巧用“”解個(gè)數(shù)問題

杜占明

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；個(gè)數(shù)問題；

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）19—0118—01

所謂特殊公式，就是運(yùn)用基本公式經(jīng)過變形和推導(dǎo)得出的公式，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用特殊公式能簡化解題過程，提高解題效率，也能解決一定按常規(guī)思路和方法解決不了的問題，便于學(xué)生形成技能技巧.但要注意的是巧用特殊公式時(shí)，一定要注意特殊公式的使用條件，不能一概而論.下面以“”這個(gè)特殊公式舉例說明在解個(gè)數(shù)問題方面的一些妙用.

1.用公式求線段的條數(shù)

例，如圖1（1），在直線l上畫一個(gè)點(diǎn)時(shí)，直線上的線段有0條；如圖1（2），畫2個(gè)點(diǎn)時(shí)，有1條線段；如圖1（3），畫3個(gè)點(diǎn)時(shí)，有3條線段；畫4個(gè)點(diǎn)時(shí)，有6條線段，那么如果在直線上畫不同的10個(gè)點(diǎn)時(shí)，可得到多少條不同的線段？在直線上畫n個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，有多少條不同的線段？

分析：當(dāng)直線l上畫2個(gè)點(diǎn)A、B時(shí)，如圖1（2），以A為一個(gè)端點(diǎn)，與另外一個(gè)點(diǎn)B能組成線段AB，以B為一個(gè)端點(diǎn)，與另外一個(gè)點(diǎn)A能組成線段BA，而線段AB和線段BA是同一條線段，因此直線l上畫2個(gè)點(diǎn)時(shí)有1條線段.

當(dāng)直線l上畫3個(gè)點(diǎn)A、B、C時(shí)，如圖1（3），直線l上有3條線段.

當(dāng)直線l上畫4個(gè)點(diǎn)時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)與其余3個(gè)點(diǎn)都能組成一條線段，這樣共有4×3=12條線段，而這12條線段中，每條線段都出現(xiàn)了兩次，即共有6條不同的線段.

當(dāng)直線l上畫10個(gè)點(diǎn)時(shí)，依據(jù)以上規(guī)律，共有=45條不同的線段.

當(dāng)直線l上畫n個(gè)點(diǎn)時(shí)，依據(jù)以上規(guī)律，共有 條不同的線段.

2.用公式求角的個(gè)數(shù)

例，如圖2（1），在銳角∠AOB的內(nèi)部畫一條射線，可得3個(gè)不同的銳角；如圖2（2）畫2條不同的射線，可得6個(gè)不同的銳角；如圖2（3）畫3條不同的射線，可得10個(gè)不同的銳角；那么照此規(guī)律，畫10條不同的射線，可得多少個(gè)不同的銳角？畫n條不同的射線呢？

分析：在圖2（1）中，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫一條射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有3條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余兩條射線可組成2個(gè)銳角，這樣共可組成3×2=6個(gè)銳角，而每一個(gè)銳角出現(xiàn)兩次，則可得到=3個(gè)不同的銳角.

在圖2（2）中，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫兩條射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有4條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余三條射線可組成3個(gè)銳角，這樣共可組成4×3=12個(gè)銳角，而每一個(gè)銳角出現(xiàn)兩次，則可得到=6個(gè)不同的銳角.

在圖2（3）中，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫三條射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有5條射線，根據(jù)以上規(guī)律，則可得到=10個(gè)不同的銳角.

因此，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫10條不同的射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有12條射線，根據(jù)以上規(guī)律，則可得到=66個(gè)不同的銳角.

在銳角∠AOB的內(nèi)部畫n條不同的射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有（n+2）條射線，根據(jù)以上規(guī)律，則可得到=個(gè)不同的銳角.

歸納：當(dāng)以O(shè)為端點(diǎn)共畫n條不同的射線組成銳角，則可得到個(gè)不同的銳角.

3.用公式求直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

例，平面內(nèi)有2條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)；平面內(nèi)有3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；平面內(nèi)有4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn).那么5條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？如果有n條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？

分析：5條直線相交，其中每一條直線與其余四條直線各有一個(gè)交點(diǎn)，則共有5×4=20個(gè)交點(diǎn)，而每兩條直線相交各重復(fù)一次，則最多有=10個(gè)交點(diǎn).

根據(jù)以上規(guī)律，有n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn).

編輯：謝穎麗endprint

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；個(gè)數(shù)問題；

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）19—0118—01

所謂特殊公式，就是運(yùn)用基本公式經(jīng)過變形和推導(dǎo)得出的公式，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用特殊公式能簡化解題過程，提高解題效率，也能解決一定按常規(guī)思路和方法解決不了的問題，便于學(xué)生形成技能技巧.但要注意的是巧用特殊公式時(shí)，一定要注意特殊公式的使用條件，不能一概而論.下面以“”這個(gè)特殊公式舉例說明在解個(gè)數(shù)問題方面的一些妙用.

1.用公式求線段的條數(shù)

例，如圖1（1），在直線l上畫一個(gè)點(diǎn)時(shí)，直線上的線段有0條；如圖1（2），畫2個(gè)點(diǎn)時(shí)，有1條線段；如圖1（3），畫3個(gè)點(diǎn)時(shí)，有3條線段；畫4個(gè)點(diǎn)時(shí)，有6條線段，那么如果在直線上畫不同的10個(gè)點(diǎn)時(shí)，可得到多少條不同的線段？在直線上畫n個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，有多少條不同的線段？

分析：當(dāng)直線l上畫2個(gè)點(diǎn)A、B時(shí)，如圖1（2），以A為一個(gè)端點(diǎn)，與另外一個(gè)點(diǎn)B能組成線段AB，以B為一個(gè)端點(diǎn)，與另外一個(gè)點(diǎn)A能組成線段BA，而線段AB和線段BA是同一條線段，因此直線l上畫2個(gè)點(diǎn)時(shí)有1條線段.

當(dāng)直線l上畫3個(gè)點(diǎn)A、B、C時(shí)，如圖1（3），直線l上有3條線段.

當(dāng)直線l上畫4個(gè)點(diǎn)時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)與其余3個(gè)點(diǎn)都能組成一條線段，這樣共有4×3=12條線段，而這12條線段中，每條線段都出現(xiàn)了兩次，即共有6條不同的線段.

當(dāng)直線l上畫10個(gè)點(diǎn)時(shí)，依據(jù)以上規(guī)律，共有=45條不同的線段.

當(dāng)直線l上畫n個(gè)點(diǎn)時(shí)，依據(jù)以上規(guī)律，共有 條不同的線段.

2.用公式求角的個(gè)數(shù)

例，如圖2（1），在銳角∠AOB的內(nèi)部畫一條射線，可得3個(gè)不同的銳角；如圖2（2）畫2條不同的射線，可得6個(gè)不同的銳角；如圖2（3）畫3條不同的射線，可得10個(gè)不同的銳角；那么照此規(guī)律，畫10條不同的射線，可得多少個(gè)不同的銳角？畫n條不同的射線呢？

分析：在圖2（1）中，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫一條射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有3條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余兩條射線可組成2個(gè)銳角，這樣共可組成3×2=6個(gè)銳角，而每一個(gè)銳角出現(xiàn)兩次，則可得到=3個(gè)不同的銳角.

在圖2（2）中，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫兩條射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有4條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余三條射線可組成3個(gè)銳角，這樣共可組成4×3=12個(gè)銳角，而每一個(gè)銳角出現(xiàn)兩次，則可得到=6個(gè)不同的銳角.

在圖2（3）中，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫三條射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有5條射線，根據(jù)以上規(guī)律，則可得到=10個(gè)不同的銳角.

因此，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫10條不同的射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有12條射線，根據(jù)以上規(guī)律，則可得到=66個(gè)不同的銳角.

在銳角∠AOB的內(nèi)部畫n條不同的射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有（n+2）條射線，根據(jù)以上規(guī)律，則可得到=個(gè)不同的銳角.

歸納：當(dāng)以O(shè)為端點(diǎn)共畫n條不同的射線組成銳角，則可得到個(gè)不同的銳角.

3.用公式求直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

例，平面內(nèi)有2條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)；平面內(nèi)有3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；平面內(nèi)有4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn).那么5條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？如果有n條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？

分析：5條直線相交，其中每一條直線與其余四條直線各有一個(gè)交點(diǎn)，則共有5×4=20個(gè)交點(diǎn)，而每兩條直線相交各重復(fù)一次，則最多有=10個(gè)交點(diǎn).

根據(jù)以上規(guī)律，有n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn).

編輯：謝穎麗endprint

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；個(gè)數(shù)問題；

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）19—0118—01

所謂特殊公式，就是運(yùn)用基本公式經(jīng)過變形和推導(dǎo)得出的公式，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用特殊公式能簡化解題過程，提高解題效率，也能解決一定按常規(guī)思路和方法解決不了的問題，便于學(xué)生形成技能技巧.但要注意的是巧用特殊公式時(shí)，一定要注意特殊公式的使用條件，不能一概而論.下面以“”這個(gè)特殊公式舉例說明在解個(gè)數(shù)問題方面的一些妙用.

1.用公式求線段的條數(shù)

例，如圖1（1），在直線l上畫一個(gè)點(diǎn)時(shí)，直線上的線段有0條；如圖1（2），畫2個(gè)點(diǎn)時(shí)，有1條線段；如圖1（3），畫3個(gè)點(diǎn)時(shí)，有3條線段；畫4個(gè)點(diǎn)時(shí)，有6條線段，那么如果在直線上畫不同的10個(gè)點(diǎn)時(shí)，可得到多少條不同的線段？在直線上畫n個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，有多少條不同的線段？

分析：當(dāng)直線l上畫2個(gè)點(diǎn)A、B時(shí)，如圖1（2），以A為一個(gè)端點(diǎn)，與另外一個(gè)點(diǎn)B能組成線段AB，以B為一個(gè)端點(diǎn)，與另外一個(gè)點(diǎn)A能組成線段BA，而線段AB和線段BA是同一條線段，因此直線l上畫2個(gè)點(diǎn)時(shí)有1條線段.

當(dāng)直線l上畫3個(gè)點(diǎn)A、B、C時(shí)，如圖1（3），直線l上有3條線段.

當(dāng)直線l上畫4個(gè)點(diǎn)時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)與其余3個(gè)點(diǎn)都能組成一條線段，這樣共有4×3=12條線段，而這12條線段中，每條線段都出現(xiàn)了兩次，即共有6條不同的線段.

當(dāng)直線l上畫10個(gè)點(diǎn)時(shí)，依據(jù)以上規(guī)律，共有=45條不同的線段.

當(dāng)直線l上畫n個(gè)點(diǎn)時(shí)，依據(jù)以上規(guī)律，共有 條不同的線段.

2.用公式求角的個(gè)數(shù)

例，如圖2（1），在銳角∠AOB的內(nèi)部畫一條射線，可得3個(gè)不同的銳角；如圖2（2）畫2條不同的射線，可得6個(gè)不同的銳角；如圖2（3）畫3條不同的射線，可得10個(gè)不同的銳角；那么照此規(guī)律，畫10條不同的射線，可得多少個(gè)不同的銳角？畫n條不同的射線呢？

分析：在圖2（1）中，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫一條射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有3條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余兩條射線可組成2個(gè)銳角，這樣共可組成3×2=6個(gè)銳角，而每一個(gè)銳角出現(xiàn)兩次，則可得到=3個(gè)不同的銳角.

在圖2（2）中，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫兩條射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有4條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余三條射線可組成3個(gè)銳角，這樣共可組成4×3=12個(gè)銳角，而每一個(gè)銳角出現(xiàn)兩次，則可得到=6個(gè)不同的銳角.

在圖2（3）中，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫三條射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有5條射線，根據(jù)以上規(guī)律，則可得到=10個(gè)不同的銳角.

因此，在銳角∠AOB的內(nèi)部畫10條不同的射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有12條射線，根據(jù)以上規(guī)律，則可得到=66個(gè)不同的銳角.

在銳角∠AOB的內(nèi)部畫n條不同的射線，這樣以O(shè)為端點(diǎn)，共有（n+2）條射線，根據(jù)以上規(guī)律，則可得到=個(gè)不同的銳角.

歸納：當(dāng)以O(shè)為端點(diǎn)共畫n條不同的射線組成銳角，則可得到個(gè)不同的銳角.

3.用公式求直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

例，平面內(nèi)有2條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)；平面內(nèi)有3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；平面內(nèi)有4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn).那么5條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？如果有n條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？

分析：5條直線相交，其中每一條直線與其余四條直線各有一個(gè)交點(diǎn)，則共有5×4=20個(gè)交點(diǎn)，而每兩條直線相交各重復(fù)一次，則最多有=10個(gè)交點(diǎn).

根據(jù)以上規(guī)律，有n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn).

編輯：謝穎麗endprint