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    數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“悄悄話”

    2014-10-30 23:32:17陳敏吳寶瑩
    新高考·教師版 2014年1期
    關(guān)鍵詞:符號(hào)語(yǔ)言充分條件悄悄話

    陳敏 吳寶瑩

    摘要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流和應(yīng)用的基礎(chǔ),針對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有不同的理解方法與竅門(mén),加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換,不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,

    也能有效提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力.

    關(guān)鍵詞符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖表語(yǔ)言理解

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的一種工具,它是以符號(hào)表達(dá)為主的高度抽象的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想最終要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)并獲得理解、掌握、交流和應(yīng)用.顯然數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是基礎(chǔ),是前提.那么如何理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢?數(shù)學(xué)語(yǔ)言有“悄悄話”要

    說(shuō)一說(shuō).

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非日常和非自然的語(yǔ)言,其中一部分是被規(guī)定或定義的,用來(lái)表示理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象,數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi).

    一、 “悄悄話”之把握根本要義,適度通俗化理解文字語(yǔ)言

    文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化的自然語(yǔ)言,或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.自然語(yǔ)言常具有模糊性,而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,容不得含?所以,數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言的簡(jiǎn)單移植或組合,而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的,并且這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義,常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn).數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的理解最重要的是把握其根本要義.

    如對(duì)簡(jiǎn)易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念,我們感到比較抽象,尤其是必要條件的理解有困難.筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)flash

    笑話情境:一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室前走過(guò),聽(tīng)到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧.老板p對(duì)小秘q說(shuō):“有我p在,就有你q吃香的喝辣的!”小秘q很不服氣,氣急敗壞地說(shuō):“你的底細(xì)我可全清楚,我完蛋了,你也完蛋了!”兩個(gè)人都?xì)饧睌?,互不相讓?zhuān)@時(shí)數(shù)學(xué)家走上前,不緊不慢地說(shuō):“你們所說(shuō)的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問(wèn)題,

    老板在是小秘吃香的喝辣的充分條件,而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要條件.”這個(gè)小笑話在諷刺丑惡現(xiàn)象的同時(shí),揭示了“充分條件與必要條件”概念的根本要義,若pq,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.這是因?yàn)橹灰猵成立,q就成立,p對(duì)q來(lái)說(shuō)就足夠了,就充分了;但是若q不成立,p就不成立,所以q對(duì)p來(lái)說(shuō)是必要的.

    二、 “悄悄話”之追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化理解符號(hào)語(yǔ)言

    符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言,是在人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式.符號(hào)語(yǔ)言的理解可以用追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化等方法.

    首先,追根溯源,搞清符號(hào)語(yǔ)言是如何產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言又分為三種:象形符號(hào)語(yǔ)言、縮寫(xiě)符號(hào)語(yǔ)言以及約定符號(hào)語(yǔ)言.如幾何學(xué)中的符號(hào)△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造,屬于象形符號(hào).縮寫(xiě)符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫(xiě)或加以改造而成的符號(hào),比如自然數(shù)

    再如橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系:離心率e越小橢圓越圓,e越大橢圓越扁.對(duì)此死記硬背,容易混淆搞錯(cuò),把這一規(guī)律形象化就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)闄E圓離心率e∈(0,1),如圖2,e越小即越靠近0,因?yàn)?比較圓滿,所以橢圓越圓,e越大即越靠近1,因?yàn)?比較扁平,所以橢圓越扁.(可以把0和1寫(xiě)得夸張一些) 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關(guān)系就形象地牢牢地“畫(huà)”在了學(xué)生的腦子里,永遠(yuǎn)不會(huì)忘記!

    三、 “悄悄話”之撥開(kāi)表面迷霧,洞察問(wèn)題本質(zhì)理解圖表語(yǔ)言

    圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形、圖象或表格,可細(xì)分為圖形語(yǔ)言(幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等)、圖象語(yǔ)言(函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等)和表格語(yǔ)言(統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等),它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介,也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果,

    同時(shí)還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具.圖表語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言,其特點(diǎn)是直觀形象、易于理解,但是直觀形象有時(shí)會(huì)表現(xiàn)為一種假象,理解圖表語(yǔ)言特別要撥開(kāi)表面迷霧,透過(guò)現(xiàn)象洞察問(wèn)題的本質(zhì).

    如圖3,一電工沿著豎立的梯子LN往上爬,當(dāng)他爬到中點(diǎn)M處時(shí),由于地面太滑,梯子沿墻面與地面滑下,則M點(diǎn)的軌跡是()

    由于梯子滑行的直覺(jué)表象,我們常常會(huì)選A.而實(shí)際上,根據(jù)直角三角形“斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)距離等于斜邊長(zhǎng)的一半”,斜邊長(zhǎng)即梯子LN的長(zhǎng)度是定值,所以M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離始終是梯子LN的長(zhǎng)度的一半,其軌跡是應(yīng)當(dāng)是以原點(diǎn)O為圓心、LN2為半徑的圓弧,應(yīng)選C.

    四、 對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”的“悄悄話”

    以上是如何理解符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的“悄悄話”,事實(shí)上,這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)勢(shì)與不足:文字語(yǔ)言通俗、易懂,但描述起來(lái)是線性的,不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu);符號(hào)語(yǔ)言抽象,但簡(jiǎn)潔、精確;圖表語(yǔ)言直觀形象,但不嚴(yán)謹(jǐn).所以,一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的有機(jī)融合.對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”筆者想說(shuō)的“悄悄話”就是:“要靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,做到揚(yáng)長(zhǎng)避短,優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”.這一點(diǎn)在立體幾何中得到充分的體現(xiàn),如直線與平面平行的性質(zhì)定理的文字語(yǔ)言為:

    加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,也是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力的有效途徑.如符號(hào)語(yǔ)言“實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=1,求x+y-2的取值范圍”,可根據(jù)其幾何意義,理解為單位圓上的任意點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍,也可以令t=x+y-2,其中t+2是平行直線系y=-x+t+2在y軸上的截距,利用線性規(guī)劃解決.這樣通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解.

    (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué))

    摘要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流和應(yīng)用的基礎(chǔ),針對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有不同的理解方法與竅門(mén),加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換,不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,

    也能有效提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力.

    關(guān)鍵詞符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖表語(yǔ)言理解

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的一種工具,它是以符號(hào)表達(dá)為主的高度抽象的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想最終要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)并獲得理解、掌握、交流和應(yīng)用.顯然數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是基礎(chǔ),是前提.那么如何理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢?數(shù)學(xué)語(yǔ)言有“悄悄話”要

    說(shuō)一說(shuō).

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非日常和非自然的語(yǔ)言,其中一部分是被規(guī)定或定義的,用來(lái)表示理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象,數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi).

    一、 “悄悄話”之把握根本要義,適度通俗化理解文字語(yǔ)言

    文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化的自然語(yǔ)言,或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.自然語(yǔ)言常具有模糊性,而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,容不得含?所以,數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言的簡(jiǎn)單移植或組合,而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的,并且這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義,常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn).數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的理解最重要的是把握其根本要義.

    如對(duì)簡(jiǎn)易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念,我們感到比較抽象,尤其是必要條件的理解有困難.筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)flash

    笑話情境:一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室前走過(guò),聽(tīng)到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧.老板p對(duì)小秘q說(shuō):“有我p在,就有你q吃香的喝辣的!”小秘q很不服氣,氣急敗壞地說(shuō):“你的底細(xì)我可全清楚,我完蛋了,你也完蛋了!”兩個(gè)人都?xì)饧睌模ゲ幌嘧專(zhuān)@時(shí)數(shù)學(xué)家走上前,不緊不慢地說(shuō):“你們所說(shuō)的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問(wèn)題,

    老板在是小秘吃香的喝辣的充分條件,而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要條件.”這個(gè)小笑話在諷刺丑惡現(xiàn)象的同時(shí),揭示了“充分條件與必要條件”概念的根本要義,若pq,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.這是因?yàn)橹灰猵成立,q就成立,p對(duì)q來(lái)說(shuō)就足夠了,就充分了;但是若q不成立,p就不成立,所以q對(duì)p來(lái)說(shuō)是必要的.

    二、 “悄悄話”之追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化理解符號(hào)語(yǔ)言

    符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言,是在人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式.符號(hào)語(yǔ)言的理解可以用追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化等方法.

    首先,追根溯源,搞清符號(hào)語(yǔ)言是如何產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言又分為三種:象形符號(hào)語(yǔ)言、縮寫(xiě)符號(hào)語(yǔ)言以及約定符號(hào)語(yǔ)言.如幾何學(xué)中的符號(hào)△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造,屬于象形符號(hào).縮寫(xiě)符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫(xiě)或加以改造而成的符號(hào),比如自然數(shù)

    再如橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系:離心率e越小橢圓越圓,e越大橢圓越扁.對(duì)此死記硬背,容易混淆搞錯(cuò),把這一規(guī)律形象化就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)闄E圓離心率e∈(0,1),如圖2,e越小即越靠近0,因?yàn)?比較圓滿,所以橢圓越圓,e越大即越靠近1,因?yàn)?比較扁平,所以橢圓越扁.(可以把0和1寫(xiě)得夸張一些) 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關(guān)系就形象地牢牢地“畫(huà)”在了學(xué)生的腦子里,永遠(yuǎn)不會(huì)忘記!

    三、 “悄悄話”之撥開(kāi)表面迷霧,洞察問(wèn)題本質(zhì)理解圖表語(yǔ)言

    圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形、圖象或表格,可細(xì)分為圖形語(yǔ)言(幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等)、圖象語(yǔ)言(函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等)和表格語(yǔ)言(統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等),它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介,也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果,

    同時(shí)還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具.圖表語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言,其特點(diǎn)是直觀形象、易于理解,但是直觀形象有時(shí)會(huì)表現(xiàn)為一種假象,理解圖表語(yǔ)言特別要撥開(kāi)表面迷霧,透過(guò)現(xiàn)象洞察問(wèn)題的本質(zhì).

    如圖3,一電工沿著豎立的梯子LN往上爬,當(dāng)他爬到中點(diǎn)M處時(shí),由于地面太滑,梯子沿墻面與地面滑下,則M點(diǎn)的軌跡是()

    由于梯子滑行的直覺(jué)表象,我們常常會(huì)選A.而實(shí)際上,根據(jù)直角三角形“斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)距離等于斜邊長(zhǎng)的一半”,斜邊長(zhǎng)即梯子LN的長(zhǎng)度是定值,所以M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離始終是梯子LN的長(zhǎng)度的一半,其軌跡是應(yīng)當(dāng)是以原點(diǎn)O為圓心、LN2為半徑的圓弧,應(yīng)選C.

    四、 對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”的“悄悄話”

    以上是如何理解符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的“悄悄話”,事實(shí)上,這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)勢(shì)與不足:文字語(yǔ)言通俗、易懂,但描述起來(lái)是線性的,不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu);符號(hào)語(yǔ)言抽象,但簡(jiǎn)潔、精確;圖表語(yǔ)言直觀形象,但不嚴(yán)謹(jǐn).所以,一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的有機(jī)融合.對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”筆者想說(shuō)的“悄悄話”就是:“要靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,做到揚(yáng)長(zhǎng)避短,優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”.這一點(diǎn)在立體幾何中得到充分的體現(xiàn),如直線與平面平行的性質(zhì)定理的文字語(yǔ)言為:

    加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,也是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力的有效途徑.如符號(hào)語(yǔ)言“實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=1,求x+y-2的取值范圍”,可根據(jù)其幾何意義,理解為單位圓上的任意點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍,也可以令t=x+y-2,其中t+2是平行直線系y=-x+t+2在y軸上的截距,利用線性規(guī)劃解決.這樣通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解.

    (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué))

    摘要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流和應(yīng)用的基礎(chǔ),針對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有不同的理解方法與竅門(mén),加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換,不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,

    也能有效提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力.

    關(guān)鍵詞符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖表語(yǔ)言理解

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的一種工具,它是以符號(hào)表達(dá)為主的高度抽象的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想最終要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)并獲得理解、掌握、交流和應(yīng)用.顯然數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是基礎(chǔ),是前提.那么如何理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢?數(shù)學(xué)語(yǔ)言有“悄悄話”要

    說(shuō)一說(shuō).

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非日常和非自然的語(yǔ)言,其中一部分是被規(guī)定或定義的,用來(lái)表示理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象,數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi).

    一、 “悄悄話”之把握根本要義,適度通俗化理解文字語(yǔ)言

    文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化的自然語(yǔ)言,或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.自然語(yǔ)言常具有模糊性,而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,容不得含?所以,數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言的簡(jiǎn)單移植或組合,而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的,并且這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義,常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn).數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的理解最重要的是把握其根本要義.

    如對(duì)簡(jiǎn)易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念,我們感到比較抽象,尤其是必要條件的理解有困難.筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)flash

    笑話情境:一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室前走過(guò),聽(tīng)到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧.老板p對(duì)小秘q說(shuō):“有我p在,就有你q吃香的喝辣的!”小秘q很不服氣,氣急敗壞地說(shuō):“你的底細(xì)我可全清楚,我完蛋了,你也完蛋了!”兩個(gè)人都?xì)饧睌?,互不相讓?zhuān)@時(shí)數(shù)學(xué)家走上前,不緊不慢地說(shuō):“你們所說(shuō)的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問(wèn)題,

    老板在是小秘吃香的喝辣的充分條件,而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要條件.”這個(gè)小笑話在諷刺丑惡現(xiàn)象的同時(shí),揭示了“充分條件與必要條件”概念的根本要義,若pq,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.這是因?yàn)橹灰猵成立,q就成立,p對(duì)q來(lái)說(shuō)就足夠了,就充分了;但是若q不成立,p就不成立,所以q對(duì)p來(lái)說(shuō)是必要的.

    二、 “悄悄話”之追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化理解符號(hào)語(yǔ)言

    符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言,是在人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式.符號(hào)語(yǔ)言的理解可以用追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化等方法.

    首先,追根溯源,搞清符號(hào)語(yǔ)言是如何產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言又分為三種:象形符號(hào)語(yǔ)言、縮寫(xiě)符號(hào)語(yǔ)言以及約定符號(hào)語(yǔ)言.如幾何學(xué)中的符號(hào)△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造,屬于象形符號(hào).縮寫(xiě)符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫(xiě)或加以改造而成的符號(hào),比如自然數(shù)

    再如橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系:離心率e越小橢圓越圓,e越大橢圓越扁.對(duì)此死記硬背,容易混淆搞錯(cuò),把這一規(guī)律形象化就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)闄E圓離心率e∈(0,1),如圖2,e越小即越靠近0,因?yàn)?比較圓滿,所以橢圓越圓,e越大即越靠近1,因?yàn)?比較扁平,所以橢圓越扁.(可以把0和1寫(xiě)得夸張一些) 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關(guān)系就形象地牢牢地“畫(huà)”在了學(xué)生的腦子里,永遠(yuǎn)不會(huì)忘記!

    三、 “悄悄話”之撥開(kāi)表面迷霧,洞察問(wèn)題本質(zhì)理解圖表語(yǔ)言

    圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形、圖象或表格,可細(xì)分為圖形語(yǔ)言(幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等)、圖象語(yǔ)言(函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等)和表格語(yǔ)言(統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等),它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介,也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果,

    同時(shí)還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具.圖表語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言,其特點(diǎn)是直觀形象、易于理解,但是直觀形象有時(shí)會(huì)表現(xiàn)為一種假象,理解圖表語(yǔ)言特別要撥開(kāi)表面迷霧,透過(guò)現(xiàn)象洞察問(wèn)題的本質(zhì).

    如圖3,一電工沿著豎立的梯子LN往上爬,當(dāng)他爬到中點(diǎn)M處時(shí),由于地面太滑,梯子沿墻面與地面滑下,則M點(diǎn)的軌跡是()

    由于梯子滑行的直覺(jué)表象,我們常常會(huì)選A.而實(shí)際上,根據(jù)直角三角形“斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)距離等于斜邊長(zhǎng)的一半”,斜邊長(zhǎng)即梯子LN的長(zhǎng)度是定值,所以M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離始終是梯子LN的長(zhǎng)度的一半,其軌跡是應(yīng)當(dāng)是以原點(diǎn)O為圓心、LN2為半徑的圓弧,應(yīng)選C.

    四、 對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”的“悄悄話”

    以上是如何理解符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的“悄悄話”,事實(shí)上,這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)勢(shì)與不足:文字語(yǔ)言通俗、易懂,但描述起來(lái)是線性的,不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu);符號(hào)語(yǔ)言抽象,但簡(jiǎn)潔、精確;圖表語(yǔ)言直觀形象,但不嚴(yán)謹(jǐn).所以,一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的有機(jī)融合.對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”筆者想說(shuō)的“悄悄話”就是:“要靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,做到揚(yáng)長(zhǎng)避短,優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”.這一點(diǎn)在立體幾何中得到充分的體現(xiàn),如直線與平面平行的性質(zhì)定理的文字語(yǔ)言為:

    加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,也是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力的有效途徑.如符號(hào)語(yǔ)言“實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=1,求x+y-2的取值范圍”,可根據(jù)其幾何意義,理解為單位圓上的任意點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍,也可以令t=x+y-2,其中t+2是平行直線系y=-x+t+2在y軸上的截距,利用線性規(guī)劃解決.這樣通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解.

    (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué))

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