對(duì)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法的教學(xué)改進(jìn)

肖海霞

摘 要 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)。針對(duì)教學(xué)過(guò)程中學(xué)生出現(xiàn)的問題，分析了其原因，提出了新的教學(xué)思路，經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)新的教學(xué)思路能有效地提高學(xué)生解題的正確率，化解學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞 參數(shù)方程 求導(dǎo)法 高階導(dǎo)數(shù) 教學(xué)思路

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，學(xué)生能否掌握一元函數(shù)的求導(dǎo)直接影響到后面知識(shí)的學(xué)習(xí)。由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，特別是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，學(xué)生學(xué)起來(lái)普遍感到困難，做題時(shí)，往往容易犯錯(cuò)。筆者結(jié)合自己多年來(lái)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談一談對(duì)這一部分內(nèi)容的教學(xué)改進(jìn)。

1 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

如果參數(shù)方程

（1）

確定與間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程（1）所確定的函數(shù)。

對(duì)于由參數(shù)方程所確定的函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)的求法，大多數(shù)常用的《高等數(shù)學(xué)》教材①②中采用如下的處理方式：

設(shè)參數(shù)方程（1）確定函數(shù) = （），且（），（）在（）上可導(dǎo)，（）≠0，函數(shù) = （）具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù) = （），且此反函數(shù)能與 = （）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么由參數(shù)方程（1）所確定的函數(shù)可以看成由 = （）， = （）復(fù)合而成的函數(shù)。利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，就有

2 原有的教學(xué)思路

在以前的教學(xué)中，通常采用如下的教學(xué)思路：首先講解一階求導(dǎo)公式（2）的推導(dǎo)過(guò)程，然后求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)一再?gòu)?qiáng)調(diào)是對(duì)求導(dǎo)，所以求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，仍需利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，先對(duì)求導(dǎo)再乘以對(duì)的導(dǎo)數(shù)，即

= （）= （）·

從而推導(dǎo)出公式二階求導(dǎo)公示（3）。按照這樣的思路講解后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)掌握得還可以，但求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)總?cè)菀壮霈F(xiàn)下列的錯(cuò)誤解法。

例1 設(shè)確定是的函數(shù)。求，。

有些學(xué)生的解答如下：

很顯然，上述解答中二階導(dǎo)數(shù)求解是錯(cuò)的，正確的解答應(yīng)該為

通過(guò)作業(yè)發(fā)現(xiàn)，犯這種錯(cuò)誤的學(xué)生還比較多。細(xì)究其中的原因發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)前面剛學(xué)習(xí)的復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則掌握欠佳，這樣直接導(dǎo)致對(duì)求導(dǎo)公式（2），（3）的推導(dǎo)不理解。但因?yàn)橐浑A導(dǎo)數(shù)有簡(jiǎn)潔的求導(dǎo)公式（2），學(xué)生容易記住。盡管有的學(xué)生可能一時(shí)還不理解公式（2）的由來(lái)。但只要記住了公式，就能求出一階導(dǎo)數(shù)。而求二階導(dǎo)數(shù)雖然有公式（3），但比較復(fù)雜，不易理解。而且學(xué)生只是認(rèn)為求二階導(dǎo)數(shù)就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)，卻忽略了對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)的問題，從而導(dǎo)致了求二階導(dǎo)數(shù)的錯(cuò)誤做法。

3 新的教學(xué)思路

在發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的問題并對(duì)其原因進(jìn)行分析后，決定改進(jìn)以前的教學(xué)思路，采取如下的教學(xué)過(guò)程：

第一步，仔細(xì)講解一階求導(dǎo)公式（2）的推導(dǎo)過(guò)程，并選幾個(gè)例題讓學(xué)生熟悉并牢記一階求導(dǎo)公式（2）；

第二步，引導(dǎo)學(xué)生明白既然是的函數(shù)，那么它的一階導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該仍是的函數(shù)。但從前面的例題的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)中的變量仍為，比如例題1中 = 。事實(shí)上，一階導(dǎo)數(shù)仍是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，所以，應(yīng)該表示為

（4）

第三步，既然一階導(dǎo)數(shù)是由參數(shù)方程（4）所確定的函數(shù)，而求二階導(dǎo)數(shù)就是一階導(dǎo)數(shù)再對(duì)求導(dǎo)。故只需要再一次使用由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階求導(dǎo)公式（2），便可得到二階求導(dǎo)公式，

= （）=

即 = （5）

公式（5）就是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階求導(dǎo)公式，與其一階求導(dǎo)公式在形式上是一致的。

例2 設(shè)確定是的函數(shù)。求。

解： = = =

因?yàn)槿匀皇菂?shù)方程，故

= = = =

按照這種方式講解以后，學(xué)生就很少犯例題1解答中那樣的錯(cuò)誤。而且這樣講解的好處是不僅使二階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)變得簡(jiǎn)單直觀、容易理解， 而且對(duì)于更高階導(dǎo)數(shù)也是如此。

與二階求導(dǎo)公式類似，我們有

=

例3 在例題2中，求。

解： =

=

=

=

從以上可以看出，在新的教學(xué)思路下，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法變得很直觀。只要理解和記住了一階求導(dǎo)公式，那么求任意階導(dǎo)數(shù)都迎刃而解。

4 結(jié)論

原有的教學(xué)方法，在求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，部分學(xué)生很難理解，做題時(shí)容易易犯錯(cuò)。自從采用新的教學(xué)方法后。從上課時(shí)學(xué)生的表情上就可以看出學(xué)生容易理解，而且做題時(shí)不易犯錯(cuò)。解決了學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，為后繼課程的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。