利用simpson積分公式計算曲面表面積

夏軍劍++張新巍++李維偉

摘 要：二重積分的數(shù)值算法比較常見，但求高精度曲面面積的數(shù)值算法幾乎沒有。本文利用simpson積分公式推導(dǎo)了二階simpson積分公式，并結(jié)合三點數(shù)值微分計算公式建立了一種高效的計算曲面面積的數(shù)值計算公式。通過matlab實驗仿真，結(jié)果證明本文的方法有4階的精度而傳統(tǒng)的方法只有2階的精度。不足之處就是計算公式比較復(fù)雜，算法的運算效率稍低，但是在相同的精度下，運算時間還是較傳統(tǒng)方法少，所以方法的實用性很強。

關(guān)鍵詞：曲面面積 數(shù)值計算 數(shù)值微分 積分

中圖分類號：O172 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（b）-0238-02

在計算地形表面時，由于地面高低起伏不定，是一個不規(guī)則的曲面，因此我們想通過數(shù)學(xué)軟件擬合出一個函數(shù)來近似是不可能的。但是，在其局部區(qū)域，地面相對平整，可以認(rèn)為是平面或者二次曲面，可以通過對局部曲面面積的計算得到整個區(qū)域的表面積。對表面積的計算我們有許多建立在數(shù)值上的近似的方法。[1～2]由于上述模型的建立是基于多網(wǎng)格化下小區(qū)域內(nèi)曲面積近似等于平面面積，因此計算結(jié)果存在一定誤差，且計算精度不易分析。為了減小誤差，提高精度，我們把數(shù)值分析中計算定積分的Simpson公式推廣到二重積分上，建立計算表面積的數(shù)值計算公式。

1 二重積分的復(fù)化Simpson積分公式

把Simpson公式推廣應(yīng)用到二重積分上，設(shè)在上有連續(xù)的4階偏導(dǎo)數(shù)，我們得到：

二重積分Simpson公式需要用到9個節(jié)點。所以，我們把積分區(qū)域劃分成的方格，取如圖1四個方格共有9個節(jié)點組成一個大方格，于是：

2 曲面數(shù)值積分公式

已知曲面方程為，那么曲面面積為：

函數(shù)使用三點數(shù)值微分公式來近似代替偏導(dǎo)數(shù)[4]，有：

3 算例分析

例 曲面函數(shù)在矩形區(qū)域內(nèi)的表面積。

其表面積計算的精確值為：

在相同的分割網(wǎng)格下，數(shù)值計算結(jié)果如表1。

4 結(jié)論

通過實驗可知基于本文的方法求解面積算法的誤差是，而傳統(tǒng)的“三角形法”誤差是，因此本文的算法遠好于三角形法。雖然它的計算公式比較復(fù)雜，計算效率不高，但是在要求相同精度的條件下，它的計算時間是還是比“三角形法”少的多。由此可以看出本算法需要信息點少，精度較好，運算速度快，具有較大的實用價值。

參考文獻

[1] 肖澤昌，杜躍鵬.帶端點3階導(dǎo)數(shù)的Simpson修正公式[J].吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，29（4）.

[2] 張正印.二重積分的Simpson公式及其誤差估計[J].內(nèi)蒙古民族師院學(xué)報，1995，10（1）.

[3] 同濟大學(xué).《微積分》第三版下冊[M].北京：高等教育出版社：122.

[4] 數(shù)值分析[M].endprint

摘 要：二重積分的數(shù)值算法比較常見，但求高精度曲面面積的數(shù)值算法幾乎沒有。本文利用simpson積分公式推導(dǎo)了二階simpson積分公式，并結(jié)合三點數(shù)值微分計算公式建立了一種高效的計算曲面面積的數(shù)值計算公式。通過matlab實驗仿真，結(jié)果證明本文的方法有4階的精度而傳統(tǒng)的方法只有2階的精度。不足之處就是計算公式比較復(fù)雜，算法的運算效率稍低，但是在相同的精度下，運算時間還是較傳統(tǒng)方法少，所以方法的實用性很強。

關(guān)鍵詞：曲面面積 數(shù)值計算 數(shù)值微分 積分

中圖分類號：O172 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（b）-0238-02

在計算地形表面時，由于地面高低起伏不定，是一個不規(guī)則的曲面，因此我們想通過數(shù)學(xué)軟件擬合出一個函數(shù)來近似是不可能的。但是，在其局部區(qū)域，地面相對平整，可以認(rèn)為是平面或者二次曲面，可以通過對局部曲面面積的計算得到整個區(qū)域的表面積。對表面積的計算我們有許多建立在數(shù)值上的近似的方法。[1～2]由于上述模型的建立是基于多網(wǎng)格化下小區(qū)域內(nèi)曲面積近似等于平面面積，因此計算結(jié)果存在一定誤差，且計算精度不易分析。為了減小誤差，提高精度，我們把數(shù)值分析中計算定積分的Simpson公式推廣到二重積分上，建立計算表面積的數(shù)值計算公式。

1 二重積分的復(fù)化Simpson積分公式

把Simpson公式推廣應(yīng)用到二重積分上，設(shè)在上有連續(xù)的4階偏導(dǎo)數(shù)，我們得到：

二重積分Simpson公式需要用到9個節(jié)點。所以，我們把積分區(qū)域劃分成的方格，取如圖1四個方格共有9個節(jié)點組成一個大方格，于是：

2 曲面數(shù)值積分公式

已知曲面方程為，那么曲面面積為：

函數(shù)使用三點數(shù)值微分公式來近似代替偏導(dǎo)數(shù)[4]，有：

3 算例分析

例 曲面函數(shù)在矩形區(qū)域內(nèi)的表面積。

其表面積計算的精確值為：

在相同的分割網(wǎng)格下，數(shù)值計算結(jié)果如表1。

4 結(jié)論

通過實驗可知基于本文的方法求解面積算法的誤差是，而傳統(tǒng)的“三角形法”誤差是，因此本文的算法遠好于三角形法。雖然它的計算公式比較復(fù)雜，計算效率不高，但是在要求相同精度的條件下，它的計算時間是還是比“三角形法”少的多。由此可以看出本算法需要信息點少，精度較好，運算速度快，具有較大的實用價值。

參考文獻

[1] 肖澤昌，杜躍鵬.帶端點3階導(dǎo)數(shù)的Simpson修正公式[J].吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，29（4）.

[2] 張正印.二重積分的Simpson公式及其誤差估計[J].內(nèi)蒙古民族師院學(xué)報，1995，10（1）.

[3] 同濟大學(xué).《微積分》第三版下冊[M].北京：高等教育出版社：122.

[4] 數(shù)值分析[M].endprint

摘 要：二重積分的數(shù)值算法比較常見，但求高精度曲面面積的數(shù)值算法幾乎沒有。本文利用simpson積分公式推導(dǎo)了二階simpson積分公式，并結(jié)合三點數(shù)值微分計算公式建立了一種高效的計算曲面面積的數(shù)值計算公式。通過matlab實驗仿真，結(jié)果證明本文的方法有4階的精度而傳統(tǒng)的方法只有2階的精度。不足之處就是計算公式比較復(fù)雜，算法的運算效率稍低，但是在相同的精度下，運算時間還是較傳統(tǒng)方法少，所以方法的實用性很強。

關(guān)鍵詞：曲面面積 數(shù)值計算 數(shù)值微分 積分

中圖分類號：O172 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（b）-0238-02

在計算地形表面時，由于地面高低起伏不定，是一個不規(guī)則的曲面，因此我們想通過數(shù)學(xué)軟件擬合出一個函數(shù)來近似是不可能的。但是，在其局部區(qū)域，地面相對平整，可以認(rèn)為是平面或者二次曲面，可以通過對局部曲面面積的計算得到整個區(qū)域的表面積。對表面積的計算我們有許多建立在數(shù)值上的近似的方法。[1～2]由于上述模型的建立是基于多網(wǎng)格化下小區(qū)域內(nèi)曲面積近似等于平面面積，因此計算結(jié)果存在一定誤差，且計算精度不易分析。為了減小誤差，提高精度，我們把數(shù)值分析中計算定積分的Simpson公式推廣到二重積分上，建立計算表面積的數(shù)值計算公式。

1 二重積分的復(fù)化Simpson積分公式

把Simpson公式推廣應(yīng)用到二重積分上，設(shè)在上有連續(xù)的4階偏導(dǎo)數(shù)，我們得到：

二重積分Simpson公式需要用到9個節(jié)點。所以，我們把積分區(qū)域劃分成的方格，取如圖1四個方格共有9個節(jié)點組成一個大方格，于是：

2 曲面數(shù)值積分公式

已知曲面方程為，那么曲面面積為：

函數(shù)使用三點數(shù)值微分公式來近似代替偏導(dǎo)數(shù)[4]，有：

3 算例分析

例 曲面函數(shù)在矩形區(qū)域內(nèi)的表面積。

其表面積計算的精確值為：

在相同的分割網(wǎng)格下，數(shù)值計算結(jié)果如表1。

4 結(jié)論

通過實驗可知基于本文的方法求解面積算法的誤差是，而傳統(tǒng)的“三角形法”誤差是，因此本文的算法遠好于三角形法。雖然它的計算公式比較復(fù)雜，計算效率不高，但是在要求相同精度的條件下，它的計算時間是還是比“三角形法”少的多。由此可以看出本算法需要信息點少，精度較好，運算速度快，具有較大的實用價值。

參考文獻

[1] 肖澤昌，杜躍鵬.帶端點3階導(dǎo)數(shù)的Simpson修正公式[J].吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，29（4）.

[2] 張正印.二重積分的Simpson公式及其誤差估計[J].內(nèi)蒙古民族師院學(xué)報，1995，10（1）.

[3] 同濟大學(xué).《微積分》第三版下冊[M].北京：高等教育出版社：122.

[4] 數(shù)值分析[M].endprint