常微分方程課程教學(xué)改革初探

趙侯宇

摘 要：常微分方程是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)的后繼課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究的能力具有不可替代的作用。文章從常微分方程的特點(diǎn)及其他教學(xué)中存在的問題出發(fā)，從更新教學(xué)內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)方法和運(yùn)用多樣化的教學(xué)手段等方面，提出了改進(jìn)常微分方程課程教學(xué)的建議。

關(guān)鍵詞：常微分方程；教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-4107（2014）11-0022-02

常微分方程是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，常微分方程在整個(gè)數(shù)學(xué)大廈中占據(jù)著重要位置。自然科學(xué)（物理、化學(xué)、生物及天文）中的許多一般規(guī)律，用常微分方程的語(yǔ)言來表達(dá)最為自然。因此，常微分方程是探索實(shí)際問題的重要工具。但是該課程在目前的教學(xué)中還存在一些問題：（1）本課程包含一些冗長(zhǎng)煩瑣的計(jì)算公式和定理推導(dǎo)，而教學(xué)課時(shí)數(shù)普遍較少，因此在使用傳統(tǒng)教學(xué)方法和手段授課時(shí)，使得有些內(nèi)容不能深入細(xì)致地講解，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳。（2）受傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響，忽略了教學(xué)過程中師生的交流和學(xué)習(xí)效果的驗(yàn)收，使學(xué)生陷入思維的惰性中，限制了學(xué)生的批判性、創(chuàng)造性思維能力。因此，如何改革傳統(tǒng)的教學(xué)模式，用新的思路去改進(jìn)現(xiàn)有教學(xué)方法，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，對(duì)作為基礎(chǔ)課程的常微分方程顯得尤為重要。本文從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面探討常微分方程課程的教學(xué)改革。

一、更新教學(xué)內(nèi)容

（一）合理選配教科書和參考書

關(guān)于常微分方程的教材有很多，如何合理地選配教科書和參考書是搞好教學(xué)改革的關(guān)鍵一環(huán)。事實(shí)上，給學(xué)生指定一些參考書，讓他們?cè)谡n余時(shí)間對(duì)照課堂上教師講授的內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)常微分方程這門課程的了解，從而讓他們從單純的課堂中走出來。對(duì)于不同層次的學(xué)生，由于培養(yǎng)目標(biāo)和教學(xué)計(jì)劃的差異而有所區(qū)分，因此應(yīng)根據(jù)學(xué)生具體情況的不同選取教材。

對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可選擇理論內(nèi)容較為豐富的教材[1-2]。對(duì)于此類學(xué)生，他們不但要掌握一些基本的計(jì)算方法和推導(dǎo)公式，如一階微分方程的初等解法、高階微分方程的求解公式及線性微分方程組的求解公式等，還要知道這些公式、方法的具體來源，推導(dǎo)過程。這就需要教師在教授過程中注重這些公式、原理的理論分析與證明，因此對(duì)教材的選取，應(yīng)以理論側(cè)重為主。對(duì)于特別優(yōu)秀的學(xué)生，可直接選用國(guó)外原版教材[3]，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之余提高閱讀外文文獻(xiàn)的能力。對(duì)于基礎(chǔ)一般的學(xué)生來說，側(cè)重于使之掌握相關(guān)公式的應(yīng)用，對(duì)于相關(guān)理論的含義，只需了解其內(nèi)容并能熟練應(yīng)用即可。在教學(xué)上應(yīng)側(cè)重使學(xué)生領(lǐng)會(huì)公式的推導(dǎo)原理和方法，熟練掌握公式的具體運(yùn)用，淡化理論證明為主。因此，可選用理論與計(jì)算兼而有之，側(cè)重于計(jì)算為主的教材[4]。

（二）精心選取教學(xué)內(nèi)容

像常微分方程這樣的基礎(chǔ)課，其教學(xué)內(nèi)容比較經(jīng)典成熟，但仍應(yīng)該根據(jù)科學(xué)和社會(huì)發(fā)展的需要，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)為指導(dǎo)，重新審視教學(xué)內(nèi)容，與時(shí)俱進(jìn)地吐故納新，加入一些最新的前沿性知識(shí)。例如，近幾十年來動(dòng)力系統(tǒng)及其非線性科學(xué)得到了迅猛發(fā)展，極大地促進(jìn)了力學(xué)、物理、生物、地理等領(lǐng)域的發(fā)展，如果能將這方面的新理論新方法同常微分方程中的一些知識(shí)結(jié)合起來進(jìn)行講授，將會(huì)起到很好的效果。

對(duì)于具體的教學(xué)內(nèi)容還應(yīng)在選定教材后，根據(jù)學(xué)時(shí)等的安排合理選擇教學(xué)內(nèi)容。當(dāng)學(xué)時(shí)較少時(shí)，可適當(dāng)刪減一些復(fù)雜且將來會(huì)隨著深造而進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如文獻(xiàn)[1]中的第六章非線性微分方程中的第五、第六節(jié)，以及第七章一階線性偏微分方程。在學(xué)時(shí)較充裕的情況下，可增加一些當(dāng)今微分方程中的熱點(diǎn)問題。例如，加強(qiáng)Picard逼近法及解的存在唯一性證明，將它們同運(yùn)用等價(jià)積分方程建立迭代推導(dǎo)關(guān)系同后面動(dòng)力系統(tǒng)思想聯(lián)系起來，不但給出了存在唯一性的相關(guān)證明，更對(duì)當(dāng)今動(dòng)力系統(tǒng)中的一些思想和觀點(diǎn)給出一定的介紹和闡釋[5]。這樣，不但可以讓學(xué)生學(xué)到的知識(shí)具有前瞻性，而且還可以幫助他們開闊思維，拓展視野，培養(yǎng)興趣，增加學(xué)習(xí)積極性。

二、改進(jìn)教學(xué)方法

（一）傳統(tǒng)教學(xué)法與現(xiàn)代教學(xué)法相結(jié)合

教學(xué)方法一般是指與一定教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)相關(guān)的具體操作程序，是完成教學(xué)任務(wù)所使用的方法。我們可以把現(xiàn)行的教學(xué)方法大體分為傳統(tǒng)教法和現(xiàn)代教法。站在形勢(shì)發(fā)展需要的角度看，傳統(tǒng)教法有其弊端：教師的主要精力在于講授教材，學(xué)生的學(xué)習(xí)是被動(dòng)的、消極的。可是它畢竟是在人類社會(huì)發(fā)展的歷史中流傳下來的，到如今仍有它合理性的一面，有的仍是教師教學(xué)中不可缺少的方法，所以不能一概否定。新方法的出現(xiàn)，是隨著社會(huì)發(fā)展的需要、社會(huì)的變革產(chǎn)生的，是積極的，它與傳統(tǒng)教法的出發(fā)點(diǎn)不同，是從灌輸知識(shí)為主轉(zhuǎn)變到啟發(fā)學(xué)習(xí)為主。在教學(xué)觀念上倡導(dǎo)適應(yīng)個(gè)別差異、因材施教，強(qiáng)調(diào)把教學(xué)的重心從怎么“教”轉(zhuǎn)到怎么“學(xué)”上。若能結(jié)合這兩種方法，在教學(xué)實(shí)踐的應(yīng)用中做全面的、客觀的分析，深入研究，總結(jié)效果，會(huì)大大提高教學(xué)效果。

在常微分方程課程的講授中，有許多公式定理需要推導(dǎo)。若教師只是灌輸式地教學(xué)，學(xué)生只是被動(dòng)地接受，將會(huì)逐漸失去對(duì)這門課程的興趣和積極性。因此，在講授課程的同時(shí)，可將啟發(fā)式、對(duì)話式教學(xué)引入課堂。例如，在講完一階微分方程的初等解法后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生自己考慮幾種常見的一階微分方程的類型之間的關(guān)系，從而引出微分方程中的“化歸思想”。在教學(xué)過程中將講授式與啟發(fā)式教學(xué)結(jié)合起來，不但能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們?cè)诮處煹囊龑?dǎo)和自己的主動(dòng)思考中拓展思維空間和知識(shí)結(jié)構(gòu)，更能讓他們較為全面地掌握系統(tǒng)的理論知識(shí)。

（二）注重考核方式的多元化

恰當(dāng)、正確的考核方式可以及時(shí)反映教師的教學(xué)效果，因此，制定適當(dāng)?shù)目己朔绞绞橇私鈱W(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握情況的有效手段之一。對(duì)此，我們將考核分成三個(gè)部分：學(xué)習(xí)態(tài)度考核、隨機(jī)口試考核、期末考試[6]。

學(xué)習(xí)態(tài)度考核是由教師和課代表平時(shí)詳細(xì)記錄每一個(gè)學(xué)生的出勤、上課表現(xiàn)、作業(yè)完成情況等方面，學(xué)期末由課代表和主講教師共同評(píng)定成績(jī)。隨機(jī)口試考核則是由教師事先準(zhǔn)備一系列的問題，在課堂或課后由學(xué)生隨機(jī)抽取一道題目作答。這種方式可以引導(dǎo)學(xué)生注重常微分方程的基本概念和重要思想，使教師能直接掌握學(xué)生對(duì)知識(shí)細(xì)節(jié)的熟悉度以及學(xué)生的思維能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。期末考試以閉卷的方式進(jìn)行，其內(nèi)容包含本課程的主要理論知識(shí)，應(yīng)突出考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度和運(yùn)用能力。在試題的選定過程中，應(yīng)以考查學(xué)生對(duì)基本概念、基本理論的理解度以及對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用度為基本原則。通過這三方面的考核，不但使教師較全面地把握學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度，也能增進(jìn)學(xué)生與教師之間的學(xué)習(xí)和交流。

三、運(yùn)用多樣化的教學(xué)手段

（一）引入多媒體教學(xué)

使用多媒體教學(xué)是一種新型的教學(xué)模式，需要在教學(xué)過程中不斷總結(jié)與交流，努力將傳統(tǒng)教學(xué)模式的優(yōu)點(diǎn)和現(xiàn)代教學(xué)模式的長(zhǎng)處有機(jī)地結(jié)合起來。實(shí)踐證明：兩者結(jié)合得好壞是新型教學(xué)模式成敗的關(guān)鍵，傳統(tǒng)教學(xué)模式講得好的教師往往使用現(xiàn)代教學(xué)模式也更加成功，原因在于保持了傳統(tǒng)教學(xué)模式的優(yōu)勢(shì)[7]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，多媒體教學(xué)具有傳統(tǒng)教學(xué)模式無法取代的優(yōu)勢(shì)。

圖文并茂，從直觀上展示公式、定理的意義，并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)微分方程的興趣。多媒體教學(xué)利用圖像和圖形的結(jié)合，能夠給學(xué)生更多感官上的刺激。變抽象的定理內(nèi)容為具體，這就使學(xué)生更容易理解和掌握教學(xué)內(nèi)容。節(jié)省課堂時(shí)間，提高教學(xué)效率。常微分方程課程涉及大量復(fù)雜煩瑣的公式計(jì)算和定理的推導(dǎo)，如果只使用黑板加粉筆的傳統(tǒng)教學(xué)模式，將在板書上花費(fèi)過多的時(shí)間和精力。若能合理地運(yùn)用多媒體教學(xué)，把需要的教學(xué)內(nèi)容制作成簡(jiǎn)潔、生動(dòng)的課件，并直接在課堂上播放，便能大大減少教師花在板書上的時(shí)間，使教學(xué)內(nèi)容變得緊湊而有條理。

（二） 充分利用網(wǎng)絡(luò)資源

由于課堂教學(xué)在時(shí)間上的限制，學(xué)生無法完全掌握在課堂上所學(xué)的知識(shí)。對(duì)此，一方面教師可以利用課余時(shí)間對(duì)學(xué)生的課程進(jìn)行輔導(dǎo)和講解。在答疑過程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，進(jìn)一步梳理重、難點(diǎn)，提煉出自己的想法和觀點(diǎn)，這樣才能較好地發(fā)揮答疑的作用。另一方面還可充分利用網(wǎng)絡(luò)資源。如將課件上傳到校園網(wǎng)上供學(xué)生自學(xué)；通過QQ或電子郵件等網(wǎng)絡(luò)工具，這便打破了學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)間上的限制，真正實(shí)現(xiàn)了教學(xué)相長(zhǎng)，同時(shí)調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，彌補(bǔ)了課堂教學(xué)的不足，進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量。

在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)課時(shí)等因素合理安排教學(xué)內(nèi)容，注意避簡(jiǎn)就難，突出解決重點(diǎn)、難點(diǎn)。授課時(shí)不拘泥于教材內(nèi)容的排序，注重對(duì)各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重組和精煉。注重討論式教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)。充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主式、探究式學(xué)習(xí)。針對(duì)學(xué)生平時(shí)的考核，了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況，進(jìn)而不斷改進(jìn)和提高教學(xué)方法和教學(xué)手段，認(rèn)真總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從而逐步提高該課程的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平。

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