函數(shù)的概念及其表示

周喻鳴

函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占有相當(dāng)大的比例. 從近幾年的高考試題來看，對本部分內(nèi)容的考查，穩(wěn)中求變，向著更靈活的方向發(fā)展. 對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實(shí)際應(yīng)用問題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果.

重點(diǎn)難點(diǎn)

本部分內(nèi)容由映射及函數(shù)的概念、函數(shù)的表示組成，函數(shù)的定義域、值域、解析式是構(gòu)成函數(shù)的三大要素. 縱觀近幾年的高考試題，本節(jié)內(nèi)容以客觀題為主，主要考查對概念的理解能力、邏輯思維能力，突出考查函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域與函數(shù)的表示方法、分段函數(shù)概念的理解與應(yīng)用、抽象函數(shù)的性質(zhì)討論.

重點(diǎn)：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，掌握分段函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域，掌握函數(shù)的三種表示法——圖象法、列表法、解析法，會(huì)求函數(shù)的解析式.

難點(diǎn)：函數(shù)的概念，求函數(shù)的解析式.

方法突破

1. 理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

（1）集合A，B及對應(yīng)法則“f ”是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng).

（2）對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，這與從集合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的.

（3）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè).

（5）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.

2. 理解函數(shù)的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

（1）函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射關(guān)系.

（2）數(shù)集A是函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域是數(shù)集B的子集.

3. 求函數(shù)定義域的基本思路

如果沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的x的取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

（1）分母不能為0.

（2）對數(shù)的真數(shù)必須為正.

（3）偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù).

（4）零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0.

（5）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0.

（6）若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集.

（7）如果涉及實(shí)際問題，還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義.

如求復(fù)合函數(shù)的定義域，已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f[g（x）]的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數(shù)f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定義域就是求x∈[a，b]時(shí)g（x）的值域.

注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)一定要注意定義域優(yōu)先原則，實(shí)際問題的定義域不要漏寫.

4. 求函數(shù)解析式的基本策略

函數(shù)的解析式是函數(shù)與自變量之間建立聯(lián)系的橋梁，許多和函數(shù)有關(guān)的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數(shù)解析式是高考中的熱點(diǎn). 解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住函數(shù)對應(yīng)法則“f ”的本質(zhì). 下面介紹幾種求函數(shù)解析式的主要方法.

（1）湊配法：把形如f（g（x））內(nèi)的g（x）當(dāng)做整體，在解析式的右端整理成只含有g(shù)（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.

（3）解方程組法：若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式，往往通過變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，組成方程組，然后利用消元法求出f（x）的表達(dá)式.

（4）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）求解析式，首先設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件代入相關(guān)值求出系數(shù).

（5）賦值法：已知一個(gè)關(guān)于x，y的抽象函數(shù)，利用特殊值去掉一個(gè)未知數(shù)y，得出關(guān)于x的函數(shù)解析式.endprint

函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占有相當(dāng)大的比例. 從近幾年的高考試題來看，對本部分內(nèi)容的考查，穩(wěn)中求變，向著更靈活的方向發(fā)展. 對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實(shí)際應(yīng)用問題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果.

重點(diǎn)難點(diǎn)

本部分內(nèi)容由映射及函數(shù)的概念、函數(shù)的表示組成，函數(shù)的定義域、值域、解析式是構(gòu)成函數(shù)的三大要素. 縱觀近幾年的高考試題，本節(jié)內(nèi)容以客觀題為主，主要考查對概念的理解能力、邏輯思維能力，突出考查函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域與函數(shù)的表示方法、分段函數(shù)概念的理解與應(yīng)用、抽象函數(shù)的性質(zhì)討論.

重點(diǎn)：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，掌握分段函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域，掌握函數(shù)的三種表示法——圖象法、列表法、解析法，會(huì)求函數(shù)的解析式.

難點(diǎn)：函數(shù)的概念，求函數(shù)的解析式.

方法突破

1. 理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

（1）集合A，B及對應(yīng)法則“f ”是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng).

（2）對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，這與從集合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的.

（3）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè).

（5）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.

2. 理解函數(shù)的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

（1）函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射關(guān)系.

（2）數(shù)集A是函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域是數(shù)集B的子集.

3. 求函數(shù)定義域的基本思路

如果沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的x的取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

（1）分母不能為0.

（2）對數(shù)的真數(shù)必須為正.

（3）偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù).

（4）零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0.

（5）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0.

（6）若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集.

（7）如果涉及實(shí)際問題，還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義.

如求復(fù)合函數(shù)的定義域，已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f[g（x）]的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數(shù)f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定義域就是求x∈[a，b]時(shí)g（x）的值域.

注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)一定要注意定義域優(yōu)先原則，實(shí)際問題的定義域不要漏寫.

4. 求函數(shù)解析式的基本策略

函數(shù)的解析式是函數(shù)與自變量之間建立聯(lián)系的橋梁，許多和函數(shù)有關(guān)的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數(shù)解析式是高考中的熱點(diǎn). 解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住函數(shù)對應(yīng)法則“f ”的本質(zhì). 下面介紹幾種求函數(shù)解析式的主要方法.

（1）湊配法：把形如f（g（x））內(nèi)的g（x）當(dāng)做整體，在解析式的右端整理成只含有g(shù)（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.

（3）解方程組法：若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式，往往通過變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，組成方程組，然后利用消元法求出f（x）的表達(dá)式.

（4）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）求解析式，首先設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件代入相關(guān)值求出系數(shù).

（5）賦值法：已知一個(gè)關(guān)于x，y的抽象函數(shù)，利用特殊值去掉一個(gè)未知數(shù)y，得出關(guān)于x的函數(shù)解析式.endprint

函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占有相當(dāng)大的比例. 從近幾年的高考試題來看，對本部分內(nèi)容的考查，穩(wěn)中求變，向著更靈活的方向發(fā)展. 對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實(shí)際應(yīng)用問題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果.

重點(diǎn)難點(diǎn)

本部分內(nèi)容由映射及函數(shù)的概念、函數(shù)的表示組成，函數(shù)的定義域、值域、解析式是構(gòu)成函數(shù)的三大要素. 縱觀近幾年的高考試題，本節(jié)內(nèi)容以客觀題為主，主要考查對概念的理解能力、邏輯思維能力，突出考查函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域與函數(shù)的表示方法、分段函數(shù)概念的理解與應(yīng)用、抽象函數(shù)的性質(zhì)討論.

重點(diǎn)：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，掌握分段函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域，掌握函數(shù)的三種表示法——圖象法、列表法、解析法，會(huì)求函數(shù)的解析式.

難點(diǎn)：函數(shù)的概念，求函數(shù)的解析式.

方法突破

1. 理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

（1）集合A，B及對應(yīng)法則“f ”是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng).

（2）對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，這與從集合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的.

（3）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè).

（5）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.

2. 理解函數(shù)的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

（1）函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射關(guān)系.

（2）數(shù)集A是函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域是數(shù)集B的子集.

3. 求函數(shù)定義域的基本思路

如果沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的x的取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

（1）分母不能為0.

（2）對數(shù)的真數(shù)必須為正.

（3）偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù).

（4）零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0.

（5）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0.

（6）若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集.

（7）如果涉及實(shí)際問題，還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義.

如求復(fù)合函數(shù)的定義域，已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f[g（x）]的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數(shù)f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定義域就是求x∈[a，b]時(shí)g（x）的值域.

注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)一定要注意定義域優(yōu)先原則，實(shí)際問題的定義域不要漏寫.

4. 求函數(shù)解析式的基本策略

函數(shù)的解析式是函數(shù)與自變量之間建立聯(lián)系的橋梁，許多和函數(shù)有關(guān)的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數(shù)解析式是高考中的熱點(diǎn). 解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住函數(shù)對應(yīng)法則“f ”的本質(zhì). 下面介紹幾種求函數(shù)解析式的主要方法.

（1）湊配法：把形如f（g（x））內(nèi)的g（x）當(dāng)做整體，在解析式的右端整理成只含有g(shù)（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.

（3）解方程組法：若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式，往往通過變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，組成方程組，然后利用消元法求出f（x）的表達(dá)式.

（4）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）求解析式，首先設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件代入相關(guān)值求出系數(shù).

（5）賦值法：已知一個(gè)關(guān)于x，y的抽象函數(shù)，利用特殊值去掉一個(gè)未知數(shù)y，得出關(guān)于x的函數(shù)解析式.endprint