基于李雅普諾夫函數(shù)的航空發(fā)動機非線性控制設(shè)計方法

商國軍，王繼強，夏 超，胡 歡，趙明宇

（南京航空航天大學能源與動力學院，南京210016）

0 引言

航空發(fā)動機是1個復(fù)雜的熱機械系統(tǒng)，其本質(zhì)是1個強非線性對象，在飛行包線內(nèi)參數(shù)變化范圍大，線性模型只能在發(fā)動機的某個穩(wěn)定工作點附近有效。然而發(fā)動機工作在范圍很大的包線區(qū)域，且發(fā)動機狀態(tài)變化范圍較寬，所以用基于線性模型設(shè)計的控制規(guī)律不能很好地滿足系統(tǒng)變工況運行的需要。尤其在環(huán)境有較大改變時，所提取線性模型的準確性將受到影響，系統(tǒng)魯棒性的保持成為1項困難的問題[1-2]。因此航空發(fā)動機的動態(tài)過程必須由非線性數(shù)學模型來描述，這就需要非線性控制技術(shù)來完成控制系統(tǒng)的設(shè)計研究。目前，已經(jīng)提出了幾種可行的非線性控制方法，文獻[3]提出了反饋線性化與滑?？刂频姆椒ㄓ行?yīng)用于航空發(fā)動機不穩(wěn)定燃燒主動控制中；文獻[4]介紹了1種基于遺傳算法的航空發(fā)動機模糊控制方法，取得了比較好的控制效果；文獻[5]提出了成功應(yīng)用于航空發(fā)動機控制的非線性預(yù)測控制方法。

本文采用李雅普諾夫方法，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，設(shè)計出航空發(fā)動機非線性控制器，有效改進了航空發(fā)動機控制系統(tǒng)的性能。

1 航空發(fā)動機非線性控制設(shè)計

李雅普諾夫理論[6-8]主要是借助于1個李雅普諾夫函數(shù)直接對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷，從能量的觀點進行穩(wěn)定性分析，其判斷方法可依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理：如果在1個球BR0內(nèi)，存在1個標量函數(shù)V（x），具有1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且V（x）正定（在球BR0內(nèi)）；（x）負半定（在球BR0內(nèi)）。那么平衡點0是穩(wěn)定的，如果導(dǎo)數(shù)（x）在球BR0內(nèi)是負定的，那么0是漸近穩(wěn)定的。

航空發(fā)動機的非線性模型[9-11]可以表示為

在某一確定的穩(wěn)態(tài)點，通過泰勒級數(shù)的展開可得到狀態(tài)空間模型的表達式為

例如將燃油流量比Wf作為控制輸入量；將壓氣機及風扇轉(zhuǎn)速nH，nL作為狀態(tài)變量，則狀態(tài)方程可表示為

方程中的參數(shù)可通過偏導(dǎo)數(shù)法[12]或擬合法[13-14]求得。顯然上述模型只有在穩(wěn)態(tài)操作點才有效。因此，為得到更大包線內(nèi)的控制模型，其中1種方法是為模型添加非線性項，以此來修正線性模型。例如

式中：G（·）為一般的非線性項。

為了方便表述，式（4）可簡化為

盡管G（x）的引入帶來了系統(tǒng)的非線性，且需要非線性設(shè)計技術(shù)的支持，但系統(tǒng)的控制性能可在較大的飛行包線下得到改善。

本文采用的航空發(fā)動機模型[15]可表示為

在式（6）中，由于線性模型部分只適用于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在2%~3%范圍內(nèi)變化，為了使該線性模型在更大包線范圍內(nèi)有效，可用試測法選取非線性函數(shù)G（x）加入到線性模型中，使新建立的模型可適用于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在5%左右范圍內(nèi)的變化，有效拓寬了該模型的適用范圍。其中非線性函數(shù)G（x）為

在G（x）函數(shù)中存在狀態(tài)變量的交互作用，表明了航空發(fā)動機復(fù)雜的動態(tài)性。

輸入量u=ΔWf，輸出量yT= [PCN2R P56/P25P16/P56]T。靜態(tài)反饋控制為

式中：

非線性控制設(shè)計的問題就是尋找1個常數(shù)矩陣使狀態(tài)x（t）在約束條件下是穩(wěn)定的。

下面應(yīng)用李雅普諾夫直接法分析航空發(fā)動機非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。首先令Lyapunov函數(shù)

其中

Lyapunov函數(shù)V（x）的1階導(dǎo)數(shù)為

將式（5）、（8）代入式（13）中得

由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)在平衡點處是漸進穩(wěn)定的條件為V（x）>0；V˙（x）<0。

將式（7）、（9）、（11）、（12）以及式（6）的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣代入式（14）得

對式（15）合并同類項得

式（16）可轉(zhuǎn)化為

顯然，在式（17）中

恒成立。

要使式（17）V˙（x）<0，只需使式（19）成立，即

使式（19）成立的充要條件為

將式（20）化簡得

由式（21）可得控制器參數(shù)的有效選擇范圍，如圖1所示。

圖1 控制器參數(shù)的有效選擇范圍

顯然，由式（21）可知，要保證系統(tǒng)穩(wěn)定，控制器參數(shù)K 應(yīng)在圖1中2條線所圍成的陰影內(nèi)選取，如取K=[-12.45 4.81337]，即k1=-12.45，k2=48.1337，將其代入式（21）中，可使該不等式組成立。

綜上所述，當常數(shù)矩陣K 在圖1陰影內(nèi)部取值時可滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，即狀態(tài)變量 在約束條件下是穩(wěn)定的。

2 航空發(fā)動機非線性控制數(shù)值仿真

2.1 調(diào)節(jié)器設(shè)計

當發(fā)動機工作在穩(wěn)態(tài)時有u=ΔWf=0，首先考慮調(diào)節(jié)問題，本文研究的目的是設(shè)計u=ΔWf=Kx，使狀態(tài)變量x 及輸出變量y 的瞬態(tài)性能得到改進。

取狀態(tài)反饋矩陣K=-[-12.45 4.81337]，在初始狀態(tài)為x0=[0.2 0.3]T時進行系統(tǒng)仿真。

x（t）的瞬態(tài)性能如圖2所示，圖中也繪出了系統(tǒng)在無反饋控制下x（t）的瞬態(tài)響應(yīng)，即為零輸入響應(yīng)。

圖2 狀態(tài)信號瞬態(tài)響應(yīng)的比較，x0=[0.2 0.3]T

從圖2中可見，在閉環(huán)狀態(tài)反饋的作用下，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間短，響應(yīng)快，控制系統(tǒng)性能得到明顯改善。

yT=[PCN2R P56/P25P16/P56]T輸出信號的調(diào)節(jié)性能如圖3所示。圖3繪制出了系統(tǒng)在開環(huán)控制下y的瞬態(tài)響應(yīng)，曲線表明狀態(tài)反饋控制提高了系統(tǒng)輸出變量的調(diào)節(jié)性能，瞬態(tài)響應(yīng)速度快，調(diào)節(jié)時間短，發(fā)動機能有效抑制干擾，是航空發(fā)動機控制系統(tǒng)的1個重要特性。

2.2 跟蹤性和魯棒性

燃油流量比ΔWf的增量代表了航空發(fā)動機的加速過程。對于ΔWf的階躍輸入需要PCN2R 的快速響應(yīng)。在某飛行高度H 及飛行Ma 下，渦扇發(fā)動機高壓渦輪轉(zhuǎn)速的響應(yīng)速度可作為飛機機動性能的衡量標志，如圖4所示。為便于比較，圖中也繪出了相應(yīng)線性系統(tǒng)的開環(huán)與閉環(huán)響應(yīng)曲線，其中作為比較的開環(huán)控制規(guī)律皆為零狀態(tài)響應(yīng)。

（1）從圖4中可見，非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)在同樣狀態(tài)反饋控制下，控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能得到明顯改善，表明系統(tǒng)具有良好的跟蹤性。

（2）通過比較可得，原線性系統(tǒng)所引入的非線性項可作為對線性系統(tǒng)的1種干擾，但它并沒有影響系統(tǒng)的性能，且所應(yīng)用的非線性控制設(shè)計方法使系統(tǒng)具有良好的跟蹤性，表明系統(tǒng)具有較好的魯棒性。

（3）真實系統(tǒng)的動態(tài)性應(yīng)由非線性系統(tǒng)來表示，在圖4中盡管開環(huán)系統(tǒng)性能有所下降，但閉環(huán)系統(tǒng)能夠保持較好的性能。實際上，對閉環(huán)非線性系統(tǒng)與閉環(huán)線性系統(tǒng)的性能比較表明系統(tǒng)性能的損失是有限度的。說明所提出的設(shè)計方法可適應(yīng)對象大范圍的變化，這也正是控制系統(tǒng)所期望的特性。

仿真結(jié)果表明：本文提出的設(shè)計方法使系統(tǒng)達到了期望的性能，系統(tǒng)響應(yīng)快，能有效抑制干擾，且具有較好的跟蹤性及魯棒性。驗證了基于Lyapunov方法的航空發(fā)動機非線性設(shè)計方法的有效性。

3 結(jié)論

（1）通過應(yīng)用Lyapunov方法，使狀態(tài)反饋矩陣K在一定范圍內(nèi)選取的條件下，保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，可進一步提高控制系統(tǒng)獲得最佳性能的可能性。

（2）通過對控制系統(tǒng)的數(shù)值分析及仿真研究表明：本文提出的設(shè)計方法使航空發(fā)動機非線性控制系統(tǒng)的性能得到改善，在航空發(fā)動機非線性控制方法研究中具有一定參考價值。

（3）該方法只保證了K 取一定范圍內(nèi)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對于如何進一步選取K 的取值以保證控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，以及對收斂速度做進一步分析，可作為下一步的研究方向。

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