彈簧振動(dòng)周期研究

邱偉

摘 要：該文先通過(guò)對(duì)彈簧質(zhì)量被忽略和不被忽略兩種情況的研究得出彈簧周期的理論公式，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)（彈簧質(zhì)量小于振子質(zhì)量）計(jì)算出m前的系數(shù)約為0.3～0.35，與理論值相符。實(shí)際彈簧振子的運(yùn)動(dòng)并不是總是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它只有在其他級(jí)別（n>1）的振動(dòng)可以忽略的情況下，才能將彈簧的運(yùn)動(dòng)看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其他情況的振動(dòng)的強(qiáng)弱取決于彈簧質(zhì)量與彈簧振子質(zhì)量的比值。

關(guān)鍵詞：彈簧質(zhì)量 彈簧振子 周期

中圖分類號(hào)：I206.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）09（a）-0207-04

在彈簧質(zhì)量不可以忽略時(shí)對(duì)彈簧振子周期的影響，有大批人士從不同角度加以研究[1-10]，他們將彈簧視作質(zhì)量均勻的介質(zhì)，或利用波動(dòng)方程[1-2]，或?qū)椈煽醋饕幌盗须x散化的小的彈簧振子進(jìn)行研究[6-7]。在相同相位，且振幅和平衡位置成正比的情況下都得出彈簧振子周期T=，k為彈簧勁度系數(shù)，M為彈簧振子質(zhì)量，m為彈簧質(zhì)量，附加到彈簧振子的m/3叫彈簧的有效質(zhì)量。我們是否也可以猜測(cè)彈簧振子的振動(dòng)模式存在差異？各種模式的振動(dòng)頻率之間也都不成有理數(shù)的倍數(shù)關(guān)系[8]？文獻(xiàn)[9]對(duì)彈簧質(zhì)量m/3修正的問(wèn)題存在異議，有的認(rèn)為1/3僅僅是0.346的近似值。文獻(xiàn)[3]采用最優(yōu)化及多元線性回歸，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得。文獻(xiàn)[4]依據(jù)能量分析方法得出有效質(zhì)量應(yīng)該介于m/3～m/2之間，同時(shí)引入有效彈性常量介于之間。文獻(xiàn)[1，2，7]指出存在無(wú)窮多的振子，其滿足。本文分別探究了不考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，和考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，這兩種情況下產(chǎn)生的差異以及影響，同時(shí)還進(jìn)一步分析了實(shí)際彈簧振子周期和理論值得差異，更完善的研究了彈簧振子的振動(dòng)規(guī)律。

1 未考慮彈簧質(zhì)量（理想彈簧）的彈簧振子周期

如圖1所示，當(dāng)未考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，彈簧的原長(zhǎng)為，末端系一個(gè)質(zhì)量為振動(dòng)物體。假設(shè)水平面是光滑的，沒(méi)有摩擦，彈簧和振動(dòng)物體在放在水平面上，物體受到的力是回復(fù)力，物體做往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中忽略空氣摩擦阻力的影響。在下圖中：①圖彈簧未伸長(zhǎng)，靜止在水平面上，物體受力。②圖彈簧向右運(yùn)動(dòng)，彈簧伸長(zhǎng)x，物體受力為。③圖彈簧未伸長(zhǎng)靜止在水平面上，物體受力。④圖彈簧向左運(yùn)動(dòng)，被壓縮x，物體受力。其中負(fù)號(hào)（-）表示物體受力與運(yùn)動(dòng)方向相反。選彈簧運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期為研究條件。在一個(gè)周期中，如果彈簧所受的力超過(guò)了彈簧的最大的承受力，彈簧將受到損壞，將失去它的周期性能。因此在做研究時(shí)，要保證彈簧所受的力在正常范圍內(nèi)，這也是保證研究結(jié)果能正確的一個(gè)先決條件。對(duì)于物體，當(dāng)彈簧所受的力在正常范圍內(nèi)時(shí)，由牛頓第一定律可知，式⑴其中為彈簧的勁度系數(shù)。我們將⑴式轉(zhuǎn)化一下，用除⑴式，設(shè)，和都一定時(shí)，對(duì)于彈簧振子來(lái)說(shuō)，為常數(shù)，所以⑴式可以改寫為式⑵，⑵式為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征根為解特征根方程得到：第一個(gè)解為，第二個(gè)解為。則⑵式的通解為：令則通解變?yōu)椋?/p>

，為初相，A為振幅。又根據(jù)正弦函數(shù)的周期性得：和的運(yùn)動(dòng)形式完全一樣。而和即在t時(shí)刻和時(shí)刻，振子的運(yùn)動(dòng)是一樣的。所以是振動(dòng)周期，用T來(lái)表示T=因?yàn)樗?，⑶，⑶式就是在不考慮彈簧質(zhì)量的情況下得出的彈簧振子周期公式（圖1）。

2 考慮彈簧質(zhì)量后彈簧振子的周期

如圖2所示，假設(shè)彈簧質(zhì)量為，彈簧的自然長(zhǎng)度為，物體任然在水平面上振動(dòng)。彈簧是均勻的其質(zhì)量也是均勻分布的。假設(shè)任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為s，（0≤s≤l）。

假設(shè)到d之間有一個(gè)彈簧元，它的質(zhì)量是：如果彈簧振子產(chǎn)生了一個(gè)的位移，dM也將發(fā)生一個(gè)位移。如果把dM的位移和的位移相比，很容易得到dM的位移遠(yuǎn)小于的結(jié)果（其中的位移對(duì)應(yīng)的是整個(gè)彈簧的伸長(zhǎng)量，dM的位移只是對(duì)應(yīng)彈簧中任一點(diǎn)到o點(diǎn)的伸長(zhǎng)量）。又因?yàn)?≤s≤l，所以dM的位移必然小于的位移。為了簡(jiǎn)單合理的計(jì)算出dM的位移，我們假定彈簧各部分所發(fā)生的位移與它們到固定點(diǎn)o的距離成正比。則dM發(fā)生的位移當(dāng)時(shí)，，即為位移；當(dāng)時(shí)，，即為固定點(diǎn)所在位置；顯然是符合的。下面我們計(jì)算dM這一小段彈簧元的動(dòng)能：將上式兩邊

積分，右邊只對(duì)積分，其余看作常數(shù)，便可使彈簧在任意給定時(shí)刻的總動(dòng)能為：其系統(tǒng)的總

能量為：

即：式⑷，式，為彈簧振子的彈性勢(shì)能。⑷式和忽略彈簧質(zhì)量時(shí)的能量表達(dá)式一樣。未考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)的能量表達(dá)式為：式⑸，而其微分式為：周期是：對(duì)比分析，我們可以得到，考慮彈簧質(zhì)量后的運(yùn)動(dòng)微分式：式⑹，將除⑹式兩邊，并設(shè)，k和都一定時(shí)，對(duì)于彈簧振子來(lái)說(shuō)，為常數(shù)，所以⑴式可以改寫為式⑺，⑺式為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征根為解特征根方程得到：第一個(gè)解為，第二個(gè)解為。

⑺式的通解為： 令則通解變即

，為初相，A為振幅。又根據(jù)正弦函數(shù)的周期性得：和的運(yùn)動(dòng)形式完全樣，而和即在t時(shí)刻和時(shí)刻振子的運(yùn)動(dòng)是一樣的。振動(dòng)周期因?yàn)樗砸虼耸舰碳词舰陀纱说贸隹紤]了彈簧質(zhì)量后的彈簧振子周期公式。其值大于未考慮彈簧質(zhì)量時(shí)的周期。這個(gè)公式我們也可以看成是在的基礎(chǔ)上加上后得出來(lái)的周期公式。

3 雷利法進(jìn)一步論證

前面已經(jīng)求證出不忽略彈簧質(zhì)量時(shí)的振子周期公式，為了使結(jié)論具有更可靠性，我們可以利用雷利法再次論證一下，驗(yàn)證一下結(jié)果是否同樣。我們把彈簧看作是均勻的彈性桿，同時(shí)只有縱向振動(dòng)。設(shè)彈簧長(zhǎng)為L(zhǎng)，橫截面積為S，其質(zhì)量為m，在振幅不怎么大的情況下，其密度可以表示為當(dāng)有外力時(shí)，彈簧受力，

伸長(zhǎng)，可以算的勁度系數(shù)：。又根據(jù)楊氏模量E的定義：，將式帶入式可以得到，。彈性桿做縱向運(yùn)動(dòng)時(shí)，其波動(dòng)方程可以表示為，如（圖3）：

E為楊氏模量，為彈簧密度，x為彈簧上一點(diǎn)到原點(diǎn)y的位移。根據(jù)前面的密度表達(dá)式，可以將波動(dòng)方程化為：其中現(xiàn)在考慮邊界條件，當(dāng)彈簧沒(méi)有位移時(shí)得到一個(gè)邊界條件⑴由于M的運(yùn)動(dòng)由彈簧的彈性力決定，依據(jù)牛頓第二定律： 消

去E后可以得到另外一個(gè)邊界條件：⑵時(shí)，，采用

分離變量法可以解滿足以上兩個(gè)邊界條件的波動(dòng)方程。令，將波動(dòng)方程化，它們

等于一個(gè)與和無(wú)關(guān)的常數(shù)。即：，可以

將這個(gè)方程化為兩方程。①和②解①和②得和

，將和帶入波動(dòng)方程可以解根據(jù)邊界條

件⑴得，

進(jìn)而推出

再根據(jù)邊界條件⑵

帶入式，依據(jù)此式得到：，其中，又可以化為這是一個(gè)超越方程，可以用如（圖4）求解。

圖中標(biāo)出的是的前三個(gè)解，假如<，用級(jí)數(shù)展開(kāi)的右邊解。在時(shí)。

取前面兩項(xiàng)得

，從這個(gè)式子我們可以得到，，進(jìn)而，所以彈簧振子周期為，得出的結(jié)果和前面討論的一樣。下表是對(duì)不同的值，式所引起的誤差（表1）。

4 實(shí)際彈簧振子的周期

如果彈簧的長(zhǎng)度比較長(zhǎng)，而且質(zhì)量和彈簧振子的質(zhì)量相差不多。在這種情況下，對(duì)彈簧的周期性研究變得更復(fù)雜了。此時(shí)，彈簧的變化并非是呈線性變化，要解決實(shí)際彈簧振子的周期可以借助彈簧的縱波解來(lái)輔助研究。根據(jù)縱波的傳播方程，我們可以得到考慮彈簧質(zhì)量時(shí)運(yùn)動(dòng)方程實(shí)際上是由多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的，其運(yùn)動(dòng)方程如下：其中，，

，n=1，2，3，4，5……是超越方程的根，是彈簧的原長(zhǎng)，M是彈簧振子的質(zhì)量，m是彈簧的質(zhì)量。由此結(jié)論，可以得出彈簧振子的運(yùn)動(dòng)并不是總是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它只有在其他級(jí)別（n>1）的振動(dòng)可以忽略的情況下，才能將彈簧的運(yùn)動(dòng)看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其他情況的振動(dòng)的強(qiáng)弱取決于彈簧質(zhì)量與彈簧振子質(zhì)量的比值。例如，可以求得第一級(jí)振動(dòng)的振幅是第二級(jí)的約5000倍，更遠(yuǎn)大于第三極等更高級(jí)的振動(dòng)，所以這時(shí)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可近似看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，此時(shí)彈簧振子的周期為彈簧的質(zhì)量折算為彈簧振子的等效質(zhì)量0.3 m。當(dāng)時(shí)，第一級(jí)的振動(dòng)的振幅是第二級(jí)的約80倍，第一級(jí)振動(dòng)還是遠(yuǎn)大于其他級(jí)振動(dòng)，因此，還可以當(dāng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，此時(shí)周期為即，彈簧的質(zhì)量折算為彈簧振子的等效質(zhì)量為0.35 m。

5 討論

為了驗(yàn)證實(shí)際中的彈簧振子周期m的系數(shù)通常是否約為0.30～0.35，我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以證得。我們做了一個(gè)豎直振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，如下圖的力傳感器：M=20 g，取為彈簧振子質(zhì)量，k=2 N/m，取為彈簧的勁度系數(shù)（表1、2）。

在（圖5）中，將力傳感器系于彈簧上。傳感器將根據(jù)彈簧上下振動(dòng)的振幅，測(cè)得力后，將數(shù)據(jù)傳給計(jì)算機(jī)。經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算后，得到彈簧振子的周期。

在上面的兩個(gè)表中，在彈簧質(zhì)量和勁度系數(shù)不變的情況下，我們測(cè)得了實(shí)驗(yàn)周期的最小值和最大值。根據(jù)周期公式其中n為m的系數(shù)。將實(shí)驗(yàn)測(cè)得的兩表中的周期T，彈簧振子質(zhì)量M，彈簧質(zhì)量m，勁度系數(shù)k，代入公式，計(jì)算后分別得出表一的n約為0.294，表二中n約為0.346。雖然實(shí)驗(yàn)過(guò)程中存在一些誤差，但這些誤差是不可避免的。我們可以看出n的值非常接近0.3和0.35。這說(shuō)明我們的理論推論是正確的。

6 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于彈簧振子的周期研究，當(dāng)不考慮彈簧的質(zhì)量時(shí)得出的周期公式②當(dāng)計(jì)及彈簧質(zhì)量時(shí)的周期公式是 。第一種情況只有在M很大遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)m時(shí)，m可以忽略時(shí)才可以使用。而第二種情況則是在M和m相差不大，m不可以忽略的情況下使用，我們可以把這種情況看作是在M的基礎(chǔ)上加上m/3。當(dāng)然這兩種情況都把空氣摩擦、材料因素等次要因素都忽略了。在實(shí)際中，在彈簧質(zhì)量不可忽略的情況下彈簧振子周期公式中m前的系數(shù)n約在0.30～0.35之間而不是1/3。這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)時(shí)存在空氣摩擦阻力等因素的影響而不同。

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