問答之間體驗矩陣分解理論的教育價值

陳建華　王敏　朱艷鴻　張慧

摘 要 本文是大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目課題組成員幾次討論過程的真實記錄。從內(nèi)容上看，探索了矩陣分解理論對線性代數(shù)課程內(nèi)容的理解、方法的掌握等方面的作用。從形式上看，表明大學生科技創(chuàng)新項目的實施可以根據(jù)專業(yè)特點以多種形式開展。

關鍵詞 矩陣分解 可逆矩陣 正定矩陣 大學生科技創(chuàng)新

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A

矩陣分解是指根據(jù)一定的原理將一個矩陣分解成若干個矩陣的乘積。任北上，劉君偉等探究了線性代數(shù)的數(shù)學思想在矩陣分解中的應用及實現(xiàn)，①王巖，王世炎等通過例題闡述了矩陣乘積分解、矩陣和分解的簡單應用，②③本文探索“矩陣分解在線性代數(shù)課程學習中的應用。作為大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目，在研讀矩陣分解理論基礎上，課題研究的開展是根據(jù)師范生的特點，采用了即席討論交流方式，嘗試讓學生問答間展現(xiàn)思維過程，體驗矩陣分解理論的教育價值。

討論中，學生們展現(xiàn)的敏捷、輕松、好學，讓筆者對大學數(shù)學教學增添了幾分樂觀?，F(xiàn)模仿余秋雨先生《北大授課（中華文化四十七講）》呈現(xiàn)的方式，擷取幾個片段，與同行交流。

1 引申知識的理解

引申主要是指事物內(nèi)涵、意義的拓展和延伸。引申知識即為隱含在表面知識后面的深層知識。在教與學的過程中，人們都意識到引申知識的學習需要理解化狀態(tài)作鋪墊。我們所要做的就是借用矩陣分解理論來轉化線性代數(shù)課程中一些知識的狀態(tài)，使之易于掌握。

1.1 矩陣的等價、相似和合同的理解

陳建華：我們已經(jīng)學習了矩陣的三角分解、滿秩分解、分解和（奇異值）分解等。④⑤今天我們運用它對矩陣的等價、相似、合同理論進行高觀點分析，從中體會線性代數(shù)課程的核心思想。誰先從矩陣分解的角度談談對矩陣等價理論的理解。

王敏：矩陣等價理論的核心是等價標準形定理，從矩陣分解的角度理解就是秩為的矩陣，可以表示為三個矩陣的乘積，即，其中是兩可逆矩陣，另一個矩陣的秩為。如果階矩陣的秩為，就是可逆矩陣可以寫成若干初等矩陣的乘積，這里矩陣分解的思想隱含其中。

陳建華：這種分解通常被稱為矩陣的等價分解。聯(lián)系初等矩陣與初等變換的關系，我們曾經(jīng)用矩陣的初等變換解決矩陣求逆、矩陣方程求解等許多問題。反過來，我們能從矩陣的等價標準型得到矩陣的滿秩分解嗎？

朱艷鴻：（板書）對于秩為的矩陣，則由等價分解，有，其中， = （ ）分別為列滿秩矩陣和行滿秩矩陣。

陳建華：好的，再想一想，如果矩陣 = ，且矩陣的秩都是，那么，矩陣的秩為嗎？能證明你的結論嗎？

張慧：我想矩陣的秩應該為吧？！事實上，一方面，（）≤{（），（）}= ；另一方面，由矩陣秩Sylvester不等式有（）≥（） + （） = ，故矩陣的秩一定為。

陳建華：關于矩陣的秩，我們曾經(jīng)用分塊矩陣、向量組的線性表示等手段證明了許多重要結論?，F(xiàn)在請思考如何利用矩陣的滿秩分解來給出不等式（ + ）≤（） + （）的證明。

王敏：讓我來試一試。（板書）設有滿秩分解 = ， = ，則有，故（ + ）≤（ ）≤（） + （） = （） + （）。

朱艷鴻： 老師，我感到用矩陣的滿秩方法證明該不等式思路清晰，與以往證明方法比較，現(xiàn)在簡潔多了。

陳建華：說得極是。從剛才的討論，我們不難感受到矩陣分解理論和線性代數(shù)基本結論的交錯作用帶來的思考問題的愉悅。從知識掌握的角度看，這樣的分析從對矩陣等價理論“是什么”的揭示，提升到“為什么”的理解，為實現(xiàn)矩陣等價理論的類化、系統(tǒng)化打下了基礎。關于矩陣的相似和合同關系理論，從矩陣分解的視角大家有哪些思考？

張慧：兩個矩陣相似，即存在可逆矩陣使得 = ，這樣矩陣就是三個矩陣的乘積，這也可以理解為矩陣的一種“分解”。

陳建華：在線性代數(shù)學習中，這種分解有什么作用呢？

張慧：對于兩矩陣相似，存在可逆矩陣使得 = ，當是對角形矩陣時，計算矩陣的高次冪就很容易。這一點在討論有關線性模型時它很有用。

陳建華：請注意，矩陣相似對角化是有條件的。如果矩陣不能對角化，你還知道些什么？

張慧：如果矩陣不能對角化，那么它可以相似于若爾當（Jordan）標準形矩陣，它的方冪也比較容易計算。

陳建華：不過要注意若爾當標準形定理是在復數(shù)域上成立。人們將它叫做矩陣的若爾當分解。朱艷鴻，你來談談對矩陣合同關系的思考吧。

朱艷鴻：矩陣合同，也可以用三個矩陣相乘來表示另一個矩陣，這其中我們要注意這種分解不是唯一的，矩陣的等分解，相似分解也一樣。對于矩陣合同關系的討論，我們教材都是針對對稱矩陣來進行的。

1.2 正定矩陣、可逆矩陣的理解

陳建華：線性代數(shù)課程中，有許多概念有較大的引申空間，我選擇了正定矩陣、可逆矩陣兩概念作為今天討論的對象。對于這兩個概念，我們曾經(jīng)給出了較多的刻畫。比如，階實對稱矩陣是正定矩陣的充分必要條件有：（1）與單位矩陣合同；（2）的特征值全大于零；（3）的正慣性指數(shù)為；（4）的各階順序主子式全大于零；（5）存在可逆矩陣，使得 = 等。請借助于矩陣分解理論，做進一步討論。

朱艷鴻：剛才您講的等價條件（5）實際上就是正定矩陣的一種分解。而條件（2）是正定矩陣有分解形式 = （，，…，），其中是正交矩陣，，，…，是的正特征值。

王敏：利用可逆矩陣的分解和等價條件（5），我可以獲得正定矩陣的另一個等價條件：（6） = ，其中是可逆上三角形矩陣（實際上具有正主對角元）。

陳建華：會證明嗎？結論證明的關鍵是什么？

王敏：會的。證明的關鍵是分解中的是正交矩陣。

張慧：按照這個思路，我也能給出正定矩陣的又一個等價條件：（7） = ， 是正定矩陣，是正整數(shù)。

陳建華：很好。實際上，我們還可以證明，當取定后，矩陣存在且唯一。如果 = 2，則 = ，常被稱為正定矩陣的平方分解。通過討論，對正定矩陣有了更為深刻的認識。同樣對于可逆矩陣，我們已經(jīng)知道若干等價條件，它們對“可逆矩陣”的特征分析、綜合辨認和應用都很好，請聯(lián)系矩陣分解來展開進一步的討論。

王敏：可逆矩陣等于若干個初等矩陣的乘積就是一種分解，只不過這種分解不唯一，它是初等行變換方法求逆矩陣的核心原理。在實數(shù)范圍內(nèi)，由矩陣的分解，矩陣可逆，則有矩陣 = ，其中是正交矩陣，是主對角元大于零的上三角形矩陣，且這種分解唯一，也是可逆矩陣的一種刻畫。

朱艷鴻：借助于矩陣的奇異值分解，對于實數(shù)域上的可逆矩陣，存在正交矩陣使得 = （，，…），其中，，…是矩陣的奇異值。

張慧：如果考慮正定矩陣的性質，我們還能得到實可逆矩陣的一種刻畫：任意一個實可逆矩陣可以分解為正交矩陣與正定矩陣之積，并且分解是唯一的。這個結論的證明也是簡潔有趣的。

陳建華：太棒了，大家一口氣就給出了實可逆矩陣的三種新的刻畫。通過上述討論，我們對矩陣的等價、相似、合同理論、正定矩陣和可逆矩陣有了新的認識。

2 解題策略的獲得

2.1 矩陣積分解的運用

陳建華：很高興，在上次討論中，大家發(fā)表了很多高質量的意見。今天，我們交流學習矩陣理論在線性代數(shù)課程解題實踐中作用的體會，請圍繞具體問題來交流。

朱艷鴻：在反思線性代數(shù)解題中，確實有些解法當時是靠記憶的，現(xiàn)在看來其實隱含著矩陣分解的思想。

陳建華：能舉個具體的例子嗎？

朱艷鴻：好吧，我嘗試舉一個例子，請老師指教。題目：設 + 是可逆矩陣，證明 + 是可逆矩陣，并求其逆矩陣。該題的解法是 + 轉化為三個可逆矩陣的乘積： + = （ + ），再利用 + 是可逆矩陣求解。

陳建華：對的，我想讓大家思考的就是這類問題。這里解題思路是“和化積”，將待證矩陣分解成已知可逆矩陣的積。

王敏：老師，在學習中，我思考過一個問題，但沒有證出來。題目：一個階復數(shù)矩陣與它的轉置矩陣有相同的行列式因子、不變因子和初等因子，有相同的若爾當標準形，所以它們應該是相似的。一直以來，總是感到結論很抽象，嘗試用您說過的若爾當分解來找到實現(xiàn)它們相似的可逆矩陣。具體地，因為存在可逆矩陣使得 = = ，所以是其中一個，但我對此不是很滿意，因為是的轉置矩陣，所以上述矩陣之間應該有聯(lián)系，能給出來嗎？

陳建華：很好，“與相似”本身是很有趣的，而“尋找之間的聯(lián)系”這個問題提得更好！之間的聯(lián)系有，且能用矩陣的乘法運算表示出來。設可逆矩陣使得 = = （（），…，（）），其中，…，是矩陣的個不同的特征值，則有 = ，我們只要給出與之間的關系就可以了。這樣，問題的關鍵轉化為找出若爾當塊（）與其轉置矩陣之間的關系，類比初等對換矩陣的性質，我們可以嘗試考慮矩陣：，不難發(fā)現(xiàn) = = ，如果令 = （，…），則有 = ， = ，從而有 = = = = （），實際上，是實現(xiàn)與相似的可逆矩陣。

朱艷鴻：太好了，終于找到了！看來關于矩陣分解過程中的運算技巧的掌握，我還需要提高。

陳建華：我們在思考問題時要有所謂的“正面歸向”，比如說剛才討論中，“尋找與之間的關系”和“（）與之間的關系”就是問題解決的“正面歸向”。這很重要，這就像我們架舟于海上，有目標就是航行，而沒有目標就是漂泊。

2.2 矩陣和分解的運用

張慧：老師，我在學習的過程中，還遇到過將一個矩陣分解成若干個矩陣的和的形式，如一個階方陣可以表示成對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和；秩等于的對稱矩陣可以表示成個秩等于1的對稱矩陣的和等。您能談談這種分解嗎？

陳建華：這正是我準備與大家討論的另一個話題。矩陣理論中通常討論矩陣的乘積分解，但和分解也有重要的價值。比如，利用和分解可以得到正定矩陣的一個刻畫：矩陣為階正定矩陣的充分必要條件是它存在個線性無關的特征向量，，…，，使得 = + + … + ，就有很重要的應用。再舉個例子吧，像循環(huán)行列式的計算，⑥ = （） （）… （），其中 （） = + + … ，，，…是所有的次單位根。

朱艷鴻：記得，不過當時好像要構造了一個范德蒙（Vandermonde）行列式，是很難想到的。

陳建華：是的，許多資料介紹的方法是構造輔助行列式，利用行列式乘法規(guī)則，把演變成（1）（）…（），即（）（）…（），這里選取輔助行列式在證明過程中發(fā)揮了很大的作用。⑦但是如何想到它的呢？像一個飛來之石。仔細想一想，如果我們抓住循環(huán)行列式的本質，思考如何才能讓矩陣每行的元素由上而下，逐行依次向前移，能否用矩陣相乘來實現(xiàn)“循環(huán)”呢？就會柳暗花明。記矩陣是對應于的循環(huán)矩陣，令（基礎循環(huán)矩陣），其中是階單位矩陣，則有， （ = 1，2，）， = ，進而有和分解 = + + … + 。這里分解式傳達了一種信號，行列式的計算能轉化為求矩陣的全體特征值。事實上，矩陣的特征多項式為（） = ，容易獲得它的特征值，從而，矩陣的特征值是（），（），…（），故等式自然成立，這就是“飛來之石”的來源。

3 反思與啟示

本課題研究中，我們將線性代數(shù)課程相關知識與矩陣分解理論有機結合起來，利用“矩陣分解理論”理解線性代數(shù)課程的內(nèi)容和核心思想，強勁地推動線性代數(shù)知識的重構，在揭示“矩陣分解”在線性代數(shù)學習中的教育價值的同時，也為學習線性代數(shù)提供一個新的視角。由于研究的載體為線性代數(shù)課程中的具體問題，課題研究獲得的解題案例是課程學習的重要資源。本課題研究的目的指向數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的新視角。通過具體數(shù)學問題，在師生問與答的來往之間顯現(xiàn)問題的本質、思維的取向，讓學生體會矩陣分解理論在線性代數(shù)學習中的滲透，在多角度探索解決問題的過程中提高師范生合作能力和收集運用各種信息的能力，這當然是教師職前教育的重要組成部分。