考慮投資收益和干擾因素的雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型

成軍祥 張艷

摘要：在常利率下考慮投資收益和干擾因素的雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，對(duì)單位時(shí)間內(nèi)收到的保單數(shù)和發(fā)生的理賠次數(shù)都服從二項(xiàng)分布的模型進(jìn)行研究，討論模型的調(diào)節(jié)系數(shù)，最終得到保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率表達(dá)式和Lundberg不等式，對(duì)于在利率不變的情況下研究保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率提供一定的理論依據(jù).

關(guān)鍵詞：雙二項(xiàng)；破產(chǎn)概率；調(diào)節(jié)系數(shù)；鞅論；布朗運(yùn)動(dòng)

中圖分類(lèi)號(hào)：F83

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672—3198（2014）21—0117—02

0引言

破產(chǎn)概率在保險(xiǎn)公司眾多數(shù)據(jù)中，可視為評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)大小的重要參數(shù)，因此學(xué)術(shù)界對(duì)其的研究也在持續(xù)升溫和發(fā)展.眾多學(xué)者為了建立更貼合實(shí)際情況的風(fēng)險(xiǎn)模型對(duì)經(jīng)典破產(chǎn)模型進(jìn)行更深入的研究，對(duì)其進(jìn)行大量的拓廣。在保險(xiǎn)公司的實(shí)際營(yíng)運(yùn)過(guò)程中，保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)者為降低破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，往往會(huì)將初始資本金和單位時(shí)間內(nèi)收到的保費(fèi)進(jìn)行整合用來(lái)作為其他投資的本金.本文在固定利率下，考慮隨機(jī)因素的干擾和投資對(duì)破產(chǎn)問(wèn)題的影響并且假設(shè)模型中保單數(shù)和索賠次數(shù)都是服從二項(xiàng)分布的，得到此模型的調(diào)節(jié)系數(shù)和破產(chǎn)概率。

1模型的建立

定義1：設(shè)u>0，c>0在給定的完備的概率空間（Ω，F(xiàn)，P），定義保險(xiǎn)公司在時(shí)刻n的盈余為：

U（n）=（u+cM（n））（1+i）+F（nj-i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）

其中，u表示保險(xiǎn)公司的初始資本金，c表示每張保單收取的保費(fèi)，u>0，c>0，u，c為常數(shù)，i表示固定的常數(shù)利率，j表示單位時(shí)間區(qū)間內(nèi)的投資收益率，M（n）表示在n>0時(shí)間內(nèi)收到的保單數(shù)，N（n）表示在（0，n]時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的總索賠次數(shù)，Xk表示第k次的索賠額，隨機(jī)因素的干擾為B（n）。

結(jié)合保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營(yíng)情況，對(duì)上述模型做以下假設(shè)：

（1）X={Xk，k≥1}的均值為μ，方差為δ，是取值在（0，+∞）上的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列；

（2）二項(xiàng)分布M={M（n），n≥0}是服從參數(shù)（n，p1）的；

（3）二項(xiàng)分布N={N（n），n≥0}是服從參數(shù)（n，p2）的；

（4）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)B={B（n），n≥0}，表示保險(xiǎn)公司各種不確定因素，例如保險(xiǎn)公司不穩(wěn)定的收入及各種隨時(shí)出現(xiàn)的付款，σ>0且為常數(shù)；

（5）假設(shè)X，M，N，B相互獨(dú)立；

（6）F是綜合考慮各項(xiàng)因素用于投資的金額，例如根據(jù)初始資本金的大小、單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi)以及預(yù)測(cè)將要產(chǎn)生的索賠額的大小而設(shè)定的。

記S（n）=cM（n）（1+i）+Fnj-∑N（n）k=1Xk+σB（n），則U（n）=u+（u-F）i+S（n）。

為保證保險(xiǎn)公司能夠正常經(jīng)營(yíng)不至于破產(chǎn)發(fā)生，結(jié)合模型，如果我們假定單位時(shí)間內(nèi)平均收益大于平均理賠，這在理論上我們可以認(rèn)為保險(xiǎn)公司破產(chǎn)不會(huì)發(fā)生.在考慮投資收益和固定利率的情況下，如果盈余為負(fù)那么我們理論上說(shuō)破產(chǎn)產(chǎn)生了，因此我們通常假設(shè)E[S（n）]>0.

定義破產(chǎn)時(shí)刻：T=inf{n：U（n）<0}，約定T=∞表示公司永不破產(chǎn)的概率為Pr（T=∞），定義破產(chǎn)概率：Ψ（u）=Pr（T<∞）。

2模型的相關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1盈余過(guò)程{U（n），n≥0}具有獨(dú)立平穩(wěn)增量性。

證明：令0≤n0≤n1≤…≤nk≤…，則

U（nm）-U（nm-1）=[（u+cM（nm））（1+i）+F（nmj-i）-∑N（nm）k=1Xk+σB（nm）]-[（u+cM（nm-1））（1+i）+F（nm-1j-i）-∑N（nm-1）k=1Xk-1+σB（nm-1）]=（M（nm）-M（nm-1））（1+i）+F（nm-nm-1）j-（∑N（nm）k=1Xk-∑N（nm-1）k=1Xk）+σ（B（nm）-B（nm-1））

由于

M（n2）-M（n1），M（n3）-M（n2），…，M（nk）-M（nk-1）

B（n2）-B（n1），B（n3）-B（n2），…，B（nk）-B（nk-1）

XN（n2）-XN（n1），XN（n3）-XN（n2），…，XN（nk）-XN（nk-1）

都是相互獨(dú)立的，所以U（nm）-U（nm-1）是相互獨(dú)立的，因此{(lán)U（n），n≥0}是獨(dú)立增量過(guò)程。所以得到{U（n），n≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性。

性質(zhì)2E[U（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2

證明：E[U（n）]=E[（u+cM（n））（1+i）+F（nj-i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）]=E[（u+cM（n））（1+i）]+E[F（nj-i）]-E[∑N（n）k=1Xk]+E[σB（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2

3主要結(jié)果

定理3.1對(duì)于保險(xiǎn)公司營(yíng)運(yùn)盈余總額{S（n），n≥0}，存在一個(gè)函數(shù)g（r），使得

E[exp（-rS（n））]=eng（r），并且方程g（r）=0內(nèi)存在唯一正解R，稱(chēng)為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明：

E[e-rS（n）]=E{exp[-r（cM（n）（1+i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）+Fnj]}=E{exp[-rc（1+i）M（n）]}·E[exp（-rFnj）]·E[exp（r∑N（n）k=1Xk）]·E[exp（-rσB（n））]=（p1e-rc（1+i）+q1）n·exp（-rFnj）·（p2MX（r）+q2）n·exp（12r2σ2n）=exp{nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n}

記

g（r）=nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n

則E[e-rS（n）]=eng（r），由于g（0）=0，

g′（r）=n-c（1+i）p1e-rc（1+i）p1e-rc（1+i）+q1+np2E（XerX）p2MX（r）+q2-Ftj+rσ2n，

g″（r）=n[c（1+i）]2p1q1e-rc（1+i）（p1e-rc（1+i）+q1）2+

np2E（X2erX）（p2MX（r）+q2）-p22E2（XerX）（p2MX（r）+q2）2+σ2n

并且根據(jù)施瓦茲不等式有：

p2E（X2erX）p2MX（r）≥p22E2（XerX）

曲線(xiàn)r>0是下凸的，g（r）具有唯一的極小點(diǎn)，所以方程g（r）=0有兩個(gè)解，其中r=0為平凡解.又g′（r）<0且當(dāng)r→∞時(shí)，g′（r）→∞，故方程g（r）=0一定存在一個(gè)非平凡解，即方程g（r）=0存在唯一正解R.

定理3.2對(duì)于考慮投資收益和帶干擾項(xiàng)的二項(xiàng)分布風(fēng)險(xiǎn)模型，{U（n），n≥0}最終破產(chǎn)概率為Ψ（u）=e-R[u+（u-F）i]E[e-RU（T）T<∞]其中R為調(diào)節(jié)系數(shù)，特別地Ψ（u）≤e-Ru.

證明：對(duì)于任意的n≥1和r>0有

E[e-rU（n）]=E[e-rU（n）|T≤n]Pr（T≤n）+E[e-rU（n）|T>n]Pr（T>n）（1）

由U（n）=u+（u-F）i+S（n），故

E[e-rU（n）]=E[e-ru-r（u-F）i-rS（n）]=E[e-ru-r（u-F）i]·E[e-rS（n）]=e-ru-r（u-F）i·exp{nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n}=exp{-ru-r（u-F）i+nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n}

記（1）式中等號(hào)右端第一項(xiàng)為I1，則，

U（n）=U（T）+[U（n）-U（T）]=U（T）+[S（n）-S（T）]，則對(duì)于給定的T，[S（n）-S（T）]與U（T）獨(dú)立，從而

I1=E[e-rU（n）T≤n]Pr（T≤n）=E[e-rU（T）+S（n）-S（T）T≤n]Pr（T≤n）（2）

=E[e-rU（T）·e-r（S（n）-S（T））T≤n]Pr（T≤n）=E{e-rU（T）·exp[（nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n）（n-T）]T≤n}Pr（T≤n）令r=R，則（1）、（2）可化簡(jiǎn)為

e-Ru=E[e-RU（n）|T≤n]Pr（T≤n）+E[e-RU（n）|T>n]Pr（T>n）

（3）

當(dāng)n→∞時(shí)，（3）式右端第一項(xiàng)變?yōu)镋[e-RU（n）T<∞]Pr（T<∞），如果能證明（3）式右端第二項(xiàng)（記為I2）在n→∞時(shí)趨于零，那么定理得證。

因?yàn)镋[U（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2

不妨設(shè)Var（X）有限，則

Var[U（n）]=c2（1+i）2np1q1+np2（q2μ2+δ2）+σ2n，記

α=c（1+i）p1-μp2，β2=c2（1+i）2p1q1+p2（q2μ2+δ2）+σ2，其中β>0，則

Var[U（n）]=β2n，由于α>0，考慮Λ=u（1+i）+F（j-i）+αn-βn23，只要n充分大，Λ>0，并且當(dāng)n→∞時(shí)，limn→∞{u（1+i）+F（j-i）+αn-βn23}=∞。

將（3）式中第二項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，有

E[e-RU（n）T≥n]Pr（T≥n）=E[e-RU（n）T≥n，0≤U（n）≤Λ]Pr（T≥n，0≤U（n）≤Λ）+E[e-RU（n）T≥n，U（n）>Λ]Pr（T≥n，U（n）>Λ）（4）

E[e-RU（n）T≥n]Pr（T≥n）≤Pr（0≤Un≤Λ）+e-RΛ，由切比雪夫不等式得

Pr（0≤U（n）≤Λ）=Pr{0≤U（n）≤E[U（n）-βn23]}≤Pr{U（n）-E[U（n）]≥βn23}≤Var[U（n）]（βn23）2=n_13

所以當(dāng)n→∞時(shí)，n-13→0，因此I2→0，所以在（3）式中令n→∞，有Ψ（u）=e-R[u+（u-F）i]E[e-RU（T）T<∞]

再根據(jù)U（T）<0，e-RU（T）>1，從而u≥0，有Ψ（u）≤e-R[u+（u-F）i]。

定理得證。

參考文獻(xiàn)

[1]伍亞，唐立.考慮利率因素的保險(xiǎn)破產(chǎn)模型研究[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2007，27（3）.

[2]高明美，趙明清，王建新.雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2004，21（1）：69.

[3]馬翀，楊善朝.雙二項(xiàng)模型下的破產(chǎn)概率研究[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，22（3）：3539.

[4]趙飛，王漢興.雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，（18）.

[5]管偉青，牛銘.常利率下帶投資和干擾風(fēng)險(xiǎn)模型[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，（01）.

[6]趙金娥，曾黎.隨機(jī)投資收益率下雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].紅河學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，（4）.