細節(jié)疲勞額定強度形狀參數(shù)取值

郭 翔， 劉建中， 胡本潤， 黃 嘯

(北京航空材料研究院 航空材料檢測與評價北京市重點實驗室，北京100095)

細節(jié)疲勞額定強度DFR(detail fatigue rating)是波音公司提出的一種飛機設計方法［1］。其中形狀參數(shù)α 是確定DFR 值的關(guān)鍵參數(shù)。波音公司［2，3］于20 世紀60，70年代收集了包括2000 多組鋁合金試件，1200 多組鈦合金試件和800 多組鋼結(jié)構(gòu)試件的疲勞壽命數(shù)據(jù)，給出了不同材料的α值:α=4 適用于鋁合金結(jié)構(gòu);α =3，適用于鈦合金結(jié)構(gòu)和抗拉強度小于1655MPa 的鋼結(jié)構(gòu);α =2.2適用于所有抗拉強度高于1655MPa 的鋼結(jié)構(gòu)。目前，我國的飛機設計手冊［4，5］仍 直接采 用這一結(jié)果。

周希沅［6］通過極大似然估計法對多種國產(chǎn)材料的α 值進行了初步估計，并與美國同種材料的α值進行了比較，給出了國產(chǎn)材料α 值的變化范圍。黃嘯等［7］分析研究周希沅初步計算的α 值在其范圍內(nèi)變化對DFR 值的影響。但是，由于文獻［6］與波音公司采用的估計方法不同，且數(shù)據(jù)樣本量過小，其估計結(jié)果的可靠性有待進一步論證。

波音公司計算α 估計值時采用了國內(nèi)外統(tǒng)計學文獻中非常少見的頭兩序數(shù)估計法。該方法與極大似然估計法、矩估計法等常用的參數(shù)估計法的合理性研究未見報道。同時，國產(chǎn)材料與國外材料在冶金質(zhì)量、工藝穩(wěn)定性及試件制造水平等方面均有較大差別，這些差別都可能顯著影響疲勞壽命分散性，進而影響α 取值。在使用國產(chǎn)材料的飛機設計中，直接采用波音公司針對美國生產(chǎn)材料獲得的α值是否合理，這需要通過收集大量可靠的國產(chǎn)材料與結(jié)構(gòu)疲勞試驗數(shù)據(jù)，采用與波音公司相同的α 值估計方法進行深入研究與系統(tǒng)驗證。另外，經(jīng)過幾十年材料科學的發(fā)展，新材料例如第三代鋁鋰合金、纖維金屬層板等，正逐步應用于先進飛機結(jié)構(gòu)，其α取值如何，國內(nèi)外均未見相關(guān)報道，也急需進行研究，為飛機設計者提供參考。

本工作介紹波音公司所采用的頭兩序數(shù)估計法，以及通過此估計方法得到一類材料α 值的過程。對頭兩序數(shù)估計法和其他常用的參數(shù)估計方法進行優(yōu)劣性評價。采用頭兩序數(shù)估計法分析國內(nèi)常用航空材料疲勞壽命數(shù)據(jù)，與美國相同材料數(shù)據(jù)對比。對鋁鋰合金，纖維金屬層板等新型航空材料的α 值進行計算。

1 形狀參數(shù)α 的估計方法

參數(shù)估計是根據(jù)從總體中抽取的樣本估計總體分布中包含的未知參數(shù)的方法。統(tǒng)計理論中對于Weibull 分布常用的參數(shù)估計方法有極大似然估計法，最小二乘估計法和矩估計法等［8～10］。然而，Whittaker 在為波音公司制定美國材料α 值時所采用的參數(shù)估計方法是不常見的頭兩序數(shù)估計法。

1.1 頭兩序數(shù)估計法

將相同試樣在相同試驗條件下的全體疲勞壽命視作總體，那么，一個樣本容量為n 的樣本則應是實驗室中相同條件下測試同一批n個試樣得到的n個疲勞壽命。

在DFR 方法中，疲勞壽命的分布以兩參數(shù)Weibull 分布描述，其分布函數(shù)為:

式中:N ＞0，α ＞0，β ＞0;α 為形狀參數(shù);β 為尺度參數(shù);N 為疲勞壽命。

為獲得形狀參數(shù)α 值，頭兩序數(shù)估計法在進行嚴格的推導后，得到總體的α 值估計量為

式中:n 為樣本量;x(k)為樣本順序統(tǒng)計量(k =1，2，…，n)。

同時，如果多個樣本來自α 值相同的總體，那么這些樣本通過式(2)得到的多個滿足理論分布:

疲勞壽命數(shù)據(jù)樣本存在x(1)=x(2)的情況，此時通過式(2)得到，這使得對數(shù)據(jù)做進一步處理，如取平均值，變得十分困難。為了解決這一問題，采取與波音公司相同的方法［2］，對計算出的先取倒數(shù)，再對進一步處理，如求平均值、做經(jīng)驗累計分布曲線等，待得到最終的κ 值后，再取倒數(shù)α=1/κ 得到α 值。

對于一種材料，如鋁合金，波音公司確定其工程α 值的過程有以下4 步:

1)收集鋁合金材料或結(jié)構(gòu)的疲勞壽命數(shù)據(jù)。試驗或服役條件完全相同的疲勞壽命數(shù)據(jù)為一個樣本，且樣本量不小于2。由式(2)得到每一個樣本的。

2)假設所有樣本所在的總體具有同一個α 值，并對此進行假設檢驗。如檢驗各牌號下樣本的α值是否相同，則將上一步得到的α 估計值按牌號分為若干組，做出每一組α 估計值倒數(shù)κ 的經(jīng)驗累積分布曲線，若這些曲線間的相似程度滿足一定要求，則認為牌號對α 值無顯著影響，反之則存在影響。

3)依次檢驗所關(guān)注的因素。結(jié)果顯示，美國鋁合金材料的牌號、幾何形狀、服役溫度、試驗機、加載形式和疲勞壽命(102～106范圍內(nèi))等因素對α 值的影響不顯著。

4)做出鋁合金所有樣本κ 值的經(jīng)驗累積分布曲線，并通過式(3)進行擬合，擬合度滿足一定要求時，式(3)中的參數(shù)α 即為鋁合金的α 值。文獻［2］中采用Mann 的算法得到全體鋁合金數(shù)據(jù)的加權(quán)平均值=0.224，再通過切比雪夫不等式得到一個滿足概率P(κ ＜κ'0.95)＞95%的κ 值:κ'0.95=0.25(α=4)，并認為這一值在滿足擬合度的情況下更為保守，適合作為工程參考的α 值。

由于頭兩序數(shù)估計法并不常見，為保證統(tǒng)計分析的正確，根據(jù)文獻［2，3］中的原始數(shù)據(jù)對美國材料的α 值進行了再次估計，并和文獻中采用上述步驟給出的計算結(jié)果進行對比。該文獻為國外早期報告，在印制和保存過程中，其附錄中的部分數(shù)據(jù)丟失，僅對能夠掌握的數(shù)據(jù)進行驗證，這會造成一些誤差。查得的鋁合金數(shù)據(jù)1966個，這些均由頭兩序數(shù)估計法得到，平均值為0.261，文獻［2］中給出的統(tǒng)計結(jié)果中共有2003個，平均值為0.259，二者誤差為0.77%。通過頭兩序數(shù)估計法得到的鈦合金和鋼材數(shù)據(jù)的驗證結(jié)果和其文獻［3］給出的結(jié)果列于表1，表2 中。

對比結(jié)果顯示，在頭兩序數(shù)估計法下，鈦合金得到的驗證數(shù)據(jù)，與文獻中數(shù)據(jù)的誤差在5. 04%以內(nèi)，鋼材的誤差在11.07%以內(nèi)。

以上驗證結(jié)果說明，采用上述頭兩序數(shù)估計法得到α 值的計算方法與文獻通過原始數(shù)據(jù)得到α值所采用的計算方法一致。

表2 鋼材κ 估計值對比Table 2 κ estimators' verification for steel

1.2 不同估計方法的評價

為了研究頭兩序數(shù)估計法的合理性，分析頭兩序數(shù)估計法與其他常用估計方法的差異，利用包括頭兩序數(shù)估計和極大似然估計在內(nèi)的五種常用估計方法對母體分布已知的隨機模擬數(shù)據(jù)進行估計，通過估計的期望和方差評價其優(yōu)劣性。

具體的方法為，通過Matlab 軟件隨機產(chǎn)生符合雙參數(shù)Weibull 分布的模擬疲勞壽命數(shù)據(jù)樣本，樣本量分別為2，3，4，5，10 和20，每個樣本量下生成5000個樣本，設定Weibull 分布參數(shù)為(κ，β)=(0.25，10000)。模擬生成的樣本通過不同估計方法對κ 進行估計，每一種估計法都可以得到一系列估計值。通過期望和方差表征估計量的優(yōu)劣:

在估計Weibull 分布的形狀參數(shù)時，極大似然估計量和矩估計量均通過統(tǒng)計學中常見的方法得到［11，12］。在相關(guān)文獻［13，14］中已有結(jié)果表明加權(quán)最小二乘法較傳統(tǒng)最小二乘法更有優(yōu)勢，通過計算發(fā)現(xiàn)Lu［14］的加權(quán)因子更優(yōu)，因此只列出Lu 給出的加權(quán)最小二乘法結(jié)果。圖1 給出了在不同樣本量n下，各估計方法由式(4)得到期望值與設定值0.25之間的誤差值;圖2 則給出了各估計方法由式(5)得到的方差。

圖1 不同估計方法期望的比較Fig.1 Expectation comparison among estimators

圖2 不同估計方法方差的比較Fig.2 Variance comparison among estimators

由圖1 可知，通過頭兩序數(shù)估計法得到的期望值與真實值的偏差小于其他估計方法，這在小樣本量情況下尤為明顯，可認為頭兩序數(shù)估計法在估計的準確度上優(yōu)于其他估計方法。由圖2 可知，頭兩序數(shù)估計法的方差大于其他估計方法，但是，最終α值并非由單個樣本估計，而是由大量樣本的估計值取平均值得到。因此，針對估計α 值，評價的估計方法時，方差為次要因素。此外，受試驗時間和經(jīng)濟成本的影響，高周疲勞壽命數(shù)據(jù)以小樣本為主［15］，在已掌握的國內(nèi)外疲勞壽命數(shù)據(jù)中，國外數(shù)據(jù)樣本量n ＜5 的樣本占總樣本數(shù)的96.5%，國內(nèi)數(shù)據(jù)則占82.2%。在此情況下，頭兩序數(shù)估計法雖然不能認為是統(tǒng)計學上的最優(yōu)估計，但綜合以上幾點，在估計α 值時頭兩序數(shù)估計法是最合適的估計方法。

2 國產(chǎn)飛機材料α 值的統(tǒng)計分析

2.1 常用飛機材料

對于國產(chǎn)材料與結(jié)構(gòu)，其α 值是否可直接采用國外相同材料的α 值需進一步驗證，本工作統(tǒng)計分析了北京航空材料研究院產(chǎn)生的1060 組國產(chǎn)鋁合金，505 組國產(chǎn)鈦合金和658 組國產(chǎn)鋼材的實測數(shù)據(jù)，利用頭兩序數(shù)估計法對這三類材料的α 值進行估計。

為確定牌號、Kt值、試件幾何形狀及試驗環(huán)境等因素對α 值的影響，對可能影響α 值的因素，進行置信度為95%的顯著性分析，顯著性分析采用單因素方差分析，以確定某一因素中的不同水平對α值是否有影響。例如，對Kt值的影響進行方差分析。選取除Kt值外，其余條件完全相同的疲勞壽命數(shù)據(jù)共n個樣本，此時設Kt值有s個水平，Kt=1，Kt=2，…Kt=s，每一水平下有若干個，記為每個水平下^α 的均值，則待檢驗的假設為:

給定顯著性水平γ，根據(jù)方差分析的理論計算其F 值，當F ＞F1-γ(s-1，n-s)時拒絕原假設H0，否則認為分析結(jié)果與原假設H0無顯著差異，即由不同Kt值樣本所估計出的α 值無明顯差異。依次以此方法分析可能影響α 值的其余因素。表3 給出分析結(jié)果，有顯著影響以“+”表示，反之以“－”表示。

表3 各因素對不同材料形狀參數(shù)的影響Table 3 The effect of different factor on different materials

由表可見，中值壽命范圍對所有材料的α 值都有顯著影響，抗拉強度僅對鋼材的α 值有顯著性影響，試驗腐蝕環(huán)境對牌號為30CrMnSiNi2A 和16Co14Ni10Cr2Mo 的鋼材有顯著性影響。其余因素:Kt值、試件幾何形狀及試驗溫度則對材料的α值無顯著影響。在此基礎(chǔ)上，研究國產(chǎn)鋁合金和鈦合金的α 值，只需關(guān)注α 值在不同中值壽命范圍內(nèi)的取值。

表4 分別給出國產(chǎn)鋁合金和鈦合金在不同壽命范圍內(nèi)的α 值。

表4 國產(chǎn)鋁合金形狀參數(shù)估計結(jié)果Table 4 Estimated shape parameters of aluminum alloy

根據(jù)表3 中的結(jié)論，研究國產(chǎn)鋼材的α 值，除中值壽命范圍外，還應關(guān)注材料的抗拉強度及個別材料在腐蝕試驗環(huán)境下的 α 值。表6 給出了30CrMnSiNi2A 和16Co14Ni10Cr2Mo 壽命范圍在6 ×104～2×105下不同腐蝕環(huán)境的α 值。表7 則給出了不同抗拉強度下鋼材的α 值以及不同壽命范圍下的α 值，其中30CrMnSiNi2A 和16Co14Ni10Cr2Mo 兩類材料不包含腐蝕環(huán)境下的數(shù)據(jù)。

表5 國產(chǎn)鈦合金形狀參數(shù)估計結(jié)果Table 5 Estimated shape parameters of titanium alloy

表6 腐蝕環(huán)境對30CrMnSiNi2A 和16Co14Ni10Cr2Mo形狀參數(shù)影響Table 6 Estimated shape parameters of 30CrMnSiNi2A and 16Co14Ni10Cr2Mo in different corrosion environment

通過以上計算與分析發(fā)現(xiàn)，國產(chǎn)材料的α 值隨中值壽命的增加有減小的趨勢，30CrMnSiNi2A 和16Co14Ni10Cr2Mo 兩種鋼材在不同的腐蝕試驗環(huán)境下得到的α 值有明顯不同。從表7 可見隨抗拉強度σb的增加，鋼材的α 值有減小的趨勢，以σb=1655MPa 為界將鋼材分為兩類，這兩類鋼材的α 值有明顯區(qū)別，這與文獻［2，3］中得到的結(jié)論一致。

2.2 新型飛機材料

鋁鋰合金較鋁合金比重低，剛度大，同時保持較高的強度、較好的抗腐蝕性和抗疲勞性。纖維金屬層板是由鋁合金和玻璃纖維或碳纖維增強復合材料組成的一種混雜結(jié)構(gòu)材料，具有優(yōu)異的損傷容限性能［16］。這兩類新材料在國外新型飛機上已有實際應用，為了在國內(nèi)飛機設計時提供這兩類材料的DFR 值，對鋁鋰合金的α 值進行估計，分析了8 種鋁鋰合金243 組1024個試樣。

對可能影響鋁鋰合金α 值的因素進行了單因素方差分析。中值壽命范圍對α 值有較大影響，除此之外材料的牌號、試件形狀、Kt值和試件所用材料的取樣方向等因素，在置信度95%的檢驗下未發(fā)現(xiàn)明顯影響鋁鋰合金α 值的因素。

表8 給出了全體鋁鋰合金在不同壽命區(qū)間內(nèi)的α 值。表9 則給出了2 × × ×系列鋁合金與2 × ××系列鋁鋰合金壽命范圍在6 ×104～2 ×105內(nèi)的α值。

表8 鋁鋰合金形狀參數(shù)估計結(jié)果Table 8 Estimated shape parameters of aluminum lithium alloy

表9 2 × × ×系列鋁鋰合金與2 × × ×系列鋁合金形狀參數(shù)估計結(jié)果對比Table 9 Estimated shape parameters of aluminum lithium alloy(2× × × series)and aluminum alloy(2× × × series)

通過表4 和表8 的對比以及表9 中相同系列鋁合金與鋁鋰合金α 值的估計結(jié)果對比可以觀察到，鋁鋰合金的α 值略大于鋁合金的α 值，這表明鋁鋰合金的疲勞壽命分散性略小于鋁合金。

根據(jù)兩類新型纖維金屬層板共19 組53個試樣的疲勞壽命數(shù)據(jù)，對層板的α 值進行初步分析，表10 給出了兩類鋁合金層板的α 值，其中鋁合金-碳纖維層板8 組，鋁合金-玻璃纖維層板11 組。

表10 新型鋁合金纖維金屬層板形狀參數(shù)估計結(jié)果Table 10 Results of shape parameters of fiber metal laminates

由初步估計的結(jié)果可以看出，兩類新型纖維金屬層板之間的α 值存在差異。目前收集到的數(shù)據(jù)還不足以判斷不同類型纖維金屬層板是否可以使用同一個α 值，對于纖維金屬層板α 取值還需要大量的疲勞壽命試驗數(shù)據(jù)。

3 國產(chǎn)材料α 值取值分析與建議

根據(jù)以上分析與計算，將疲勞壽命范圍在6 ×104～2 ×105循環(huán)下的國產(chǎn)鋁合金、鈦合金、鋼材和鋁鋰合金的α 值和已有文獻中所統(tǒng)計的α 值列入表11，其中σb≤1655 MPa 鋼材在腐蝕環(huán)境下的數(shù)據(jù)不包含兩類對腐蝕試驗環(huán)境敏感材料30CrMnSiNi2A 和16Co14Ni10Cr2Mo。

表11 國內(nèi)外材料疲勞壽命形狀參數(shù)對比Table 11 Comparison between Domestic material's α and American's

表11 結(jié)果顯示，國產(chǎn)航空材料的α 值隨材料種類的變化趨勢與美國材料基本一致。同時，國產(chǎn)材料的α 值均大于美國材料，這一結(jié)果說明，國產(chǎn)材料的疲勞壽命分散性較美國材料小。然而，從大量實測結(jié)果及服役數(shù)據(jù)來看，國產(chǎn)材料與美國材料相比穩(wěn)定性較差，表11 中得到的結(jié)果似乎并不符合實際經(jīng)驗。這是由于評估的國產(chǎn)材料數(shù)據(jù)均來自材料級別的試驗，并且這些試驗都在過程與環(huán)境可控實驗室條件下進行，而美國用于估計的材料數(shù)據(jù)還包含了大量結(jié)構(gòu)模擬件試驗數(shù)據(jù)及服役數(shù)據(jù)。

在獲取更多模擬結(jié)構(gòu)試件和服役數(shù)據(jù)等多來源數(shù)據(jù)前，對于國產(chǎn)材料，鋁鋰合金可參考鋁合金的α值選取，其余材料仍直接采用手冊中的α 值。對于纖維金屬層板的α 值，相關(guān)試驗數(shù)據(jù)較少，只做初步分析。待試驗數(shù)據(jù)更為充分后，可依照以上分析方法對手冊中給出的各類材料的α 值進行相應調(diào)整，并給出層板等新型航空材料的α 值。

4 結(jié)論

(1)頭兩序數(shù)估計法計算α 值，估計準確性高，誤差不超過5%，更適合小樣本的估計等特點。

(2)利用兩序數(shù)估計法對國產(chǎn)材料評估可知，壽命取值范圍對國產(chǎn)航空材料的α 值影響明顯，抗拉強度對鋼材的α 值影響明顯，腐蝕環(huán)境對個別牌號鋼材的α 值影響顯著。Kt值，試件幾何形狀及試驗溫度對α 值無顯著影響，α 的最終估計值及不同材料間的變化趨勢與美國材料基本相同。

(3)在獲得更多更全面的數(shù)據(jù)前，鋁鋰合金的α值按照手冊中鋁合金的α 值選取，其余材料仍直接采用手冊中的α 值。

［1］GORANSON G. Elements of structural integrity assurance［J］. Fatigue，1994，16(1):43 －65.

［2］WHIITTAKER I C，BESUNER P M. A Reliability Analysis Approach to Fatigue Life of Aircraft Structures［R］. AD 853263，1969.

［3］WHIITTAKER I C. Development of Titanium and Steel Fatigue Variability Model for Application of Reliability Analysis Approach to Aircraft Structures［R］. AD758219，1972.

［4］吳學仁. 飛機結(jié)構(gòu)金屬材料力學性能手冊［M］. 北京:航空工業(yè)出版社，1996.

［5］鄭曉玲. 民機結(jié)構(gòu)耐久性與損傷容限設計手冊［M］. 北京:航空工業(yè)出版社，2003.

［6］周希沅. 國產(chǎn)材料疲勞壽命分布參數(shù)α 的初步估計［J］. 航空學報，1990，11(10):488 －491.(ZHOU X Y. Preliminary estimation of the shape parameters of fatigue life distribution for domestic materials［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1990，11(10):488 －491. )

［7］黃嘯，劉建中，馬少俊，等. 細節(jié)疲勞額定強度計算參量取值敏感性研究［J］. 航空學報，2012，33(5):863－870.(HUANG X，LIU J Z，MA S J，et al. Sensitivity analysis of the parameters in detail fatigue rating equation［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2012，33(5):863 －870.)

［8］MANN N R. Tables for obtaining the best linear invariant estimates of parameters of the Weibull distribution［J］.1967，9(4):629 －645.

［9］NELSON W. Applied Life Data Analysis［M］. New York:John Wiley ＆ Sons，1982.

［10］NELSON W. Accelerated Testing:Statistical Models，Test Plans，and Data Analysis［M］. New York:John Wiley ＆Sons，1990.

［11］陳家鼎，孫山澤，李東風，等. 數(shù)理統(tǒng)計學講義［M］. 第二版. 北京:高等教育出版社，2006:17 －19.

［12］金良瓊. 雙參數(shù)Weibull 分布的參數(shù)估計［D］. 昆明:云南大學，2010.

［13］HUNG W L. Short communication weighted least-squares estimation of the shape parameter of the Weibull distribution［J］. 2001，17(6):467 －469.

［14］LU H L，CHEN C H，WU J W. A note on weight leastsquares estimation of the shape parameter of the Weibull distribution［J］. 2004，20(6):579 －586.

［15］崔衛(wèi)民，薛紅軍，喻天翔，等. 試驗數(shù)據(jù)服從Weibul1分布時可靠性試驗最少試件數(shù)的確定術(shù)［J］. 機械工程學報，2008，44(1):51 －55.(CUI W M，XUE H J，YU T X，et al. Determination of sample size for weibull distribution in structural reliability tests ［J］. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44(1):51 －55.)

［16］黃嘯，劉建中. 新型纖維金屬混合層板結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴展與分層行為［J］. 航空材料學報，2012，32(5):97 －102.(HUANG X，LIU J Z. Fatigue crack propagation and delamination behavior of advanced fiber metal hybrid laminate［J］. Journal of Aeronautical Materials，2012，32(5):97－102.)