否從形的角度來思考呢？

【例4】 任意給出8個非零實數(shù)a1，a2，…，a8.證明：六個數(shù)a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中，至少有一個是非負(fù)的.

分析：本題有競賽題的形式，讓人望而止步.題目的條件給得過于簡單，讓人無從下手，但看看要證明的結(jié)論里，信息相對豐富些.那么這時就需要換個角度思考問題，從結(jié)論里找到一條繞過障礙的新途徑，以達(dá)到破題的目的.聯(lián)想a1a3+a2a4的形式等于向量OA=（a1，a2）與OB=（a3，a4）的數(shù)量積，那么其他五個數(shù)也可以看成對應(yīng)五個向量的數(shù)量積，所以可以構(gòu)造向量，嘗試將六個數(shù)與六個向量的數(shù)量積進(jìn)行攀連.

證明：構(gòu)造向量OA=（a1，a2），OB=（a3，a4），OC=（a5，a6），OD=（a7，a8），分別對應(yīng)平面上的四個點A，B，C，D.

因為四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，不妨設(shè)OA和OB的夾角≤90°，所以O(shè)A·OB≥0，即a1a3+a2a4≥0，從而命題得證.

點評：本題巧妙地構(gòu)造了四個共起點的向量，將六個數(shù)表示成這四個向量兩兩組合的數(shù)量積，突破了題目所給的條件少且抽象的障礙.再根據(jù)抽屜原理，確認(rèn)四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，言簡意賅地證明了命題，具有較強的構(gòu)造性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.

一片落葉，你也許會看到“零落成泥碾作塵”的悲慘命運，但是只要換個角度思考，你便會發(fā)現(xiàn)它“化作春泥更護(hù)花”的高尚節(jié)操；一根蠟燭，不久便會“蠟炬成灰”，但它卻為人照亮了前面的路；一支粉筆，只需三筆兩畫，生命便會結(jié)束，但它卻在學(xué)生心中撒下了知識的種子.換個角度思考問題，問題或許將迎刃而解，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也將不再枯燥乏味.只要腳踏實地、步步為營、迎難而上，成功的大門將為你打開.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

一般情況下，我們遇到一個問題，第一反應(yīng)就是從條件入手，順著題意一步一步分析，找出條件與結(jié)論的內(nèi)在關(guān)系，搭建條件與結(jié)論之間的橋梁，進(jìn)而解決問題，我們稱之為正向思維.而當(dāng)正向思維受阻，思維活動進(jìn)行不下去時，我們則可以改變思維方向，打破常規(guī).換個角度來看問題，也許轉(zhuǎn)機(jī)就會出現(xiàn)，問題隨之迎刃而解.下面筆者以自身在一線教學(xué)過程中遇到的幾個問題為例，談?wù)勅绾螕Q個角度思考問題.

【例1】 對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p，使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范圍是 .

分析：有的學(xué)生學(xué)習(xí)功底比較好，提出了思路一：將不等式x2+px>4x+p-3轉(zhuǎn)化為p（1-x）

有愛動腦筋，喜歡鉆研的學(xué)生提出了另一種思路：可以把p視為變量、x視為參量，這樣不等式可以理解成以p為變量的不等式，再構(gòu)造關(guān)于變量p的一次函數(shù)，使其在區(qū)間上恒大（?。┯诹氵M(jìn)行解題.

點評：思路一是大多數(shù)學(xué)生的思維.通過分類討論進(jìn)行分離參數(shù)，由不等式恒成立解決問題，是常規(guī)的通性通法.在教學(xué)過程中，教師力求給學(xué)生傳授這樣的通性通法，讓學(xué)生學(xué)會以不變應(yīng)萬變的常規(guī)思路.思路二學(xué)生不易想到，也不敢這樣去想，畢竟打破常規(guī)是需要勇氣和膽量的.但這樣的思路恰恰也拓展了我們的思維，讓我們有耳目一新的感覺.它打破了常規(guī)的思維定式，換了一個角度來思考問題，有一定的技巧，不失為一種思維創(chuàng)新.

【例2】 設(shè)x是實數(shù)，求函數(shù)y=x2-8x+41-x2-2x+5的最大值.

分析：本題是由兩個根號的差構(gòu)成的函數(shù)，顯然用平方、換元的思想方法探究會因形式較為復(fù)雜而難以繼續(xù)下去.此時若換個角度進(jìn)行思考，仔細(xì)觀察兩個根號內(nèi)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式后，發(fā)現(xiàn)可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=（x-4）2+52-（x-1）2+22，這樣就可以看做是直角坐標(biāo)系中一個動點P（x，0）到兩個定點A（4，5）和B（1，-2）的距離之差.作出點B（1，-2）關(guān)于x軸的對稱點B′（1，2），則由△PAB′中|PA-PB′|

點評：平方和換元的思想方法是解決帶根號問題的常規(guī)思路，但在本題中，用這些方法尋求解題途徑時卻比較困難，甚至無從下手.故需要換個角度看問題，針對根號的內(nèi)部特點，構(gòu)造一個“距離”模型，使得原問題在這個模型上變得直觀且易于解決.這種構(gòu)造性的思想及其方法還可以體現(xiàn)在，把題設(shè)條件所給出的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行重新組合，構(gòu)想出一種新的具體關(guān)系.例如構(gòu)造出與問題有關(guān)的函數(shù)、方程、數(shù)列、向量等模型.下面再看兩例.

【例3】 證明：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

分析：學(xué)生看到這個題目時，思考了足足十分鐘，仍然無從下手.有些膽大的學(xué)生偷偷地拿出了計算器，悄悄地演算結(jié)論.但在高考考場里，數(shù)學(xué)考試禁用任何帶有記憶功能的計算器，考生必須徒手結(jié)合大腦思考進(jìn)行答題.所以對于學(xué)生在課堂中使用計算器的行為，我及時進(jìn)行了制止.盡管該題的數(shù)據(jù)與結(jié)構(gòu)并不那么復(fù)雜，但從代數(shù)形式上看，確實難以找到解決問題的突破口.既然代數(shù)形式難以入手，那么能否從形的角度來思考呢？

【例4】 任意給出8個非零實數(shù)a1，a2，…，a8.證明：六個數(shù)a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中，至少有一個是非負(fù)的.

分析：本題有競賽題的形式，讓人望而止步.題目的條件給得過于簡單，讓人無從下手，但看看要證明的結(jié)論里，信息相對豐富些.那么這時就需要換個角度思考問題，從結(jié)論里找到一條繞過障礙的新途徑，以達(dá)到破題的目的.聯(lián)想a1a3+a2a4的形式等于向量OA=（a1，a2）與OB=（a3，a4）的數(shù)量積，那么其他五個數(shù)也可以看成對應(yīng)五個向量的數(shù)量積，所以可以構(gòu)造向量，嘗試將六個數(shù)與六個向量的數(shù)量積進(jìn)行攀連.

證明：構(gòu)造向量OA=（a1，a2），OB=（a3，a4），OC=（a5，a6），OD=（a7，a8），分別對應(yīng)平面上的四個點A，B，C，D.

因為四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，不妨設(shè)OA和OB的夾角≤90°，所以O(shè)A·OB≥0，即a1a3+a2a4≥0，從而命題得證.

點評：本題巧妙地構(gòu)造了四個共起點的向量，將六個數(shù)表示成這四個向量兩兩組合的數(shù)量積，突破了題目所給的條件少且抽象的障礙.再根據(jù)抽屜原理，確認(rèn)四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，言簡意賅地證明了命題，具有較強的構(gòu)造性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.

一片落葉，你也許會看到“零落成泥碾作塵”的悲慘命運，但是只要換個角度思考，你便會發(fā)現(xiàn)它“化作春泥更護(hù)花”的高尚節(jié)操；一根蠟燭，不久便會“蠟炬成灰”，但它卻為人照亮了前面的路；一支粉筆，只需三筆兩畫，生命便會結(jié)束，但它卻在學(xué)生心中撒下了知識的種子.換個角度思考問題，問題或許將迎刃而解，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也將不再枯燥乏味.只要腳踏實地、步步為營、迎難而上，成功的大門將為你打開.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

一般情況下，我們遇到一個問題，第一反應(yīng)就是從條件入手，順著題意一步一步分析，找出條件與結(jié)論的內(nèi)在關(guān)系，搭建條件與結(jié)論之間的橋梁，進(jìn)而解決問題，我們稱之為正向思維.而當(dāng)正向思維受阻，思維活動進(jìn)行不下去時，我們則可以改變思維方向，打破常規(guī).換個角度來看問題，也許轉(zhuǎn)機(jī)就會出現(xiàn)，問題隨之迎刃而解.下面筆者以自身在一線教學(xué)過程中遇到的幾個問題為例，談?wù)勅绾螕Q個角度思考問題.

【例1】 對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p，使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范圍是 .

分析：有的學(xué)生學(xué)習(xí)功底比較好，提出了思路一：將不等式x2+px>4x+p-3轉(zhuǎn)化為p（1-x）

有愛動腦筋，喜歡鉆研的學(xué)生提出了另一種思路：可以把p視為變量、x視為參量，這樣不等式可以理解成以p為變量的不等式，再構(gòu)造關(guān)于變量p的一次函數(shù)，使其在區(qū)間上恒大（?。┯诹氵M(jìn)行解題.

點評：思路一是大多數(shù)學(xué)生的思維.通過分類討論進(jìn)行分離參數(shù)，由不等式恒成立解決問題，是常規(guī)的通性通法.在教學(xué)過程中，教師力求給學(xué)生傳授這樣的通性通法，讓學(xué)生學(xué)會以不變應(yīng)萬變的常規(guī)思路.思路二學(xué)生不易想到，也不敢這樣去想，畢竟打破常規(guī)是需要勇氣和膽量的.但這樣的思路恰恰也拓展了我們的思維，讓我們有耳目一新的感覺.它打破了常規(guī)的思維定式，換了一個角度來思考問題，有一定的技巧，不失為一種思維創(chuàng)新.

【例2】 設(shè)x是實數(shù)，求函數(shù)y=x2-8x+41-x2-2x+5的最大值.

分析：本題是由兩個根號的差構(gòu)成的函數(shù)，顯然用平方、換元的思想方法探究會因形式較為復(fù)雜而難以繼續(xù)下去.此時若換個角度進(jìn)行思考，仔細(xì)觀察兩個根號內(nèi)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式后，發(fā)現(xiàn)可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=（x-4）2+52-（x-1）2+22，這樣就可以看做是直角坐標(biāo)系中一個動點P（x，0）到兩個定點A（4，5）和B（1，-2）的距離之差.作出點B（1，-2）關(guān)于x軸的對稱點B′（1，2），則由△PAB′中|PA-PB′|

點評：平方和換元的思想方法是解決帶根號問題的常規(guī)思路，但在本題中，用這些方法尋求解題途徑時卻比較困難，甚至無從下手.故需要換個角度看問題，針對根號的內(nèi)部特點，構(gòu)造一個“距離”模型，使得原問題在這個模型上變得直觀且易于解決.這種構(gòu)造性的思想及其方法還可以體現(xiàn)在，把題設(shè)條件所給出的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行重新組合，構(gòu)想出一種新的具體關(guān)系.例如構(gòu)造出與問題有關(guān)的函數(shù)、方程、數(shù)列、向量等模型.下面再看兩例.

【例3】 證明：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

分析：學(xué)生看到這個題目時，思考了足足十分鐘，仍然無從下手.有些膽大的學(xué)生偷偷地拿出了計算器，悄悄地演算結(jié)論.但在高考考場里，數(shù)學(xué)考試禁用任何帶有記憶功能的計算器，考生必須徒手結(jié)合大腦思考進(jìn)行答題.所以對于學(xué)生在課堂中使用計算器的行為，我及時進(jìn)行了制止.盡管該題的數(shù)據(jù)與結(jié)構(gòu)并不那么復(fù)雜，但從代數(shù)形式上看，確實難以找到解決問題的突破口.既然代數(shù)形式難以入手，那么能否從形的角度來思考呢？

【例4】 任意給出8個非零實數(shù)a1，a2，…，a8.證明：六個數(shù)a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中，至少有一個是非負(fù)的.

分析：本題有競賽題的形式，讓人望而止步.題目的條件給得過于簡單，讓人無從下手，但看看要證明的結(jié)論里，信息相對豐富些.那么這時就需要換個角度思考問題，從結(jié)論里找到一條繞過障礙的新途徑，以達(dá)到破題的目的.聯(lián)想a1a3+a2a4的形式等于向量OA=（a1，a2）與OB=（a3，a4）的數(shù)量積，那么其他五個數(shù)也可以看成對應(yīng)五個向量的數(shù)量積，所以可以構(gòu)造向量，嘗試將六個數(shù)與六個向量的數(shù)量積進(jìn)行攀連.

證明：構(gòu)造向量OA=（a1，a2），OB=（a3，a4），OC=（a5，a6），OD=（a7，a8），分別對應(yīng)平面上的四個點A，B，C，D.

因為四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，不妨設(shè)OA和OB的夾角≤90°，所以O(shè)A·OB≥0，即a1a3+a2a4≥0，從而命題得證.

點評：本題巧妙地構(gòu)造了四個共起點的向量，將六個數(shù)表示成這四個向量兩兩組合的數(shù)量積，突破了題目所給的條件少且抽象的障礙.再根據(jù)抽屜原理，確認(rèn)四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，言簡意賅地證明了命題，具有較強的構(gòu)造性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.

一片落葉，你也許會看到“零落成泥碾作塵”的悲慘命運，但是只要換個角度思考，你便會發(fā)現(xiàn)它“化作春泥更護(hù)花”的高尚節(jié)操；一根蠟燭，不久便會“蠟炬成灰”，但它卻為人照亮了前面的路；一支粉筆，只需三筆兩畫，生命便會結(jié)束，但它卻在學(xué)生心中撒下了知識的種子.換個角度思考問題，問題或許將迎刃而解，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也將不再枯燥乏味.只要腳踏實地、步步為營、迎難而上，成功的大門將為你打開.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）