減元消參 簡中求道

含多元的數(shù)學(xué)問題是高中數(shù)學(xué)重要題型之一，也是同學(xué)們備感頭疼的棘手題型.一方面，我們面對題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，難以將其中關(guān)系全部用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來；另一方面，式子雖然列出來了，但面對這些高次方程組或多元不等式，束手無策，沒有清晰的思路.對于這些問題，我們需要精心設(shè)計(jì)一些有利于理解的問題，自主探究，找到解決問題的辦法.

一、函數(shù)問題中的“消元”

例1 （2014年高考江蘇卷，14）若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+ sinB=2sinC，則cosC的最小值是_________.

破解 由正弦定理得a+ b=2c，由余弦定理結(jié)合基本不等式有：cosC= = = = - ≥ - = ，當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)等號成立.

反思 本題共含a，b，c三個(gè)變量，由題中等式a+ b=2c，代入消元后剩下兩個(gè)變量a，b；再由基本不等式，將式子化為只含ab的一元問題了.類似問題在2008年高考江蘇卷中也曾出現(xiàn)：x，y，z∈R？鄢，x-2y+3z=0， 的最小值為________.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax+a（a∈R），其圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：f ′ <0（f ′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）.

破解：（1）略.

（2）因?yàn)閑 -ax1+a=0，e -ax2+a=0，兩式相減得a= . 記 =s（s>0），則f′ =e - = [2s-（es-e-s）]. 設(shè)g（s）=2s-（es-e-s），則g′（s）=2-（es+e-s）<0，所以g（s）是單調(diào)減函數(shù)，則有g(shù)（s）0，所以f ′ <0. 又f ′（x）=ex-a是單調(diào)增函數(shù)，且 > ，所以f ′（ ）<0.

反思：本題第（2）問視 為整體，化二元為一元. 含多個(gè)變量求最值或范圍的問題，若從局部出發(fā)，看成是幾個(gè)不相干的變量來處理，則變量之間的關(guān)系會(huì)變得錯(cuò)綜復(fù)雜，“剪不斷理還亂”，因此，需要調(diào)整視角，把一些關(guān)于多個(gè)變量的代數(shù)式作為一個(gè)有機(jī)整體，設(shè)多變元構(gòu)成的整體為“新元”，將“多元”問題改造成“一元”問題.

二、向量問題中的“消元”

例3 已知平面上一定點(diǎn)C（2，0）和直線l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且 + · - =0. 若EF為圓N：x2+（y-1）2=1的任一直徑， · 的最大值和最小值分別為_______.

圖1

破解：由 + - =0得： 2= 2. 設(shè)P（x，y），則（x-2）2+y2= （x-8）2，化簡得 + =1. 所求 · 中含有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)：P，E，F(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)多，變量多，就像代數(shù)問題里解三元方程組一樣，應(yīng)該想到“消元”. 如圖1， · =（ + ）·（ + ）= 2+ ·（ + ）+ · = 2-1，這樣，化成只含一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，其中N點(diǎn)是定點(diǎn)，問題變成“一元”問題了. 設(shè)P（x，y），則x2=161- =16- y2，y∈[-2 ，2 ]，所以 · = 2-1=x2+（y-1）2-1=- y2-2y+16. f（y）=- y2-2y+16=- （y+3）2+19在[-2 ，2 ]上的最大值和最小值分別為：19，12-4 .

反思：仔細(xì)分析問題的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)問題中含有多個(gè)變量時(shí)，挖掘題目中的特殊條件、結(jié)構(gòu)，把其中隱含的關(guān)系顯性化，運(yùn)用這些關(guān)系，對多變量進(jìn)行“消元”，直至化成“一元”問題，將多變量問題化為單變量問題，使得問題結(jié)構(gòu)簡單.

三、解析幾何中的“消元”

例4 已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1： + =1（a>b>0）的上、下焦點(diǎn)，其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且MF1= .

（1）求橢圓C1的方程；

（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足： =-λ ， =λ （λ≠0，λ≠±1），求證：點(diǎn)Q總在某定直線上.

破解：（1） + =1.

（2）設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），Q（x ，y ），則x +y =3 ①，x +y =3 ②.

由 =-λ 得（1-x1，3-y ）= -λ（x2-1，y2-3），所以x1-λx2=1-λ ③，y -λy =3（1-λ） ④.

由 =λ 得（x0-x1，y0-y1）=λ（x2-x0，y2-y0），x1+λx2=（1+λ）x0 ⑤，y +λy =（1+λ）y ⑥.

7個(gè)未知數(shù)x1，y1，x2，y2，x0，y0，λ，共6個(gè)方程，消去x1，y1，x2，y2，λ等5個(gè)未知數(shù)可以得到關(guān)于x0，y0的一個(gè)二元一次方程，從而得到結(jié)論. 注意到③～⑥式為一次方程這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，具體做法是：③×⑤+④×⑥得：（x -λx ）+（y -λy ）=（1-λ2）x0+3（1-λ2）y0，3（1-λ2）=（1-λ2）（x0+3y0）. 因?yàn)棣恕佟?，所以x0+3y0=3，即點(diǎn)Q總在定直線x+3y-3=0上.

反思：本題包含的未知數(shù)和方程個(gè)數(shù)較多，列出變量關(guān)系對我們來說不是難事，但要順利消去未知數(shù)，得到只含x ，y 的一個(gè)式子，并非易事，這就要求我們心中有清晰的思路，同時(shí)找出式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有條不紊地達(dá)到消參減元的目的.

四、數(shù)列問題中的“消元”

例5 對于數(shù)列A：a1，a2，…，an，若滿足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”.定義變換T，T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)0都變成1，0，原有的每個(gè)1都變成0，1. 例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1. 設(shè)A0為0，1，令A(yù)k=T（A ），k=1，2， 3，…. 記數(shù)列Ak中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對個(gè)數(shù)為lk，k=1，2，3，…. 求lk關(guān)于k的表達(dá)式.

破解 要數(shù)Ak中“00”數(shù)對個(gè)數(shù)，依據(jù)變換T的定義，“00”數(shù)對只能是由數(shù)列A 中的“01”數(shù)對變換而來的，所以引入“中間變元”：數(shù)列Ak中“01”的個(gè)數(shù)，記為bk. 通過bk的牽線搭橋找出lk與bk之間的關(guān)系，然后消去變元bk，從而得到lk的遞推關(guān)系式.

設(shè)數(shù)列Ak中“01”的個(gè)數(shù)為bk，則A 中的“00”數(shù)對只能是由數(shù)列Ak中的“01”數(shù)對變換而來的，所以l =bk ①.

A 中的“01”數(shù)對是由數(shù)列Ak中的“00”數(shù)對或項(xiàng)“1”變換而來的. 由變換T的定義及A0為0，1可得，Ak中的0和1個(gè)數(shù)相等且各為2k個(gè)，所以b =lk+2k？搖 ②.

由①②消去bk得，l =b =lk+2k，即l -lk=2k.

因?yàn)锳1：1，0，0，1；A2：0，1，1，0，1， 0，0，1. 所以l1=l2=1. 所以當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，lk=（lk-l ）+（l +l ）+…+（l3-l1）+l1=2k-2+2k-4+…+2+1= ；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，lk=（lk-l ）+（l +l ）+…+（l4-l2）+l2=2k-2+2k-4+…+22+1= . 綜上得， lk= ，k為奇數(shù)， ，k為偶數(shù).

反思 在本題中直接尋找數(shù)列l(wèi)k的遞推關(guān)系式比較困難，仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)“00”個(gè)數(shù)與“01”個(gè)數(shù)之間相互依存，相互制約. 所以引入“01”個(gè)數(shù)，通過中間變元的牽線搭橋，理清這些變量的內(nèi)在聯(lián)系，并把它們之間的關(guān)系列出來，然后消去新元，從而得到原問題中的變量之間的關(guān)系.

由上面幾個(gè)方面的例子可以發(fā)現(xiàn)，多元問題可以和高中眾多的知識點(diǎn)結(jié)合，其解決的原則是：減元消參，簡中求道.

含多元的數(shù)學(xué)問題是高中數(shù)學(xué)重要題型之一，也是同學(xué)們備感頭疼的棘手題型.一方面，我們面對題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，難以將其中關(guān)系全部用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來；另一方面，式子雖然列出來了，但面對這些高次方程組或多元不等式，束手無策，沒有清晰的思路.對于這些問題，我們需要精心設(shè)計(jì)一些有利于理解的問題，自主探究，找到解決問題的辦法.

一、函數(shù)問題中的“消元”

例1 （2014年高考江蘇卷，14）若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+ sinB=2sinC，則cosC的最小值是_________.

破解 由正弦定理得a+ b=2c，由余弦定理結(jié)合基本不等式有：cosC= = = = - ≥ - = ，當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)等號成立.

反思 本題共含a，b，c三個(gè)變量，由題中等式a+ b=2c，代入消元后剩下兩個(gè)變量a，b；再由基本不等式，將式子化為只含ab的一元問題了.類似問題在2008年高考江蘇卷中也曾出現(xiàn)：x，y，z∈R？鄢，x-2y+3z=0， 的最小值為________.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax+a（a∈R），其圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：f ′ <0（f ′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）.

破解：（1）略.

（2）因?yàn)閑 -ax1+a=0，e -ax2+a=0，兩式相減得a= . 記 =s（s>0），則f′ =e - = [2s-（es-e-s）]. 設(shè)g（s）=2s-（es-e-s），則g′（s）=2-（es+e-s）<0，所以g（s）是單調(diào)減函數(shù)，則有g(shù)（s）0，所以f ′ <0. 又f ′（x）=ex-a是單調(diào)增函數(shù)，且 > ，所以f ′（ ）<0.

反思：本題第（2）問視 為整體，化二元為一元. 含多個(gè)變量求最值或范圍的問題，若從局部出發(fā)，看成是幾個(gè)不相干的變量來處理，則變量之間的關(guān)系會(huì)變得錯(cuò)綜復(fù)雜，“剪不斷理還亂”，因此，需要調(diào)整視角，把一些關(guān)于多個(gè)變量的代數(shù)式作為一個(gè)有機(jī)整體，設(shè)多變元構(gòu)成的整體為“新元”，將“多元”問題改造成“一元”問題.

二、向量問題中的“消元”

例3 已知平面上一定點(diǎn)C（2，0）和直線l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且 + · - =0. 若EF為圓N：x2+（y-1）2=1的任一直徑， · 的最大值和最小值分別為_______.

圖1

破解：由 + - =0得： 2= 2. 設(shè)P（x，y），則（x-2）2+y2= （x-8）2，化簡得 + =1. 所求 · 中含有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)：P，E，F(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)多，變量多，就像代數(shù)問題里解三元方程組一樣，應(yīng)該想到“消元”. 如圖1， · =（ + ）·（ + ）= 2+ ·（ + ）+ · = 2-1，這樣，化成只含一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，其中N點(diǎn)是定點(diǎn)，問題變成“一元”問題了. 設(shè)P（x，y），則x2=161- =16- y2，y∈[-2 ，2 ]，所以 · = 2-1=x2+（y-1）2-1=- y2-2y+16. f（y）=- y2-2y+16=- （y+3）2+19在[-2 ，2 ]上的最大值和最小值分別為：19，12-4 .

反思：仔細(xì)分析問題的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)問題中含有多個(gè)變量時(shí)，挖掘題目中的特殊條件、結(jié)構(gòu)，把其中隱含的關(guān)系顯性化，運(yùn)用這些關(guān)系，對多變量進(jìn)行“消元”，直至化成“一元”問題，將多變量問題化為單變量問題，使得問題結(jié)構(gòu)簡單.

三、解析幾何中的“消元”

例4 已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1： + =1（a>b>0）的上、下焦點(diǎn)，其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且MF1= .

（1）求橢圓C1的方程；

（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足： =-λ ， =λ （λ≠0，λ≠±1），求證：點(diǎn)Q總在某定直線上.

破解：（1） + =1.

（2）設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），Q（x ，y ），則x +y =3 ①，x +y =3 ②.

由 =-λ 得（1-x1，3-y ）= -λ（x2-1，y2-3），所以x1-λx2=1-λ ③，y -λy =3（1-λ） ④.

由 =λ 得（x0-x1，y0-y1）=λ（x2-x0，y2-y0），x1+λx2=（1+λ）x0 ⑤，y +λy =（1+λ）y ⑥.

7個(gè)未知數(shù)x1，y1，x2，y2，x0，y0，λ，共6個(gè)方程，消去x1，y1，x2，y2，λ等5個(gè)未知數(shù)可以得到關(guān)于x0，y0的一個(gè)二元一次方程，從而得到結(jié)論. 注意到③～⑥式為一次方程這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，具體做法是：③×⑤+④×⑥得：（x -λx ）+（y -λy ）=（1-λ2）x0+3（1-λ2）y0，3（1-λ2）=（1-λ2）（x0+3y0）. 因?yàn)棣恕佟?，所以x0+3y0=3，即點(diǎn)Q總在定直線x+3y-3=0上.

反思：本題包含的未知數(shù)和方程個(gè)數(shù)較多，列出變量關(guān)系對我們來說不是難事，但要順利消去未知數(shù)，得到只含x ，y 的一個(gè)式子，并非易事，這就要求我們心中有清晰的思路，同時(shí)找出式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有條不紊地達(dá)到消參減元的目的.

四、數(shù)列問題中的“消元”

例5 對于數(shù)列A：a1，a2，…，an，若滿足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”.定義變換T，T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)0都變成1，0，原有的每個(gè)1都變成0，1. 例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1. 設(shè)A0為0，1，令A(yù)k=T（A ），k=1，2， 3，…. 記數(shù)列Ak中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對個(gè)數(shù)為lk，k=1，2，3，…. 求lk關(guān)于k的表達(dá)式.

破解 要數(shù)Ak中“00”數(shù)對個(gè)數(shù)，依據(jù)變換T的定義，“00”數(shù)對只能是由數(shù)列A 中的“01”數(shù)對變換而來的，所以引入“中間變元”：數(shù)列Ak中“01”的個(gè)數(shù)，記為bk. 通過bk的牽線搭橋找出lk與bk之間的關(guān)系，然后消去變元bk，從而得到lk的遞推關(guān)系式.

設(shè)數(shù)列Ak中“01”的個(gè)數(shù)為bk，則A 中的“00”數(shù)對只能是由數(shù)列Ak中的“01”數(shù)對變換而來的，所以l =bk ①.

A 中的“01”數(shù)對是由數(shù)列Ak中的“00”數(shù)對或項(xiàng)“1”變換而來的. 由變換T的定義及A0為0，1可得，Ak中的0和1個(gè)數(shù)相等且各為2k個(gè)，所以b =lk+2k？搖 ②.

由①②消去bk得，l =b =lk+2k，即l -lk=2k.

因?yàn)锳1：1，0，0，1；A2：0，1，1，0，1， 0，0，1. 所以l1=l2=1. 所以當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，lk=（lk-l ）+（l +l ）+…+（l3-l1）+l1=2k-2+2k-4+…+2+1= ；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，lk=（lk-l ）+（l +l ）+…+（l4-l2）+l2=2k-2+2k-4+…+22+1= . 綜上得， lk= ，k為奇數(shù)， ，k為偶數(shù).

反思 在本題中直接尋找數(shù)列l(wèi)k的遞推關(guān)系式比較困難，仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)“00”個(gè)數(shù)與“01”個(gè)數(shù)之間相互依存，相互制約. 所以引入“01”個(gè)數(shù)，通過中間變元的牽線搭橋，理清這些變量的內(nèi)在聯(lián)系，并把它們之間的關(guān)系列出來，然后消去新元，從而得到原問題中的變量之間的關(guān)系.

由上面幾個(gè)方面的例子可以發(fā)現(xiàn)，多元問題可以和高中眾多的知識點(diǎn)結(jié)合，其解決的原則是：減元消參，簡中求道.

含多元的數(shù)學(xué)問題是高中數(shù)學(xué)重要題型之一，也是同學(xué)們備感頭疼的棘手題型.一方面，我們面對題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，難以將其中關(guān)系全部用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來；另一方面，式子雖然列出來了，但面對這些高次方程組或多元不等式，束手無策，沒有清晰的思路.對于這些問題，我們需要精心設(shè)計(jì)一些有利于理解的問題，自主探究，找到解決問題的辦法.

一、函數(shù)問題中的“消元”

例1 （2014年高考江蘇卷，14）若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+ sinB=2sinC，則cosC的最小值是_________.

破解 由正弦定理得a+ b=2c，由余弦定理結(jié)合基本不等式有：cosC= = = = - ≥ - = ，當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)等號成立.

反思 本題共含a，b，c三個(gè)變量，由題中等式a+ b=2c，代入消元后剩下兩個(gè)變量a，b；再由基本不等式，將式子化為只含ab的一元問題了.類似問題在2008年高考江蘇卷中也曾出現(xiàn)：x，y，z∈R？鄢，x-2y+3z=0， 的最小值為________.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax+a（a∈R），其圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：f ′ <0（f ′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）.

破解：（1）略.

（2）因?yàn)閑 -ax1+a=0，e -ax2+a=0，兩式相減得a= . 記 =s（s>0），則f′ =e - = [2s-（es-e-s）]. 設(shè)g（s）=2s-（es-e-s），則g′（s）=2-（es+e-s）<0，所以g（s）是單調(diào)減函數(shù)，則有g(shù)（s）0，所以f ′ <0. 又f ′（x）=ex-a是單調(diào)增函數(shù)，且 > ，所以f ′（ ）<0.

反思：本題第（2）問視 為整體，化二元為一元. 含多個(gè)變量求最值或范圍的問題，若從局部出發(fā)，看成是幾個(gè)不相干的變量來處理，則變量之間的關(guān)系會(huì)變得錯(cuò)綜復(fù)雜，“剪不斷理還亂”，因此，需要調(diào)整視角，把一些關(guān)于多個(gè)變量的代數(shù)式作為一個(gè)有機(jī)整體，設(shè)多變元構(gòu)成的整體為“新元”，將“多元”問題改造成“一元”問題.

二、向量問題中的“消元”

例3 已知平面上一定點(diǎn)C（2，0）和直線l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且 + · - =0. 若EF為圓N：x2+（y-1）2=1的任一直徑， · 的最大值和最小值分別為_______.

圖1

破解：由 + - =0得： 2= 2. 設(shè)P（x，y），則（x-2）2+y2= （x-8）2，化簡得 + =1. 所求 · 中含有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)：P，E，F(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)多，變量多，就像代數(shù)問題里解三元方程組一樣，應(yīng)該想到“消元”. 如圖1， · =（ + ）·（ + ）= 2+ ·（ + ）+ · = 2-1，這樣，化成只含一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，其中N點(diǎn)是定點(diǎn)，問題變成“一元”問題了. 設(shè)P（x，y），則x2=161- =16- y2，y∈[-2 ，2 ]，所以 · = 2-1=x2+（y-1）2-1=- y2-2y+16. f（y）=- y2-2y+16=- （y+3）2+19在[-2 ，2 ]上的最大值和最小值分別為：19，12-4 .

反思：仔細(xì)分析問題的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)問題中含有多個(gè)變量時(shí)，挖掘題目中的特殊條件、結(jié)構(gòu)，把其中隱含的關(guān)系顯性化，運(yùn)用這些關(guān)系，對多變量進(jìn)行“消元”，直至化成“一元”問題，將多變量問題化為單變量問題，使得問題結(jié)構(gòu)簡單.

三、解析幾何中的“消元”

例4 已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1： + =1（a>b>0）的上、下焦點(diǎn)，其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且MF1= .

（1）求橢圓C1的方程；

（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足： =-λ ， =λ （λ≠0，λ≠±1），求證：點(diǎn)Q總在某定直線上.

破解：（1） + =1.

（2）設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），Q（x ，y ），則x +y =3 ①，x +y =3 ②.

由 =-λ 得（1-x1，3-y ）= -λ（x2-1，y2-3），所以x1-λx2=1-λ ③，y -λy =3（1-λ） ④.

由 =λ 得（x0-x1，y0-y1）=λ（x2-x0，y2-y0），x1+λx2=（1+λ）x0 ⑤，y +λy =（1+λ）y ⑥.

7個(gè)未知數(shù)x1，y1，x2，y2，x0，y0，λ，共6個(gè)方程，消去x1，y1，x2，y2，λ等5個(gè)未知數(shù)可以得到關(guān)于x0，y0的一個(gè)二元一次方程，從而得到結(jié)論. 注意到③～⑥式為一次方程這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，具體做法是：③×⑤+④×⑥得：（x -λx ）+（y -λy ）=（1-λ2）x0+3（1-λ2）y0，3（1-λ2）=（1-λ2）（x0+3y0）. 因?yàn)棣恕佟?，所以x0+3y0=3，即點(diǎn)Q總在定直線x+3y-3=0上.

反思：本題包含的未知數(shù)和方程個(gè)數(shù)較多，列出變量關(guān)系對我們來說不是難事，但要順利消去未知數(shù)，得到只含x ，y 的一個(gè)式子，并非易事，這就要求我們心中有清晰的思路，同時(shí)找出式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有條不紊地達(dá)到消參減元的目的.

四、數(shù)列問題中的“消元”

例5 對于數(shù)列A：a1，a2，…，an，若滿足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”.定義變換T，T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)0都變成1，0，原有的每個(gè)1都變成0，1. 例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1. 設(shè)A0為0，1，令A(yù)k=T（A ），k=1，2， 3，…. 記數(shù)列Ak中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對個(gè)數(shù)為lk，k=1，2，3，…. 求lk關(guān)于k的表達(dá)式.

破解 要數(shù)Ak中“00”數(shù)對個(gè)數(shù)，依據(jù)變換T的定義，“00”數(shù)對只能是由數(shù)列A 中的“01”數(shù)對變換而來的，所以引入“中間變元”：數(shù)列Ak中“01”的個(gè)數(shù)，記為bk. 通過bk的牽線搭橋找出lk與bk之間的關(guān)系，然后消去變元bk，從而得到lk的遞推關(guān)系式.

設(shè)數(shù)列Ak中“01”的個(gè)數(shù)為bk，則A 中的“00”數(shù)對只能是由數(shù)列Ak中的“01”數(shù)對變換而來的，所以l =bk ①.

A 中的“01”數(shù)對是由數(shù)列Ak中的“00”數(shù)對或項(xiàng)“1”變換而來的. 由變換T的定義及A0為0，1可得，Ak中的0和1個(gè)數(shù)相等且各為2k個(gè)，所以b =lk+2k？搖 ②.

由①②消去bk得，l =b =lk+2k，即l -lk=2k.

因?yàn)锳1：1，0，0，1；A2：0，1，1，0，1， 0，0，1. 所以l1=l2=1. 所以當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，lk=（lk-l ）+（l +l ）+…+（l3-l1）+l1=2k-2+2k-4+…+2+1= ；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，lk=（lk-l ）+（l +l ）+…+（l4-l2）+l2=2k-2+2k-4+…+22+1= . 綜上得， lk= ，k為奇數(shù)， ，k為偶數(shù).

反思 在本題中直接尋找數(shù)列l(wèi)k的遞推關(guān)系式比較困難，仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)“00”個(gè)數(shù)與“01”個(gè)數(shù)之間相互依存，相互制約. 所以引入“01”個(gè)數(shù)，通過中間變元的牽線搭橋，理清這些變量的內(nèi)在聯(lián)系，并把它們之間的關(guān)系列出來，然后消去新元，從而得到原問題中的變量之間的關(guān)系.

由上面幾個(gè)方面的例子可以發(fā)現(xiàn)，多元問題可以和高中眾多的知識點(diǎn)結(jié)合，其解決的原則是：減元消參，簡中求道.