高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)

張?jiān)葡?/p>

摘 要：高等數(shù)學(xué)中的主要概念都是從實(shí)際問題中抽象出來的，學(xué)生學(xué)起來普遍感到比較困難，很難接受。然而學(xué)生對概念的理解是否正確、透徹對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，因此本文主要探討了如何在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中進(jìn)行概念的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念；教學(xué)

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工科、經(jīng)管類學(xué)生必修的一門數(shù)學(xué)類的公共基礎(chǔ)課程，該門課程的學(xué)習(xí)直接關(guān)系到學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)課程、專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)許多教師重計(jì)算輕概念，把大量的時間花在了計(jì)算上面，而學(xué)生對概念本身并沒有理解，從而導(dǎo)致了學(xué)生不知為何學(xué)習(xí)，學(xué)完了也不會使用的現(xiàn)象。而概念是數(shù)學(xué)的基石，是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，對概念的理解和掌握在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位。因此如何在教學(xué)中如何講清概念，使學(xué)生更好的理解概念，會使用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個關(guān)鍵。下面結(jié)合筆者從事教學(xué)的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，探討在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中如何進(jìn)行概念教學(xué)。

1 運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行概念教學(xué)

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)張過程及其規(guī)律的一門學(xué)科，它反應(yīng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)與本質(zhì)。在教授數(shù)學(xué)概念之前，先向?qū)W生介紹一些相關(guān)的數(shù)學(xué)史，不僅可以使學(xué)生了解概念的產(chǎn)生、發(fā)展、完善的過程，深刻的理解概念，還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望。高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)概念都是來自于對實(shí)際問題的研究，是在具體的實(shí)際問題中抽象出來的，因此不宜直接給出概念的定義，而應(yīng)把概念的發(fā)生、形成、探索過程呈現(xiàn)出來，這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的時候不會感到突然，而是覺得這是很自然的事情，更重要的是，能使學(xué)生對概念作深層次的理解，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

例如在講解極限的概念時，可以先介紹數(shù)學(xué)史中極限產(chǎn)生的思想。比如戰(zhàn)國時代的《莊子·天下篇》中有“一尺之錘，日取其半，萬事不竭”的名言。其意是所余部分總是可一分為二，永遠(yuǎn)取不完。到了公元三世紀(jì)，我國三國時期杰出的數(shù)學(xué)界劉徽，它為了定義和計(jì)算圓的周長，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，他用圓內(nèi)接正多邊形的周長近似代替圓的周長，實(shí)際上內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，它的周長就越接近圓的周長。劉徽指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣。”通過這些數(shù)學(xué)史的介紹學(xué)生知道早在古代就有了極限的思想，可以深刻的理解極限的概念，有助于后面極限知識的學(xué)習(xí)。

2 通過實(shí)例引入概念

高等數(shù)學(xué)中的概念都是來源于對實(shí)際問題的研究，是在研究實(shí)際問題的過程中抽象出來的。因此我們在講解高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)概念時一定要從實(shí)際問題入手，在解決實(shí)際實(shí)際問題的過程中讓學(xué)生去體會概念的產(chǎn)生，并學(xué)會自己歸納數(shù)學(xué)概念，教師再加以引導(dǎo)，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時就不會覺得很抽象，會覺得這是一個自然的過程。

例如我們在講解導(dǎo)數(shù)概念的時候，可以首先介紹曲線切線的斜率和變速直線運(yùn)動的瞬時速度這兩個實(shí)際問題，通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生可以認(rèn)識到雖然這兩個問題的背景不同，一個是幾何問題，一個是物理問題，但問題的解決的思想和方法是相同的，最后都可歸結(jié)到處理增量之比的極限問題。因此， 數(shù)學(xué)就有單獨(dú)研究增量之比這類極限的必要， 這類極限就定義為導(dǎo)數(shù)。通過這兩個實(shí)例的引入學(xué)生可以自己歸納出導(dǎo)數(shù)的定義，并能夠理解導(dǎo)數(shù)的概念，這樣概念的形成在學(xué)生腦海中就是一個很自然的過程。反之，如果直接給出導(dǎo)數(shù)的定義，學(xué)生會感到迷茫，無法理解這個概念，覺得它很抽象，是一個孤立的東西。

又如在引入定積分的概念時， 我們可以先介紹如何求平面圖形的面積這個實(shí)際問題：即如何來求解由曲線y=f（x），x=a，x=b及x軸所圍成的平面圖形的面積。由于有了前面極限的基礎(chǔ)，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生會想到利用極限的方法來解決。通過“分割——近似代替——求和——取極限”四個步驟我們可以得到一個和式的極限， 若此極限存在， 我們將其定義為函數(shù)y =f（x）在區(qū)間[a， b]上的定積分， 也就是上述曲邊梯形的面積。這樣先提出實(shí)際問題， 引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，自己分析并概括出數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生去經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程，會使學(xué)生很好的理解并應(yīng)用概念。作為高等數(shù)學(xué)的教師，我們應(yīng)是幫助學(xué)生形成概念而不是教概念。實(shí)際上， 學(xué)生掌握一個概念有困難， 很大程度上是由于這個概念的獲得過程與常識概念的形成過程次序相反造成的， 因此我們應(yīng)按知識的發(fā)生過程來組織教學(xué)。

3 采用類比法引入概念

高等數(shù)學(xué)中有些概念并不是從實(shí)際問題的直接需要而引進(jìn)的，而是已學(xué)過的一些概念的引申和推廣。對于這樣的概念用類比法進(jìn)行教學(xué)會取得很好的效果。即通過對比的方式講清原概念和新概念的相同之處、不同之處以及他們之間的聯(lián)系。例如原函數(shù)概念是從導(dǎo)數(shù)概念引伸出來的。這兩個概念沒有明顯的相同點(diǎn)，但是要講清它們之間的關(guān)系，要指出求原函數(shù)是求導(dǎo)的逆運(yùn)算。再如多元函數(shù)微積分中的絕大多數(shù)概念都是從一元函數(shù)微積分中的概念推廣而來的。把這些概念， 前后聯(lián)系起來，對比著去學(xué)習(xí)，而不是獨(dú)立去理解，教師不僅省力， 學(xué)生也更容易明白。

4 利用數(shù)形結(jié)合的方法引入新概念

形象生動的語言、直觀的幾何圖形、具體的實(shí)物模型比抽象思維更容易接受和領(lǐng)悟， 因?yàn)樗咏谥R的本源。所以在概念教學(xué)中可從具體形象的圖形入手，經(jīng)過分析、歸納、綜合出新的概念。例如在講函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性及函數(shù)的極值等概念時，就可采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行講授，使得學(xué)生更容易理解這些概念，對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，理解概念比去背嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義要重要的多。

總之，概念是高等數(shù)學(xué)不可缺少的重要組成部分， 在教學(xué)中應(yīng)防止不重視概念而只重視計(jì)算的教學(xué)方式。要講清概念， 讓學(xué)生理解好概念， 為他們今后的自學(xué)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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