函數(shù)的基本性質(zhì)

趙攀峰

函數(shù)的基本性質(zhì)包括函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等. 在解決與函數(shù)有關(guān)的（如方程、不等式等）問(wèn)題時(shí)，巧妙利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

函數(shù)的基本性質(zhì)是函數(shù)知識(shí)的核心，是研究函數(shù)、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的“重頭戲”. 如何利用函數(shù)性質(zhì)是解題的難點(diǎn)與關(guān)鍵.

重點(diǎn)難點(diǎn)

1. 函數(shù)的單調(diào)性

（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2）），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

深化（單調(diào)性定義的等價(jià)形式）：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳■>0？圳f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳■<0？圳f（x）在[a，b]上是減函數(shù).

（2）單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

2. 函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，稱M是函數(shù)y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函數(shù)的奇偶性

（1）定義：若對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù).

（2）性質(zhì)：①f（x）為奇函數(shù)？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）為偶函數(shù)？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函數(shù)？圳f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；f（x）是奇函數(shù)？圳f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

③奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.

④在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).

⑤若奇函數(shù)f（x）的定義域中含有0，則必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件.

4. 函數(shù)的周期性

（1）定義：若存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+T）=f（x），則稱f（x）為周期函數(shù)，其中T稱作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f（x）的最小正周期.

（2）性質(zhì)：①f（x+T）=f（x）常寫(xiě)作fx+=fx-.

②若T是函數(shù)y=f（x）的周期，則kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常數(shù)，且a≠0），則f（x）是一個(gè)以2a為周期的周期函數(shù).

方法突破

1. 單調(diào)性的證明方法

（1）定義法：如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2）），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）.

（2）導(dǎo)數(shù)法：在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f ′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f ′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

2. 單調(diào)區(qū)間的求法及表示

單調(diào)區(qū)間的求法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法.

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以在求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求出函數(shù)的定義域. 單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，不能用并集符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

3. 函數(shù)奇偶性的判斷

主要根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)（或奇函數(shù)）. 該定義包含兩個(gè)必備條件：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域有利于準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題；②判斷f（x）與f（-x）是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷關(guān)系式f（x）+f（-x）=0（奇函數(shù)）或f（x）-f（-x）=0（偶函數(shù)）是否成立.

函數(shù)的基本性質(zhì)包括函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等. 在解決與函數(shù)有關(guān)的（如方程、不等式等）問(wèn)題時(shí)，巧妙利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

函數(shù)的基本性質(zhì)是函數(shù)知識(shí)的核心，是研究函數(shù)、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的“重頭戲”. 如何利用函數(shù)性質(zhì)是解題的難點(diǎn)與關(guān)鍵.

重點(diǎn)難點(diǎn)

1. 函數(shù)的單調(diào)性

（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2）），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

深化（單調(diào)性定義的等價(jià)形式）：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳■>0？圳f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳■<0？圳f（x）在[a，b]上是減函數(shù).

（2）單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

2. 函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，稱M是函數(shù)y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函數(shù)的奇偶性

（1）定義：若對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù).

（2）性質(zhì)：①f（x）為奇函數(shù)？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）為偶函數(shù)？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函數(shù)？圳f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；f（x）是奇函數(shù)？圳f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

③奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.

④在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).

⑤若奇函數(shù)f（x）的定義域中含有0，則必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件.

4. 函數(shù)的周期性

（1）定義：若存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+T）=f（x），則稱f（x）為周期函數(shù)，其中T稱作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f（x）的最小正周期.

（2）性質(zhì)：①f（x+T）=f（x）常寫(xiě)作fx+=fx-.

②若T是函數(shù)y=f（x）的周期，則kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常數(shù)，且a≠0），則f（x）是一個(gè)以2a為周期的周期函數(shù).

方法突破

1. 單調(diào)性的證明方法

（1）定義法：如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2）），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）.

（2）導(dǎo)數(shù)法：在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f ′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f ′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

2. 單調(diào)區(qū)間的求法及表示

單調(diào)區(qū)間的求法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法.

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以在求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求出函數(shù)的定義域. 單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，不能用并集符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

3. 函數(shù)奇偶性的判斷

主要根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)（或奇函數(shù)）. 該定義包含兩個(gè)必備條件：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域有利于準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題；②判斷f（x）與f（-x）是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷關(guān)系式f（x）+f（-x）=0（奇函數(shù)）或f（x）-f（-x）=0（偶函數(shù)）是否成立.

函數(shù)的基本性質(zhì)包括函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等. 在解決與函數(shù)有關(guān)的（如方程、不等式等）問(wèn)題時(shí)，巧妙利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

函數(shù)的基本性質(zhì)是函數(shù)知識(shí)的核心，是研究函數(shù)、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的“重頭戲”. 如何利用函數(shù)性質(zhì)是解題的難點(diǎn)與關(guān)鍵.

重點(diǎn)難點(diǎn)

1. 函數(shù)的單調(diào)性

（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2）），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

深化（單調(diào)性定義的等價(jià)形式）：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳■>0？圳f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳■<0？圳f（x）在[a，b]上是減函數(shù).

（2）單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

2. 函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，稱M是函數(shù)y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函數(shù)的奇偶性

（1）定義：若對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù).

（2）性質(zhì)：①f（x）為奇函數(shù)？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）為偶函數(shù)？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函數(shù)？圳f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；f（x）是奇函數(shù)？圳f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

③奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.

④在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).

⑤若奇函數(shù)f（x）的定義域中含有0，則必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件.

4. 函數(shù)的周期性

（1）定義：若存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+T）=f（x），則稱f（x）為周期函數(shù)，其中T稱作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f（x）的最小正周期.

（2）性質(zhì)：①f（x+T）=f（x）常寫(xiě)作fx+=fx-.

②若T是函數(shù)y=f（x）的周期，則kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常數(shù)，且a≠0），則f（x）是一個(gè)以2a為周期的周期函數(shù).

方法突破

1. 單調(diào)性的證明方法

（1）定義法：如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2）），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）.

（2）導(dǎo)數(shù)法：在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f ′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f ′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

2. 單調(diào)區(qū)間的求法及表示

單調(diào)區(qū)間的求法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法.

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以在求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求出函數(shù)的定義域. 單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，不能用并集符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

3. 函數(shù)奇偶性的判斷

主要根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)（或奇函數(shù)）. 該定義包含兩個(gè)必備條件：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域有利于準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題；②判斷f（x）與f（-x）是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷關(guān)系式f（x）+f（-x）=0（奇函數(shù)）或f（x）-f（-x）=0（偶函數(shù)）是否成立.