基于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的解題教學(xué)

袁晶

摘要 利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，從結(jié)構(gòu)和本質(zhì)上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，通過聯(lián)想、感知和分析數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)掌握，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)解題教學(xué)

一、 問題的提出

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一個(gè)重要組成部分。在平時(shí)的教學(xué)過程中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題時(shí)不能準(zhǔn)確提取題目中的有用信息，無從下手，或者不能及時(shí)更換思維策略，不知所措， 從而導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的困難。

例1P是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)，Q是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)之間的距離PQ能取到最小值d，那么將d稱為函數(shù)y=f（x）與y=g（x）之間的距離。按這個(gè)定義，求函數(shù)f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之間的距離。

此題選自2013年上海浦東新區(qū)二模試題卷。解決這道題有兩個(gè)突破點(diǎn)：

（1） y=f（x）是一個(gè)冪函數(shù)，圖象就是拋物線y2=x在第一象限的曲線；y=g（x）是圓（x-2）2+y2=1在第一象限的半圓曲線；（2）點(diǎn)P到定圓上點(diǎn)Q的距離，要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到圓心的距離，第二個(gè)突破點(diǎn)是解題的難點(diǎn)。

其實(shí)，解決例1時(shí)，我們?nèi)羰悄苈?lián)想到結(jié)構(gòu)相近的另一類問題，解題就會(huì)有所突破。如

引例：求圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最小距離。

對(duì)于引例，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生抓?。貉芯繄A上的動(dòng)點(diǎn)到某直線的距離，可以借助定點(diǎn)圓心到該直線的距離的探究。利用圓的特征，實(shí)施 從“動(dòng)”到“定”的轉(zhuǎn)化。而結(jié)合引例，再來分析例1，區(qū)別在于y=f（x）的圖象不是直線，且點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，故要設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)P到圓心的距離，進(jìn)而借助函數(shù)解決問題。

從以上解題分析我們能感受到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想對(duì)解題的幫助。教師平時(shí)的解題教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過解題，理解和分析題中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和知識(shí)特征，使得學(xué)生積累并掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而用動(dòng)態(tài)思維做到問題的轉(zhuǎn)化和知識(shí)的創(chuàng)新。

二、 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想

結(jié)構(gòu)思想是皮亞杰等發(fā)展起來的現(xiàn)代教育理論，法國布爾巴基學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的發(fā)展是各種結(jié)構(gòu)的建立和發(fā)展，建立了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想學(xué)說，探討諸多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)間的統(tǒng)一性。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)通常分為兩大類：純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)從宏觀上提出“結(jié)構(gòu)”指代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、順序結(jié)構(gòu)等；另一類為一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育功能而強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)知識(shí)間的廣泛關(guān)聯(lián)性，在此前提下提出的一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如與數(shù)的知識(shí)有關(guān)的復(fù)數(shù)的分類結(jié)構(gòu)、方程或方程組的同解變換結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)應(yīng)用上的各式各樣的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)、解題或證明的程序結(jié)構(gòu)等等。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的核心是“結(jié)構(gòu)”。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想提出通過研究數(shù)學(xué)表面上的差異，探索數(shù)學(xué)知識(shí)間聯(lián)系和一致性的方法和觀點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)與再處理。

可見，運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想實(shí)施數(shù)學(xué)解題教學(xué)，可以幫助學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系，提高學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的效率。在解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，通過解題提高他們分析、解決問題的能力。

三、 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想在解題教學(xué)中的運(yùn)用和實(shí)踐

1. 聯(lián)想數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，尋找知識(shí)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化

注重?cái)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用，有助于學(xué)生整體性數(shù)學(xué)思維水平的提高。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的內(nèi)涵是探索知識(shí)能力間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，以此為指導(dǎo)開展解題教學(xué)，使學(xué)生高層次地抓住問題本質(zhì)。

如例題1，解題教學(xué)過程中，教師運(yùn)用引例，借助變式訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)生通過提取已有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，明確知識(shí)間的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)一步提升和轉(zhuǎn)化已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行創(chuàng)造性思維，找到解決問題的方法。

2. 感知數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，識(shí)別知識(shí)特征，形成數(shù)學(xué)體系

理解和掌握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想有助于學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。一道題目中，一個(gè)已知條件可以有幾種不同的考慮角度，教師在解題教學(xué)過程中，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生，感知題目中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，識(shí)別各種結(jié)構(gòu)具有的知識(shí)特征，進(jìn)而選擇合理的解決方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范圍。

解析：

方法一：感知“兩邊一對(duì)角”的結(jié)構(gòu)特征，想到“用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)”的知識(shí)，借助圖形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再結(jié)合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“兩邊和一角”的結(jié)構(gòu)特征，想到“用余弦定理表示角”的知識(shí)，設(shè)AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，結(jié)合x的范圍利用基本不等式，得cosC≥32，再結(jié)合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的邊AB∩BC=B”的結(jié)構(gòu)特征，想到“借助作三角形圖，觀察動(dòng)角C的變化”的知識(shí)，先確定邊BC，再以B為圓心，1為半徑作圓，畫出頂點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而確定角C的變化，再結(jié)合C∈0，π，得C∈0，π6。

可見，學(xué)生審題過程中會(huì)出現(xiàn)多種思想火花，教師在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的指導(dǎo)下，不要隨意否定學(xué)生，應(yīng)該讓學(xué)生通過一題多解積累多種數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)知識(shí)體系。

3. 分析數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，合情歸納推理，達(dá)成目標(biāo)簡化

解題時(shí)，學(xué)生有時(shí)不能很快明確其中的突破點(diǎn)，教師在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想觀下，引導(dǎo)學(xué)生合情推理，通過特殊到一般、類比歸納等方式，重新明確問題，進(jìn)一步地分析其中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，以達(dá)成目標(biāo)的簡化。

例3（江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2013—2014學(xué)年第一學(xué)期月考23題）

電子蛙跳游戲是： 青蛙第一步從如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1頂點(diǎn)A起跳，每步從一頂點(diǎn)跳到相鄰的頂點(diǎn).

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根據(jù)解題過程中（1）的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，借助歸類進(jìn)一步認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)際是分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。利用樹形圖，合情推理和猜想，對(duì)結(jié)構(gòu)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)，從而應(yīng)用結(jié)構(gòu)，對(duì)相似結(jié)構(gòu)處理方法和過程等進(jìn)行合理遷移。

四、 結(jié)論

基于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，不單是教會(huì)學(xué)生解決某一道題，也不是提倡“形式主義”，而是要通過解題，借助變式、一題多解等教學(xué)方式，讓學(xué)生領(lǐng)悟各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，體會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和模型，加深鞏固所學(xué)的公式、概念和定理等，引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)聯(lián)系，識(shí)別知識(shí)特征，合情歸納推理，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫曉天.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的思想與方法及其影響[J].東北師大學(xué)報(bào)自然科學(xué)版.1988（4）：25～29

[2]張奠宙，李士錡，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M].高等教育出版社，2003

[3]張宏斌.試述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].遼寧教育行政學(xué)院學(xué)報(bào).2006（12）：125

[4] 沈良.略談數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的解題與教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通訊.2012（12）：1

（江蘇省無錫市第六高級(jí)中學(xué)）endprint

摘要 利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，從結(jié)構(gòu)和本質(zhì)上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，通過聯(lián)想、感知和分析數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)掌握，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)解題教學(xué)

一、 問題的提出

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一個(gè)重要組成部分。在平時(shí)的教學(xué)過程中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題時(shí)不能準(zhǔn)確提取題目中的有用信息，無從下手，或者不能及時(shí)更換思維策略，不知所措， 從而導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的困難。

例1P是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)，Q是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)之間的距離PQ能取到最小值d，那么將d稱為函數(shù)y=f（x）與y=g（x）之間的距離。按這個(gè)定義，求函數(shù)f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之間的距離。

此題選自2013年上海浦東新區(qū)二模試題卷。解決這道題有兩個(gè)突破點(diǎn)：

（1） y=f（x）是一個(gè)冪函數(shù)，圖象就是拋物線y2=x在第一象限的曲線；y=g（x）是圓（x-2）2+y2=1在第一象限的半圓曲線；（2）點(diǎn)P到定圓上點(diǎn)Q的距離，要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到圓心的距離，第二個(gè)突破點(diǎn)是解題的難點(diǎn)。

其實(shí)，解決例1時(shí)，我們?nèi)羰悄苈?lián)想到結(jié)構(gòu)相近的另一類問題，解題就會(huì)有所突破。如

引例：求圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最小距離。

對(duì)于引例，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生抓住：研究圓上的動(dòng)點(diǎn)到某直線的距離，可以借助定點(diǎn)圓心到該直線的距離的探究。利用圓的特征，實(shí)施 從“動(dòng)”到“定”的轉(zhuǎn)化。而結(jié)合引例，再來分析例1，區(qū)別在于y=f（x）的圖象不是直線，且點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，故要設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)P到圓心的距離，進(jìn)而借助函數(shù)解決問題。

從以上解題分析我們能感受到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想對(duì)解題的幫助。教師平時(shí)的解題教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過解題，理解和分析題中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和知識(shí)特征，使得學(xué)生積累并掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而用動(dòng)態(tài)思維做到問題的轉(zhuǎn)化和知識(shí)的創(chuàng)新。

二、 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想

結(jié)構(gòu)思想是皮亞杰等發(fā)展起來的現(xiàn)代教育理論，法國布爾巴基學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的發(fā)展是各種結(jié)構(gòu)的建立和發(fā)展，建立了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想學(xué)說，探討諸多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)間的統(tǒng)一性。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)通常分為兩大類：純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)從宏觀上提出“結(jié)構(gòu)”指代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、順序結(jié)構(gòu)等；另一類為一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育功能而強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)知識(shí)間的廣泛關(guān)聯(lián)性，在此前提下提出的一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如與數(shù)的知識(shí)有關(guān)的復(fù)數(shù)的分類結(jié)構(gòu)、方程或方程組的同解變換結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)應(yīng)用上的各式各樣的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)、解題或證明的程序結(jié)構(gòu)等等。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的核心是“結(jié)構(gòu)”。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想提出通過研究數(shù)學(xué)表面上的差異，探索數(shù)學(xué)知識(shí)間聯(lián)系和一致性的方法和觀點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)與再處理。

可見，運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想實(shí)施數(shù)學(xué)解題教學(xué)，可以幫助學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系，提高學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的效率。在解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，通過解題提高他們分析、解決問題的能力。

三、 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想在解題教學(xué)中的運(yùn)用和實(shí)踐

1. 聯(lián)想數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，尋找知識(shí)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化

注重?cái)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用，有助于學(xué)生整體性數(shù)學(xué)思維水平的提高。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的內(nèi)涵是探索知識(shí)能力間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，以此為指導(dǎo)開展解題教學(xué)，使學(xué)生高層次地抓住問題本質(zhì)。

如例題1，解題教學(xué)過程中，教師運(yùn)用引例，借助變式訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)生通過提取已有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，明確知識(shí)間的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)一步提升和轉(zhuǎn)化已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行創(chuàng)造性思維，找到解決問題的方法。

2. 感知數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，識(shí)別知識(shí)特征，形成數(shù)學(xué)體系

理解和掌握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想有助于學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。一道題目中，一個(gè)已知條件可以有幾種不同的考慮角度，教師在解題教學(xué)過程中，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生，感知題目中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，識(shí)別各種結(jié)構(gòu)具有的知識(shí)特征，進(jìn)而選擇合理的解決方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范圍。

解析：

方法一：感知“兩邊一對(duì)角”的結(jié)構(gòu)特征，想到“用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)”的知識(shí)，借助圖形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再結(jié)合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“兩邊和一角”的結(jié)構(gòu)特征，想到“用余弦定理表示角”的知識(shí)，設(shè)AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，結(jié)合x的范圍利用基本不等式，得cosC≥32，再結(jié)合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的邊AB∩BC=B”的結(jié)構(gòu)特征，想到“借助作三角形圖，觀察動(dòng)角C的變化”的知識(shí)，先確定邊BC，再以B為圓心，1為半徑作圓，畫出頂點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而確定角C的變化，再結(jié)合C∈0，π，得C∈0，π6。

可見，學(xué)生審題過程中會(huì)出現(xiàn)多種思想火花，教師在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的指導(dǎo)下，不要隨意否定學(xué)生，應(yīng)該讓學(xué)生通過一題多解積累多種數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)知識(shí)體系。

3. 分析數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，合情歸納推理，達(dá)成目標(biāo)簡化

解題時(shí)，學(xué)生有時(shí)不能很快明確其中的突破點(diǎn)，教師在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想觀下，引導(dǎo)學(xué)生合情推理，通過特殊到一般、類比歸納等方式，重新明確問題，進(jìn)一步地分析其中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，以達(dá)成目標(biāo)的簡化。

例3（江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2013—2014學(xué)年第一學(xué)期月考23題）

電子蛙跳游戲是： 青蛙第一步從如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1頂點(diǎn)A起跳，每步從一頂點(diǎn)跳到相鄰的頂點(diǎn).

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根據(jù)解題過程中（1）的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，借助歸類進(jìn)一步認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)際是分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。利用樹形圖，合情推理和猜想，對(duì)結(jié)構(gòu)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)，從而應(yīng)用結(jié)構(gòu)，對(duì)相似結(jié)構(gòu)處理方法和過程等進(jìn)行合理遷移。

四、 結(jié)論

基于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，不單是教會(huì)學(xué)生解決某一道題，也不是提倡“形式主義”，而是要通過解題，借助變式、一題多解等教學(xué)方式，讓學(xué)生領(lǐng)悟各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，體會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和模型，加深鞏固所學(xué)的公式、概念和定理等，引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)聯(lián)系，識(shí)別知識(shí)特征，合情歸納推理，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫曉天.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的思想與方法及其影響[J].東北師大學(xué)報(bào)自然科學(xué)版.1988（4）：25～29

[2]張奠宙，李士錡，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M].高等教育出版社，2003

[3]張宏斌.試述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].遼寧教育行政學(xué)院學(xué)報(bào).2006（12）：125

[4] 沈良.略談數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的解題與教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通訊.2012（12）：1

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摘要 利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，從結(jié)構(gòu)和本質(zhì)上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，通過聯(lián)想、感知和分析數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)掌握，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)解題教學(xué)

一、 問題的提出

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一個(gè)重要組成部分。在平時(shí)的教學(xué)過程中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題時(shí)不能準(zhǔn)確提取題目中的有用信息，無從下手，或者不能及時(shí)更換思維策略，不知所措， 從而導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的困難。

例1P是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)，Q是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)之間的距離PQ能取到最小值d，那么將d稱為函數(shù)y=f（x）與y=g（x）之間的距離。按這個(gè)定義，求函數(shù)f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之間的距離。

此題選自2013年上海浦東新區(qū)二模試題卷。解決這道題有兩個(gè)突破點(diǎn)：

（1） y=f（x）是一個(gè)冪函數(shù)，圖象就是拋物線y2=x在第一象限的曲線；y=g（x）是圓（x-2）2+y2=1在第一象限的半圓曲線；（2）點(diǎn)P到定圓上點(diǎn)Q的距離，要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到圓心的距離，第二個(gè)突破點(diǎn)是解題的難點(diǎn)。

其實(shí)，解決例1時(shí)，我們?nèi)羰悄苈?lián)想到結(jié)構(gòu)相近的另一類問題，解題就會(huì)有所突破。如

引例：求圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最小距離。

對(duì)于引例，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生抓住：研究圓上的動(dòng)點(diǎn)到某直線的距離，可以借助定點(diǎn)圓心到該直線的距離的探究。利用圓的特征，實(shí)施 從“動(dòng)”到“定”的轉(zhuǎn)化。而結(jié)合引例，再來分析例1，區(qū)別在于y=f（x）的圖象不是直線，且點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，故要設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)P到圓心的距離，進(jìn)而借助函數(shù)解決問題。

從以上解題分析我們能感受到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想對(duì)解題的幫助。教師平時(shí)的解題教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過解題，理解和分析題中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和知識(shí)特征，使得學(xué)生積累并掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而用動(dòng)態(tài)思維做到問題的轉(zhuǎn)化和知識(shí)的創(chuàng)新。

二、 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想

結(jié)構(gòu)思想是皮亞杰等發(fā)展起來的現(xiàn)代教育理論，法國布爾巴基學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的發(fā)展是各種結(jié)構(gòu)的建立和發(fā)展，建立了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想學(xué)說，探討諸多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)間的統(tǒng)一性。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)通常分為兩大類：純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)從宏觀上提出“結(jié)構(gòu)”指代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、順序結(jié)構(gòu)等；另一類為一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育功能而強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)知識(shí)間的廣泛關(guān)聯(lián)性，在此前提下提出的一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如與數(shù)的知識(shí)有關(guān)的復(fù)數(shù)的分類結(jié)構(gòu)、方程或方程組的同解變換結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)應(yīng)用上的各式各樣的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)、解題或證明的程序結(jié)構(gòu)等等。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的核心是“結(jié)構(gòu)”。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想提出通過研究數(shù)學(xué)表面上的差異，探索數(shù)學(xué)知識(shí)間聯(lián)系和一致性的方法和觀點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)與再處理。

可見，運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想實(shí)施數(shù)學(xué)解題教學(xué)，可以幫助學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系，提高學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的效率。在解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，通過解題提高他們分析、解決問題的能力。

三、 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想在解題教學(xué)中的運(yùn)用和實(shí)踐

1. 聯(lián)想數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，尋找知識(shí)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化

注重?cái)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用，有助于學(xué)生整體性數(shù)學(xué)思維水平的提高。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的內(nèi)涵是探索知識(shí)能力間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，以此為指導(dǎo)開展解題教學(xué)，使學(xué)生高層次地抓住問題本質(zhì)。

如例題1，解題教學(xué)過程中，教師運(yùn)用引例，借助變式訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)生通過提取已有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，明確知識(shí)間的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)一步提升和轉(zhuǎn)化已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行創(chuàng)造性思維，找到解決問題的方法。

2. 感知數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，識(shí)別知識(shí)特征，形成數(shù)學(xué)體系

理解和掌握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想有助于學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。一道題目中，一個(gè)已知條件可以有幾種不同的考慮角度，教師在解題教學(xué)過程中，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生，感知題目中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，識(shí)別各種結(jié)構(gòu)具有的知識(shí)特征，進(jìn)而選擇合理的解決方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范圍。

解析：

方法一：感知“兩邊一對(duì)角”的結(jié)構(gòu)特征，想到“用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)”的知識(shí)，借助圖形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再結(jié)合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“兩邊和一角”的結(jié)構(gòu)特征，想到“用余弦定理表示角”的知識(shí)，設(shè)AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，結(jié)合x的范圍利用基本不等式，得cosC≥32，再結(jié)合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的邊AB∩BC=B”的結(jié)構(gòu)特征，想到“借助作三角形圖，觀察動(dòng)角C的變化”的知識(shí)，先確定邊BC，再以B為圓心，1為半徑作圓，畫出頂點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而確定角C的變化，再結(jié)合C∈0，π，得C∈0，π6。

可見，學(xué)生審題過程中會(huì)出現(xiàn)多種思想火花，教師在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的指導(dǎo)下，不要隨意否定學(xué)生，應(yīng)該讓學(xué)生通過一題多解積累多種數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)知識(shí)體系。

3. 分析數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，合情歸納推理，達(dá)成目標(biāo)簡化

解題時(shí)，學(xué)生有時(shí)不能很快明確其中的突破點(diǎn)，教師在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想觀下，引導(dǎo)學(xué)生合情推理，通過特殊到一般、類比歸納等方式，重新明確問題，進(jìn)一步地分析其中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，以達(dá)成目標(biāo)的簡化。

例3（江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2013—2014學(xué)年第一學(xué)期月考23題）

電子蛙跳游戲是： 青蛙第一步從如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1頂點(diǎn)A起跳，每步從一頂點(diǎn)跳到相鄰的頂點(diǎn).

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根據(jù)解題過程中（1）的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，借助歸類進(jìn)一步認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)際是分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。利用樹形圖，合情推理和猜想，對(duì)結(jié)構(gòu)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)，從而應(yīng)用結(jié)構(gòu)，對(duì)相似結(jié)構(gòu)處理方法和過程等進(jìn)行合理遷移。

四、 結(jié)論

基于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，不單是教會(huì)學(xué)生解決某一道題，也不是提倡“形式主義”，而是要通過解題，借助變式、一題多解等教學(xué)方式，讓學(xué)生領(lǐng)悟各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，體會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和模型，加深鞏固所學(xué)的公式、概念和定理等，引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)聯(lián)系，識(shí)別知識(shí)特征，合情歸納推理，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

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[2]張奠宙，李士錡，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M].高等教育出版社，2003

[3]張宏斌.試述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].遼寧教育行政學(xué)院學(xué)報(bào).2006（12）：125

[4] 沈良.略談數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的解題與教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通訊.2012（12）：1

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