查漏補缺之函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

廖軍

函數(shù)在高考中占有重要的地位，以基本函數(shù)為背景的綜合題和應(yīng)用題是近幾年高考命題的新趨勢. 導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的工具，在高考的地位也不可小視. 因此，本文對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識作一梳理，希望對同學(xué)們有所幫助.

1. 函數(shù)的基本概念

（1）了解函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

（2）會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ▓D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).

（3）了解簡單的分段函數(shù).

注意：（1）函數(shù)的值域和最值是函數(shù)考查中的重點. 常見的求函數(shù)值域和最值的方法有換元法、配方法、分離常數(shù)法、單調(diào)函數(shù)法、均值不等式法、幾何法等.

（2）分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內(nèi)，其對應(yīng)法則也不同的函數(shù). 常?？疾榍蠛瘮?shù)值、求函數(shù)解析式、求反函數(shù)、求函數(shù)最值.

2. 函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）理解函數(shù)單調(diào)性的定義，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

（2）了解函數(shù)的奇偶性，掌握奇、偶函數(shù)的性質(zhì).

（3）了解函數(shù)的周期性.

（4）掌握常見函數(shù)圖象的基本作法，掌握函數(shù)圖象的平移、對稱、翻折和伸縮變換.

注意：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，常常有圖象法、定義法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法，但如果是在解答題中證明或判斷函數(shù)單調(diào)性時，則只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法.

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，首先要看定義域關(guān)于原點是否對稱.

（3）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)并且在x=0處有定義，則f（0）=0，這條性質(zhì)切記.

（4）識記以下重要結(jié)論：①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；②若函數(shù)在其定義域上存在反函數(shù)，則原函數(shù)和反函數(shù)在各自的定義域內(nèi)具有相同的單調(diào)性；③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱？圳f（a+x）=f（a-x）？圳f（2a-x）= f（x）；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱？圳f（a+x）+f（a-x）=2b？圳f（2a-x）+f（x）=2b.

3. 幾種常見的函數(shù)

（1）掌握二次函數(shù)、三次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

（2）掌握冪的運算，理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.

（3）掌握對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)， 理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖象通過的特殊點.

（4）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù). 能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解（僅限新課程地區(qū)）.？搖

（5）能夠熟練處理常見抽象函數(shù)的定義域、解析式、函數(shù)值和單調(diào)性等.

注意：（1）處理函數(shù)的有關(guān)問題，一定要形成“定義域優(yōu)先”的原則.

（2）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是典型的超越函數(shù)，且互為反函數(shù). 在實際試題中，往往是與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，要注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷規(guī)律，即“同增異減”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重點，要能利用二次函數(shù)圖象來尋求充要條件，常常是抓端點值、對稱軸和判別式.

（4）抽象函數(shù)的常見處理方法有特殊模型法、函數(shù)性質(zhì)法、特殊化方法、聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法等. 記住以下常見抽象函數(shù)模型所對應(yīng)的具體函數(shù)，這對我們解題有幫助.

①f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=kx（k≠0）.

②f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）？坩f（x）=ax（a>0，a≠1）.

③f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=logax（a>0，a≠1）.

4. 導(dǎo)數(shù)的運算

（1）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

（2）能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如y=f（ax+b）的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).

注意：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率是高考的熱點，那么如何求呢？先求出曲線y=f（x）在點P（x0， f（x0））處的切線斜率k=f ′（x0），再由點斜式得到切線方程y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），請注意在某點處的切線與過某點處的切線的求法有區(qū)別.

（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)請注意：要能正確拆分復(fù)合函數(shù)，即要明確該復(fù)合函數(shù)由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成，適當(dāng)選取中間變量；分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導(dǎo)；求導(dǎo)時，應(yīng)由外及里，逐層求導(dǎo).

（3）導(dǎo)數(shù)的運算、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯，以考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值、方程根的情況）為主，同時考查導(dǎo)數(shù)的計算.

5. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（1）了解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

（3）會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.

注意：（1）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則“f ′（x）>0”是“f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，因為完全有可能出現(xiàn)f ′（x）=0的情況，如f（x）=x3， f ′（x）=3x2≥0（函數(shù)遞減的情況類似）.

（2）求函數(shù)極值時，不能單憑f ′（x）=0就判斷函數(shù)有極值，一定要檢驗f ′（x）在方程f ′（x）=0的根左、右的值的符號，若左正右負(fù)，那么f（x）在這個根處取得極大值；若左負(fù)右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；若左右同號，那么f（x）在這個根處無極值.

（3）導(dǎo)數(shù)經(jīng)常與函數(shù)的單調(diào)性、不等式、方程根的分布、解析幾何中的切線問題結(jié)合.endprint

函數(shù)在高考中占有重要的地位，以基本函數(shù)為背景的綜合題和應(yīng)用題是近幾年高考命題的新趨勢. 導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的工具，在高考的地位也不可小視. 因此，本文對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識作一梳理，希望對同學(xué)們有所幫助.

1. 函數(shù)的基本概念

（1）了解函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

（2）會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ▓D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).

（3）了解簡單的分段函數(shù).

注意：（1）函數(shù)的值域和最值是函數(shù)考查中的重點. 常見的求函數(shù)值域和最值的方法有換元法、配方法、分離常數(shù)法、單調(diào)函數(shù)法、均值不等式法、幾何法等.

（2）分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內(nèi)，其對應(yīng)法則也不同的函數(shù). 常?？疾榍蠛瘮?shù)值、求函數(shù)解析式、求反函數(shù)、求函數(shù)最值.

2. 函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）理解函數(shù)單調(diào)性的定義，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

（2）了解函數(shù)的奇偶性，掌握奇、偶函數(shù)的性質(zhì).

（3）了解函數(shù)的周期性.

（4）掌握常見函數(shù)圖象的基本作法，掌握函數(shù)圖象的平移、對稱、翻折和伸縮變換.

注意：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，常常有圖象法、定義法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法，但如果是在解答題中證明或判斷函數(shù)單調(diào)性時，則只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法.

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，首先要看定義域關(guān)于原點是否對稱.

（3）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)并且在x=0處有定義，則f（0）=0，這條性質(zhì)切記.

（4）識記以下重要結(jié)論：①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；②若函數(shù)在其定義域上存在反函數(shù)，則原函數(shù)和反函數(shù)在各自的定義域內(nèi)具有相同的單調(diào)性；③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱？圳f（a+x）=f（a-x）？圳f（2a-x）= f（x）；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱？圳f（a+x）+f（a-x）=2b？圳f（2a-x）+f（x）=2b.

3. 幾種常見的函數(shù)

（1）掌握二次函數(shù)、三次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

（2）掌握冪的運算，理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.

（3）掌握對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)， 理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖象通過的特殊點.

（4）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù). 能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解（僅限新課程地區(qū)）.？搖

（5）能夠熟練處理常見抽象函數(shù)的定義域、解析式、函數(shù)值和單調(diào)性等.

注意：（1）處理函數(shù)的有關(guān)問題，一定要形成“定義域優(yōu)先”的原則.

（2）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是典型的超越函數(shù)，且互為反函數(shù). 在實際試題中，往往是與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，要注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷規(guī)律，即“同增異減”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重點，要能利用二次函數(shù)圖象來尋求充要條件，常常是抓端點值、對稱軸和判別式.

（4）抽象函數(shù)的常見處理方法有特殊模型法、函數(shù)性質(zhì)法、特殊化方法、聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法等. 記住以下常見抽象函數(shù)模型所對應(yīng)的具體函數(shù)，這對我們解題有幫助.

①f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=kx（k≠0）.

②f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）？坩f（x）=ax（a>0，a≠1）.

③f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=logax（a>0，a≠1）.

4. 導(dǎo)數(shù)的運算

（1）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

（2）能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如y=f（ax+b）的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).

注意：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率是高考的熱點，那么如何求呢？先求出曲線y=f（x）在點P（x0， f（x0））處的切線斜率k=f ′（x0），再由點斜式得到切線方程y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），請注意在某點處的切線與過某點處的切線的求法有區(qū)別.

（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)請注意：要能正確拆分復(fù)合函數(shù)，即要明確該復(fù)合函數(shù)由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成，適當(dāng)選取中間變量；分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導(dǎo)；求導(dǎo)時，應(yīng)由外及里，逐層求導(dǎo).

（3）導(dǎo)數(shù)的運算、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯，以考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值、方程根的情況）為主，同時考查導(dǎo)數(shù)的計算.

5. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（1）了解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

（3）會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.

注意：（1）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則“f ′（x）>0”是“f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，因為完全有可能出現(xiàn)f ′（x）=0的情況，如f（x）=x3， f ′（x）=3x2≥0（函數(shù)遞減的情況類似）.

（2）求函數(shù)極值時，不能單憑f ′（x）=0就判斷函數(shù)有極值，一定要檢驗f ′（x）在方程f ′（x）=0的根左、右的值的符號，若左正右負(fù)，那么f（x）在這個根處取得極大值；若左負(fù)右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；若左右同號，那么f（x）在這個根處無極值.

（3）導(dǎo)數(shù)經(jīng)常與函數(shù)的單調(diào)性、不等式、方程根的分布、解析幾何中的切線問題結(jié)合.endprint

函數(shù)在高考中占有重要的地位，以基本函數(shù)為背景的綜合題和應(yīng)用題是近幾年高考命題的新趨勢. 導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的工具，在高考的地位也不可小視. 因此，本文對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識作一梳理，希望對同學(xué)們有所幫助.

1. 函數(shù)的基本概念

（1）了解函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

（2）會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ▓D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).

（3）了解簡單的分段函數(shù).

注意：（1）函數(shù)的值域和最值是函數(shù)考查中的重點. 常見的求函數(shù)值域和最值的方法有換元法、配方法、分離常數(shù)法、單調(diào)函數(shù)法、均值不等式法、幾何法等.

（2）分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內(nèi)，其對應(yīng)法則也不同的函數(shù). 常?？疾榍蠛瘮?shù)值、求函數(shù)解析式、求反函數(shù)、求函數(shù)最值.

2. 函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）理解函數(shù)單調(diào)性的定義，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

（2）了解函數(shù)的奇偶性，掌握奇、偶函數(shù)的性質(zhì).

（3）了解函數(shù)的周期性.

（4）掌握常見函數(shù)圖象的基本作法，掌握函數(shù)圖象的平移、對稱、翻折和伸縮變換.

注意：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，常常有圖象法、定義法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法，但如果是在解答題中證明或判斷函數(shù)單調(diào)性時，則只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法.

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，首先要看定義域關(guān)于原點是否對稱.

（3）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)并且在x=0處有定義，則f（0）=0，這條性質(zhì)切記.

（4）識記以下重要結(jié)論：①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；②若函數(shù)在其定義域上存在反函數(shù)，則原函數(shù)和反函數(shù)在各自的定義域內(nèi)具有相同的單調(diào)性；③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱？圳f（a+x）=f（a-x）？圳f（2a-x）= f（x）；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱？圳f（a+x）+f（a-x）=2b？圳f（2a-x）+f（x）=2b.

3. 幾種常見的函數(shù)

（1）掌握二次函數(shù)、三次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

（2）掌握冪的運算，理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.

（3）掌握對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)， 理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖象通過的特殊點.

（4）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù). 能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解（僅限新課程地區(qū)）.？搖

（5）能夠熟練處理常見抽象函數(shù)的定義域、解析式、函數(shù)值和單調(diào)性等.

注意：（1）處理函數(shù)的有關(guān)問題，一定要形成“定義域優(yōu)先”的原則.

（2）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是典型的超越函數(shù)，且互為反函數(shù). 在實際試題中，往往是與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，要注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷規(guī)律，即“同增異減”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重點，要能利用二次函數(shù)圖象來尋求充要條件，常常是抓端點值、對稱軸和判別式.

（4）抽象函數(shù)的常見處理方法有特殊模型法、函數(shù)性質(zhì)法、特殊化方法、聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法等. 記住以下常見抽象函數(shù)模型所對應(yīng)的具體函數(shù)，這對我們解題有幫助.

①f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=kx（k≠0）.

②f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）？坩f（x）=ax（a>0，a≠1）.

③f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=logax（a>0，a≠1）.

4. 導(dǎo)數(shù)的運算

（1）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

（2）能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如y=f（ax+b）的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).

注意：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率是高考的熱點，那么如何求呢？先求出曲線y=f（x）在點P（x0， f（x0））處的切線斜率k=f ′（x0），再由點斜式得到切線方程y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），請注意在某點處的切線與過某點處的切線的求法有區(qū)別.

（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)請注意：要能正確拆分復(fù)合函數(shù)，即要明確該復(fù)合函數(shù)由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成，適當(dāng)選取中間變量；分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導(dǎo)；求導(dǎo)時，應(yīng)由外及里，逐層求導(dǎo).

（3）導(dǎo)數(shù)的運算、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯，以考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值、方程根的情況）為主，同時考查導(dǎo)數(shù)的計算.

5. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（1）了解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

（3）會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.

注意：（1）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則“f ′（x）>0”是“f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，因為完全有可能出現(xiàn)f ′（x）=0的情況，如f（x）=x3， f ′（x）=3x2≥0（函數(shù)遞減的情況類似）.

（2）求函數(shù)極值時，不能單憑f ′（x）=0就判斷函數(shù)有極值，一定要檢驗f ′（x）在方程f ′（x）=0的根左、右的值的符號，若左正右負(fù)，那么f（x）在這個根處取得極大值；若左負(fù)右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；若左右同號，那么f（x）在這個根處無極值.

（3）導(dǎo)數(shù)經(jīng)常與函數(shù)的單調(diào)性、不等式、方程根的分布、解析幾何中的切線問題結(jié)合.endprint