基于鮑摩-瓦爾夫模型及算法在木材倉儲中心選址中的應用

豆佳梅，孟利清，錢良輝，潘 祥（西南林業(yè)大學 機械與交通學院，云南 昆明 650224）

在木材倉儲中心的選址規(guī)劃過程中，如何確?？偟哪静膫}儲成本和運輸成本最優(yōu)化，是非常重要的問題。由于木材生產(chǎn)的地域性、季節(jié)性與需求的分散性、廣泛性之間的矛盾，使得木材物流相當復雜，隨著木材物流運輸倉儲等問題的不斷出現(xiàn)，不少林產(chǎn)企業(yè)已經(jīng)充分認識到木材物流的重要性，迫切希望通過木材倉儲選址的優(yōu)化提高木材物流管理水平以及降低木材的運輸成本，以開發(fā)木材行業(yè)的第三利潤源，目前我國對于木材物流研究仍不很深入，相關(guān)研究報道較少，而鮑摩－瓦爾夫模型及算法的應用發(fā)展為之提供了切實可行的實現(xiàn)途徑，在這種背景下，研究木材倉儲中心選址優(yōu)化并加以應用是十分及時和必要的。

對于擬定的木材倉儲中心選址，要能確保一定區(qū)域內(nèi)木材運輸、倉儲過程中的最佳方案，以達到總運輸費用和倉儲費用最小化的目的。

1 問題描述及模型建立

有m個伐區(qū)楞場，經(jīng)過木材倉儲中心發(fā)售給n個地區(qū)的需材點。其中楞場伐區(qū)的生產(chǎn)能力已知，每個需材點的需求量已知。模擬建立若干個木材倉儲中心，候選地點有S個，問題是如何從S個候選地點中選擇若干個地點作為木材倉儲中心，使木材物流費用達到最小。上述問題可以簡單表述為：在伐區(qū)楞場、需材點一定的情況下，在若干個備選地址中，找出木材物流節(jié)點的數(shù)量和位置，使得通過木材物流節(jié)點所運送的木材的固定成本和可變成本在下列約束條件下最低：（1）不能超過每個伐區(qū)楞場的供貨能力；（2）所有需材點的需求必須得到滿足；（3）每個木材倉儲中心的總進貨量等于總出貨量。

式中：i為楞場伐區(qū)（i=1,2,…,m ）；j為木材倉儲中心（j=1,2,…,s）；k為需材點（k=1,2,…,n ）；Ai為楞場伐區(qū)i的供應量（i=1,2,…,m ）；Bk為需材點k的需求量（k=1,2,…,n ）；Cij為從楞場伐區(qū)i到木材倉儲中心j的單位運輸成本；Djk為從木材倉儲中心j到需材點k的單位運輸成本；Zj為木材倉儲中心j的產(chǎn)品通過量；Vj為木材倉儲中心j的固定費用；r（ Zj）為Zj=0時取0，否則取1；Wj為木材倉儲中心j每單位通過量的變動成本（在考慮變動成本時，引進指數(shù)p，滿足條件0＜p＜1，以便考慮木材倉儲中心的規(guī)模經(jīng)濟性，木材倉儲中心j的變動費用為WjZjp，如果不考慮規(guī)模的經(jīng)濟性，可令p=1）；Xij為伐區(qū)楞場i到木材倉儲中心j的運量；Yjk為木材倉儲中心j到需材點k的運量。

2 模型求解

由于木材物流總成本函數(shù)是非線性的，因此，上述問題是一個非線性規(guī)劃問題，可以先求出初始解，然后迭代計算，主次逼近最優(yōu)解。步驟如下：

第一步，求初始解，首先對伐區(qū)楞場與需材點之間的所有組合（i,k），求每單位運輸成本最小值。即求出從伐區(qū)楞場i到需材點k的運輸成本最低的路線，其運輸成本為：C0ik=min｛ Cij+ Djk｝

注意式中左邊下標（i,k ）對應于某一個j值，引入變量Uik，表示從伐區(qū)楞場i經(jīng)過某一個木材倉儲中心j到需材點k的流通量。解如下線性規(guī)劃（運輸）問題：

所有 Uik＞0

求出Zj的初次解Z0i。

第二步，求二次解，設(shè)經(jīng)過木材倉儲中心j的所有（i,k）組成的集合為G（j），那么：

以運輸成本和變動費的合計最小為目標，求得最優(yōu)路線，即令：上式是由配送總成本函數(shù)微分所得的每單位的總成本。解如下線性規(guī)劃問題：

所有 Uik＞0

利用所求的解Uik，求出對應的Z1j。

第三步，求最優(yōu)解，按第二步方法反復計算，將（n－1）次解的木材倉儲中心通過量與n次解的木材倉儲中心通過量Znj進行比較，如果相等則終止計算，所得的解就是最優(yōu)解。

3 算法分析

本例中有兩個伐區(qū)楞場A1,A2，故i=2；兩個伐區(qū)楞場向8個地區(qū)供應木材，在每個地區(qū)各有一個需材點，故k=8?，F(xiàn)有5個木材倉儲中心候選地D1,D2,D3,D4和D5，選擇哪幾個木材倉儲中心使得總的運輸成本最小，故j=5。在此，要考慮規(guī)模經(jīng)濟量，即運輸費用與木材通過量呈非線性關(guān)系。已知條件如伐區(qū)楞場到木材倉儲中心候選地的單位運輸成本（Cij）見表1，木材倉儲中心候選地的變動費（WjZpj）見表2，木材倉儲中心候選地的變動成本（Djk）見表3。

表1 伐區(qū)楞場到木材倉儲中心候選地的單位運輸成本（Cij）

表2 木材倉儲中心候選地的變動費（W jZ p j ）

3.1 初始解。對于伐區(qū)楞場到需材點的所有組合，找出使運輸成本和配送成本之和為最小的木材倉儲中心，見表4。解運輸問題得到初始解，見表5。

表3 木材倉儲中心候選地的變動成本（Djk）

表4 最小運輸成本

表4 最小運輸成本

注：括號內(nèi)的Dj表示通過的倉儲中心

需材點伐區(qū)楞場A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8（D1）17（D1）10（D2）15（D2）20（D2）27（D2）43（D2）37（D2）47 A2（D1）37（D2）26（D3）17（D3）12（D3）16（D4）20（D4）24（D5）22

表5 初始解

3.2 第二次解。利用初始解，可以求出各木材倉儲中心候選地的通過量Z0j，進而求出C1ik。由于取p=0.5，所以木材倉儲中心單位量費用（變動費）按公式計算。各數(shù)據(jù)結(jié)果見表6和表7。

表6 木材倉儲中心通過量和變動費用

表7 最小運輸成本

表7 最小運輸成本

需材點伐區(qū)楞場A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8（D1）32（D1）25（D1）33（D3）40.5（D3）44.5（D4）55（D3）54.5（D4）59 A2（D1）52（D3）44.5（D3）32.5（D3）27.5（D3）31.5（D4）30（D4）34（D4）34

再對伐區(qū)楞場到需材點的所有組合，選擇運輸成本、配送成本與變動成本之和的最小值，對應的流動路線為最省路線，然后求解運輸問題，得到第二次解，見表8。

表8 第二次解

3.3 第三次解。利用第二次解，求出各木材倉儲中心候選地的通過量Z1j，進而求出C2ik。由于D2和D5沒有通過量，為了以后討論中除掉這兩個木材倉儲中心候選地，設(shè)D2和D5的變動費為無窮大，見表9。以此為基礎(chǔ)，對伐區(qū)楞場到需材點的所有組合，求出總成本最小值，然后求解運輸問題，得到第三次解，見表10和表11。

表9 木材倉儲中心第二次通過量和變動費用

表10 最小運輸成本

表10 最小運輸成本

需材點伐區(qū)楞場B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 A1 A2（D1）27.6（D1）47.6（D1）20.6（D1）40.6（D1）28.6（D3）32.5（D1）37.6（D3）27.5（D1）45.6（D3）31.5（D4）53.5（D4）28.5（D3）54.5（D4）32.5（D4）57.5（D4）32.5

表11 第三次解（最終解）

由于第三次解的通過量與第二次解的通過量相同，所以第三次解便是最終解。由最終解可以看出，在五個候選地中，選取D1,D3,D4三處設(shè)置木材倉儲中心為宜。

4 結(jié)論

木材倉儲中心的選址布局對木材物流系統(tǒng)的合理化和經(jīng)濟效益有重要影響。許多數(shù)量化、模型化的方法被加以應用并在實際中得到改進。計算較容易，可用物流總成本評價，目標是以最優(yōu)解木材倉儲中心的通過量，決定設(shè)施規(guī)模，可根據(jù)木材倉儲中心的變動費，考慮規(guī)模的經(jīng)濟性。本文在將鮑摩-瓦爾夫模型用于解決運輸費用和木材倉儲中心經(jīng)濟規(guī)模費用倉儲中心選址問題時，表面看來只考慮了經(jīng)濟效益，但是在經(jīng)濟效益中運輸成本是由眾多因素決定的，木材倉儲中心規(guī)模的影響在模型中也得到了體現(xiàn)，所以此方法比較綜合和客觀地反映了木材倉儲中心的合理位置。實例分析表明，該方法能方便直觀地解決選址問題，是求解此類問題的有效方法。

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