• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“悄悄話”

    2014-10-30 23:32:17陳敏吳寶瑩
    新高考·教師版 2014年1期
    關(guān)鍵詞:符號(hào)語(yǔ)言充分條件悄悄話

    陳敏 吳寶瑩

    摘要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流和應(yīng)用的基礎(chǔ),針對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有不同的理解方法與竅門(mén),加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換,不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,

    也能有效提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力.

    關(guān)鍵詞符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖表語(yǔ)言理解

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的一種工具,它是以符號(hào)表達(dá)為主的高度抽象的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想最終要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)并獲得理解、掌握、交流和應(yīng)用.顯然數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是基礎(chǔ),是前提.那么如何理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢?數(shù)學(xué)語(yǔ)言有“悄悄話”要

    說(shuō)一說(shuō).

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非日常和非自然的語(yǔ)言,其中一部分是被規(guī)定或定義的,用來(lái)表示理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象,數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi).

    一、 “悄悄話”之把握根本要義,適度通俗化理解文字語(yǔ)言

    文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化的自然語(yǔ)言,或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.自然語(yǔ)言常具有模糊性,而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,容不得含?所以,數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言的簡(jiǎn)單移植或組合,而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的,并且這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義,常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn).數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的理解最重要的是把握其根本要義.

    如對(duì)簡(jiǎn)易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念,我們感到比較抽象,尤其是必要條件的理解有困難.筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)flash

    笑話情境:一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室前走過(guò),聽(tīng)到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧.老板p對(duì)小秘q說(shuō):“有我p在,就有你q吃香的喝辣的!”小秘q很不服氣,氣急敗壞地說(shuō):“你的底細(xì)我可全清楚,我完蛋了,你也完蛋了!”兩個(gè)人都?xì)饧睌?,互不相讓?zhuān)@時(shí)數(shù)學(xué)家走上前,不緊不慢地說(shuō):“你們所說(shuō)的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問(wèn)題,

    老板在是小秘吃香的喝辣的充分條件,而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要條件.”這個(gè)小笑話在諷刺丑惡現(xiàn)象的同時(shí),揭示了“充分條件與必要條件”概念的根本要義,若pq,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.這是因?yàn)橹灰猵成立,q就成立,p對(duì)q來(lái)說(shuō)就足夠了,就充分了;但是若q不成立,p就不成立,所以q對(duì)p來(lái)說(shuō)是必要的.

    二、 “悄悄話”之追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化理解符號(hào)語(yǔ)言

    符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言,是在人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式.符號(hào)語(yǔ)言的理解可以用追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化等方法.

    首先,追根溯源,搞清符號(hào)語(yǔ)言是如何產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言又分為三種:象形符號(hào)語(yǔ)言、縮寫(xiě)符號(hào)語(yǔ)言以及約定符號(hào)語(yǔ)言.如幾何學(xué)中的符號(hào)△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造,屬于象形符號(hào).縮寫(xiě)符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫(xiě)或加以改造而成的符號(hào),比如自然數(shù)

    再如橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系:離心率e越小橢圓越圓,e越大橢圓越扁.對(duì)此死記硬背,容易混淆搞錯(cuò),把這一規(guī)律形象化就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)闄E圓離心率e∈(0,1),如圖2,e越小即越靠近0,因?yàn)?比較圓滿,所以橢圓越圓,e越大即越靠近1,因?yàn)?比較扁平,所以橢圓越扁.(可以把0和1寫(xiě)得夸張一些) 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關(guān)系就形象地牢牢地“畫(huà)”在了學(xué)生的腦子里,永遠(yuǎn)不會(huì)忘記!

    三、 “悄悄話”之撥開(kāi)表面迷霧,洞察問(wèn)題本質(zhì)理解圖表語(yǔ)言

    圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形、圖象或表格,可細(xì)分為圖形語(yǔ)言(幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等)、圖象語(yǔ)言(函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等)和表格語(yǔ)言(統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等),它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介,也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果,

    同時(shí)還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具.圖表語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言,其特點(diǎn)是直觀形象、易于理解,但是直觀形象有時(shí)會(huì)表現(xiàn)為一種假象,理解圖表語(yǔ)言特別要撥開(kāi)表面迷霧,透過(guò)現(xiàn)象洞察問(wèn)題的本質(zhì).

    如圖3,一電工沿著豎立的梯子LN往上爬,當(dāng)他爬到中點(diǎn)M處時(shí),由于地面太滑,梯子沿墻面與地面滑下,則M點(diǎn)的軌跡是()

    由于梯子滑行的直覺(jué)表象,我們常常會(huì)選A.而實(shí)際上,根據(jù)直角三角形“斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)距離等于斜邊長(zhǎng)的一半”,斜邊長(zhǎng)即梯子LN的長(zhǎng)度是定值,所以M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離始終是梯子LN的長(zhǎng)度的一半,其軌跡是應(yīng)當(dāng)是以原點(diǎn)O為圓心、LN2為半徑的圓弧,應(yīng)選C.

    四、 對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”的“悄悄話”

    以上是如何理解符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的“悄悄話”,事實(shí)上,這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)勢(shì)與不足:文字語(yǔ)言通俗、易懂,但描述起來(lái)是線性的,不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu);符號(hào)語(yǔ)言抽象,但簡(jiǎn)潔、精確;圖表語(yǔ)言直觀形象,但不嚴(yán)謹(jǐn).所以,一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的有機(jī)融合.對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”筆者想說(shuō)的“悄悄話”就是:“要靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,做到揚(yáng)長(zhǎng)避短,優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”.這一點(diǎn)在立體幾何中得到充分的體現(xiàn),如直線與平面平行的性質(zhì)定理的文字語(yǔ)言為:

    加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,也是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力的有效途徑.如符號(hào)語(yǔ)言“實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=1,求x+y-2的取值范圍”,可根據(jù)其幾何意義,理解為單位圓上的任意點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍,也可以令t=x+y-2,其中t+2是平行直線系y=-x+t+2在y軸上的截距,利用線性規(guī)劃解決.這樣通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解.

    (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué))

    摘要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流和應(yīng)用的基礎(chǔ),針對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有不同的理解方法與竅門(mén),加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換,不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,

    也能有效提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力.

    關(guān)鍵詞符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖表語(yǔ)言理解

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的一種工具,它是以符號(hào)表達(dá)為主的高度抽象的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想最終要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)并獲得理解、掌握、交流和應(yīng)用.顯然數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是基礎(chǔ),是前提.那么如何理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢?數(shù)學(xué)語(yǔ)言有“悄悄話”要

    說(shuō)一說(shuō).

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非日常和非自然的語(yǔ)言,其中一部分是被規(guī)定或定義的,用來(lái)表示理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象,數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi).

    一、 “悄悄話”之把握根本要義,適度通俗化理解文字語(yǔ)言

    文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化的自然語(yǔ)言,或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.自然語(yǔ)言常具有模糊性,而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,容不得含?所以,數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言的簡(jiǎn)單移植或組合,而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的,并且這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義,常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn).數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的理解最重要的是把握其根本要義.

    如對(duì)簡(jiǎn)易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念,我們感到比較抽象,尤其是必要條件的理解有困難.筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)flash

    笑話情境:一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室前走過(guò),聽(tīng)到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧.老板p對(duì)小秘q說(shuō):“有我p在,就有你q吃香的喝辣的!”小秘q很不服氣,氣急敗壞地說(shuō):“你的底細(xì)我可全清楚,我完蛋了,你也完蛋了!”兩個(gè)人都?xì)饧睌模ゲ幌嘧專(zhuān)@時(shí)數(shù)學(xué)家走上前,不緊不慢地說(shuō):“你們所說(shuō)的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問(wèn)題,

    老板在是小秘吃香的喝辣的充分條件,而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要條件.”這個(gè)小笑話在諷刺丑惡現(xiàn)象的同時(shí),揭示了“充分條件與必要條件”概念的根本要義,若pq,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.這是因?yàn)橹灰猵成立,q就成立,p對(duì)q來(lái)說(shuō)就足夠了,就充分了;但是若q不成立,p就不成立,所以q對(duì)p來(lái)說(shuō)是必要的.

    二、 “悄悄話”之追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化理解符號(hào)語(yǔ)言

    符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言,是在人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式.符號(hào)語(yǔ)言的理解可以用追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化等方法.

    首先,追根溯源,搞清符號(hào)語(yǔ)言是如何產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言又分為三種:象形符號(hào)語(yǔ)言、縮寫(xiě)符號(hào)語(yǔ)言以及約定符號(hào)語(yǔ)言.如幾何學(xué)中的符號(hào)△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造,屬于象形符號(hào).縮寫(xiě)符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫(xiě)或加以改造而成的符號(hào),比如自然數(shù)

    再如橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系:離心率e越小橢圓越圓,e越大橢圓越扁.對(duì)此死記硬背,容易混淆搞錯(cuò),把這一規(guī)律形象化就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)闄E圓離心率e∈(0,1),如圖2,e越小即越靠近0,因?yàn)?比較圓滿,所以橢圓越圓,e越大即越靠近1,因?yàn)?比較扁平,所以橢圓越扁.(可以把0和1寫(xiě)得夸張一些) 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關(guān)系就形象地牢牢地“畫(huà)”在了學(xué)生的腦子里,永遠(yuǎn)不會(huì)忘記!

    三、 “悄悄話”之撥開(kāi)表面迷霧,洞察問(wèn)題本質(zhì)理解圖表語(yǔ)言

    圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形、圖象或表格,可細(xì)分為圖形語(yǔ)言(幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等)、圖象語(yǔ)言(函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等)和表格語(yǔ)言(統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等),它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介,也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果,

    同時(shí)還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具.圖表語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言,其特點(diǎn)是直觀形象、易于理解,但是直觀形象有時(shí)會(huì)表現(xiàn)為一種假象,理解圖表語(yǔ)言特別要撥開(kāi)表面迷霧,透過(guò)現(xiàn)象洞察問(wèn)題的本質(zhì).

    如圖3,一電工沿著豎立的梯子LN往上爬,當(dāng)他爬到中點(diǎn)M處時(shí),由于地面太滑,梯子沿墻面與地面滑下,則M點(diǎn)的軌跡是()

    由于梯子滑行的直覺(jué)表象,我們常常會(huì)選A.而實(shí)際上,根據(jù)直角三角形“斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)距離等于斜邊長(zhǎng)的一半”,斜邊長(zhǎng)即梯子LN的長(zhǎng)度是定值,所以M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離始終是梯子LN的長(zhǎng)度的一半,其軌跡是應(yīng)當(dāng)是以原點(diǎn)O為圓心、LN2為半徑的圓弧,應(yīng)選C.

    四、 對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”的“悄悄話”

    以上是如何理解符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的“悄悄話”,事實(shí)上,這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)勢(shì)與不足:文字語(yǔ)言通俗、易懂,但描述起來(lái)是線性的,不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu);符號(hào)語(yǔ)言抽象,但簡(jiǎn)潔、精確;圖表語(yǔ)言直觀形象,但不嚴(yán)謹(jǐn).所以,一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的有機(jī)融合.對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”筆者想說(shuō)的“悄悄話”就是:“要靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,做到揚(yáng)長(zhǎng)避短,優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”.這一點(diǎn)在立體幾何中得到充分的體現(xiàn),如直線與平面平行的性質(zhì)定理的文字語(yǔ)言為:

    加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,也是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力的有效途徑.如符號(hào)語(yǔ)言“實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=1,求x+y-2的取值范圍”,可根據(jù)其幾何意義,理解為單位圓上的任意點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍,也可以令t=x+y-2,其中t+2是平行直線系y=-x+t+2在y軸上的截距,利用線性規(guī)劃解決.這樣通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解.

    (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué))

    摘要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流和應(yīng)用的基礎(chǔ),針對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有不同的理解方法與竅門(mén),加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換,不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,

    也能有效提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力.

    關(guān)鍵詞符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖表語(yǔ)言理解

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的一種工具,它是以符號(hào)表達(dá)為主的高度抽象的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想最終要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)并獲得理解、掌握、交流和應(yīng)用.顯然數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是基礎(chǔ),是前提.那么如何理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢?數(shù)學(xué)語(yǔ)言有“悄悄話”要

    說(shuō)一說(shuō).

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非日常和非自然的語(yǔ)言,其中一部分是被規(guī)定或定義的,用來(lái)表示理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象,數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi).

    一、 “悄悄話”之把握根本要義,適度通俗化理解文字語(yǔ)言

    文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化的自然語(yǔ)言,或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.自然語(yǔ)言常具有模糊性,而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,容不得含?所以,數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言的簡(jiǎn)單移植或組合,而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的,并且這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義,常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn).數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的理解最重要的是把握其根本要義.

    如對(duì)簡(jiǎn)易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念,我們感到比較抽象,尤其是必要條件的理解有困難.筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)flash

    笑話情境:一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室前走過(guò),聽(tīng)到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧.老板p對(duì)小秘q說(shuō):“有我p在,就有你q吃香的喝辣的!”小秘q很不服氣,氣急敗壞地說(shuō):“你的底細(xì)我可全清楚,我完蛋了,你也完蛋了!”兩個(gè)人都?xì)饧睌?,互不相讓?zhuān)@時(shí)數(shù)學(xué)家走上前,不緊不慢地說(shuō):“你們所說(shuō)的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問(wèn)題,

    老板在是小秘吃香的喝辣的充分條件,而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要條件.”這個(gè)小笑話在諷刺丑惡現(xiàn)象的同時(shí),揭示了“充分條件與必要條件”概念的根本要義,若pq,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.這是因?yàn)橹灰猵成立,q就成立,p對(duì)q來(lái)說(shuō)就足夠了,就充分了;但是若q不成立,p就不成立,所以q對(duì)p來(lái)說(shuō)是必要的.

    二、 “悄悄話”之追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化理解符號(hào)語(yǔ)言

    符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言,是在人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式.符號(hào)語(yǔ)言的理解可以用追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化等方法.

    首先,追根溯源,搞清符號(hào)語(yǔ)言是如何產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言又分為三種:象形符號(hào)語(yǔ)言、縮寫(xiě)符號(hào)語(yǔ)言以及約定符號(hào)語(yǔ)言.如幾何學(xué)中的符號(hào)△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造,屬于象形符號(hào).縮寫(xiě)符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫(xiě)或加以改造而成的符號(hào),比如自然數(shù)

    再如橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系:離心率e越小橢圓越圓,e越大橢圓越扁.對(duì)此死記硬背,容易混淆搞錯(cuò),把這一規(guī)律形象化就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)闄E圓離心率e∈(0,1),如圖2,e越小即越靠近0,因?yàn)?比較圓滿,所以橢圓越圓,e越大即越靠近1,因?yàn)?比較扁平,所以橢圓越扁.(可以把0和1寫(xiě)得夸張一些) 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關(guān)系就形象地牢牢地“畫(huà)”在了學(xué)生的腦子里,永遠(yuǎn)不會(huì)忘記!

    三、 “悄悄話”之撥開(kāi)表面迷霧,洞察問(wèn)題本質(zhì)理解圖表語(yǔ)言

    圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形、圖象或表格,可細(xì)分為圖形語(yǔ)言(幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等)、圖象語(yǔ)言(函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等)和表格語(yǔ)言(統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等),它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介,也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果,

    同時(shí)還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具.圖表語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言,其特點(diǎn)是直觀形象、易于理解,但是直觀形象有時(shí)會(huì)表現(xiàn)為一種假象,理解圖表語(yǔ)言特別要撥開(kāi)表面迷霧,透過(guò)現(xiàn)象洞察問(wèn)題的本質(zhì).

    如圖3,一電工沿著豎立的梯子LN往上爬,當(dāng)他爬到中點(diǎn)M處時(shí),由于地面太滑,梯子沿墻面與地面滑下,則M點(diǎn)的軌跡是()

    由于梯子滑行的直覺(jué)表象,我們常常會(huì)選A.而實(shí)際上,根據(jù)直角三角形“斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)距離等于斜邊長(zhǎng)的一半”,斜邊長(zhǎng)即梯子LN的長(zhǎng)度是定值,所以M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離始終是梯子LN的長(zhǎng)度的一半,其軌跡是應(yīng)當(dāng)是以原點(diǎn)O為圓心、LN2為半徑的圓弧,應(yīng)選C.

    四、 對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”的“悄悄話”

    以上是如何理解符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的“悄悄話”,事實(shí)上,這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)勢(shì)與不足:文字語(yǔ)言通俗、易懂,但描述起來(lái)是線性的,不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu);符號(hào)語(yǔ)言抽象,但簡(jiǎn)潔、精確;圖表語(yǔ)言直觀形象,但不嚴(yán)謹(jǐn).所以,一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的有機(jī)融合.對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”筆者想說(shuō)的“悄悄話”就是:“要靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,做到揚(yáng)長(zhǎng)避短,優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”.這一點(diǎn)在立體幾何中得到充分的體現(xiàn),如直線與平面平行的性質(zhì)定理的文字語(yǔ)言為:

    加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言,也是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力的有效途徑.如符號(hào)語(yǔ)言“實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=1,求x+y-2的取值范圍”,可根據(jù)其幾何意義,理解為單位圓上的任意點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍,也可以令t=x+y-2,其中t+2是平行直線系y=-x+t+2在y軸上的截距,利用線性規(guī)劃解決.這樣通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解.

    (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué))

    猜你喜歡
    符號(hào)語(yǔ)言充分條件悄悄話
    集合、充分條件與必要條件、量詞
    初中數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言教學(xué)策略
    有限μM,D-正交指數(shù)函數(shù)系的一個(gè)充分條件
    數(shù)學(xué)教育中的符號(hào)語(yǔ)言及其教學(xué)
    符號(hào)語(yǔ)言在平面設(shè)計(jì)中的價(jià)值體現(xiàn)
    藝術(shù)家(2018年2期)2018-01-24 16:18:46
    高中數(shù)學(xué)教學(xué)中符號(hào)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)
    成長(zhǎng)悄悄話
    “練”和“煉”的悄悄話
    悄悄話
    p-超可解群的若干充分條件
    欧美成人性av电影在线观看| 国产成人精品久久二区二区免费| 亚洲熟女毛片儿| 欧美在线黄色| 听说在线观看完整版免费高清| 亚洲五月天丁香| 国产精品亚洲av一区麻豆| 久久热在线av| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 亚洲三区欧美一区| 日本一本二区三区精品| 一二三四社区在线视频社区8| 国产亚洲欧美在线一区二区| 久久久国产精品麻豆| 亚洲无线在线观看| 两个人免费观看高清视频| www日本黄色视频网| 97人妻精品一区二区三区麻豆 | 宅男免费午夜| 久热这里只有精品99| av中文乱码字幕在线| 无遮挡黄片免费观看| 国产片内射在线| 久久久久九九精品影院| 亚洲人成电影免费在线| 窝窝影院91人妻| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 欧美在线黄色| 中国美女看黄片| 亚洲精品国产一区二区精华液| 国产精品亚洲美女久久久| 久久精品人妻少妇| 露出奶头的视频| 久久香蕉激情| 最新美女视频免费是黄的| 国产精品1区2区在线观看.| 啦啦啦免费观看视频1| 午夜亚洲福利在线播放| 亚洲avbb在线观看| 日本成人三级电影网站| 精华霜和精华液先用哪个| 亚洲精品国产区一区二| 日韩有码中文字幕| 欧美黑人巨大hd| 啪啪无遮挡十八禁网站| 一个人观看的视频www高清免费观看 | 国产av不卡久久| 亚洲人成77777在线视频| 99国产综合亚洲精品| 免费人成视频x8x8入口观看| 午夜福利在线观看吧| 午夜福利视频1000在线观看| 国产日本99.免费观看| 成年女人毛片免费观看观看9| 国产人伦9x9x在线观看| 国产黄片美女视频| 亚洲精品色激情综合| 在线观看免费日韩欧美大片| 一级毛片女人18水好多| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 成在线人永久免费视频| 国产精品亚洲av一区麻豆| 搞女人的毛片| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 狠狠狠狠99中文字幕| 精品午夜福利视频在线观看一区| 白带黄色成豆腐渣| 18禁国产床啪视频网站| 亚洲人成电影免费在线| av电影中文网址| 91成人精品电影| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 国产成人av教育| 精品高清国产在线一区| 久久人人精品亚洲av| 极品教师在线免费播放| 午夜福利成人在线免费观看| 国产精品1区2区在线观看.| 少妇被粗大的猛进出69影院| 精品久久久久久久末码| √禁漫天堂资源中文www| 黄色成人免费大全| 免费av毛片视频| 一区二区三区精品91| 亚洲精华国产精华精| 丝袜人妻中文字幕| 精品国产乱子伦一区二区三区| 999精品在线视频| 国产精品九九99| 精品一区二区三区四区五区乱码| 超碰成人久久| 在线免费观看的www视频| 给我免费播放毛片高清在线观看| 国产精品野战在线观看| 亚洲自拍偷在线| а√天堂www在线а√下载| www国产在线视频色| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 国内揄拍国产精品人妻在线 | 国产成人av激情在线播放| 亚洲一区二区三区色噜噜| 99在线人妻在线中文字幕| 午夜老司机福利片| 亚洲一区中文字幕在线| av在线播放免费不卡| 一级片免费观看大全| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 国产视频一区二区在线看| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 久久精品国产综合久久久| 波多野结衣av一区二区av| 国产成人精品久久二区二区91| 日本在线视频免费播放| 国产成人欧美| 午夜亚洲福利在线播放| 久久热在线av| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 91av网站免费观看| 国产久久久一区二区三区| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 亚洲精品色激情综合| 日本一区二区免费在线视频| 757午夜福利合集在线观看| 日韩欧美一区视频在线观看| 国产熟女午夜一区二区三区| 国产精品亚洲美女久久久| 亚洲片人在线观看| 日韩有码中文字幕| 白带黄色成豆腐渣| 成人免费观看视频高清| 精品欧美一区二区三区在线| 久久香蕉精品热| 十八禁网站免费在线| bbb黄色大片| av电影中文网址| 欧美黑人精品巨大| bbb黄色大片| 日韩国内少妇激情av| 一区福利在线观看| 黄色片一级片一级黄色片| 亚洲一区二区三区不卡视频| 国产精品免费一区二区三区在线| 欧美日韩福利视频一区二区| 岛国在线观看网站| 国产av不卡久久| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 欧美不卡视频在线免费观看 | 99国产极品粉嫩在线观看| 国产一卡二卡三卡精品| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 禁无遮挡网站| 嫁个100分男人电影在线观看| 1024香蕉在线观看| 波多野结衣高清作品| 日本免费a在线| 两性夫妻黄色片| 久久热在线av| 国产亚洲av高清不卡| 亚洲美女黄片视频| 亚洲熟妇熟女久久| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 亚洲三区欧美一区| 日韩成人在线观看一区二区三区| 免费在线观看完整版高清| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | 日本一区二区免费在线视频| 国产亚洲精品综合一区在线观看 | 亚洲片人在线观看| 日本 欧美在线| 最新在线观看一区二区三区| 人人澡人人妻人| 一本大道久久a久久精品| 91字幕亚洲| av有码第一页| 99精品久久久久人妻精品| 成人18禁在线播放| 成人永久免费在线观看视频| 亚洲精品中文字幕在线视频| 亚洲第一青青草原| 日本免费a在线| 日本 欧美在线| 无人区码免费观看不卡| 国产av一区在线观看免费| 日日爽夜夜爽网站| 成年版毛片免费区| 在线视频色国产色| av福利片在线| 国产精品亚洲一级av第二区| 一夜夜www| 男女那种视频在线观看| 亚洲自拍偷在线| 黄片大片在线免费观看| 黑人操中国人逼视频| 丰满的人妻完整版| 在线av久久热| 午夜福利高清视频| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 啦啦啦韩国在线观看视频| 在线视频色国产色| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 超碰成人久久| 91成年电影在线观看| 色尼玛亚洲综合影院| 一区二区三区高清视频在线| 香蕉丝袜av| 最近最新中文字幕大全电影3 | 久久久久久久精品吃奶| 9191精品国产免费久久| 老汉色av国产亚洲站长工具| 色尼玛亚洲综合影院| 韩国精品一区二区三区| 午夜精品在线福利| 日本成人三级电影网站| 精品国产乱码久久久久久男人| 国产精品一区二区免费欧美| 村上凉子中文字幕在线| 国产亚洲av嫩草精品影院| 无限看片的www在线观看| 欧美激情 高清一区二区三区| 免费在线观看成人毛片| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 亚洲精品av麻豆狂野| 999精品在线视频| 听说在线观看完整版免费高清| 婷婷丁香在线五月| 女同久久另类99精品国产91| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 老司机深夜福利视频在线观看| 精品乱码久久久久久99久播| 99热这里只有精品一区 | 久久久久久久久中文| 草草在线视频免费看| 日本一区二区免费在线视频| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | 日本免费一区二区三区高清不卡| 桃红色精品国产亚洲av| 白带黄色成豆腐渣| 性色av乱码一区二区三区2| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 他把我摸到了高潮在线观看| e午夜精品久久久久久久| 欧美成人午夜精品| 欧美在线一区亚洲| 亚洲av成人一区二区三| 波多野结衣高清作品| 欧美另类亚洲清纯唯美| 国产在线观看jvid| 欧美色欧美亚洲另类二区| 国产午夜福利久久久久久| 国产成人精品久久二区二区91| 麻豆一二三区av精品| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 精品久久蜜臀av无| av中文乱码字幕在线| 久久午夜亚洲精品久久| 日本成人三级电影网站| 一个人观看的视频www高清免费观看 | 国产精品久久视频播放| 日韩精品中文字幕看吧| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 日本一本二区三区精品| 男女午夜视频在线观看| 欧美成人性av电影在线观看| √禁漫天堂资源中文www| 亚洲一区中文字幕在线| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 精品国产美女av久久久久小说| 黄色视频,在线免费观看| 两人在一起打扑克的视频| netflix在线观看网站| 久久人人精品亚洲av| а√天堂www在线а√下载| 亚洲avbb在线观看| 亚洲专区国产一区二区| 亚洲成人国产一区在线观看| 后天国语完整版免费观看| 欧美久久黑人一区二区| 熟女电影av网| 妹子高潮喷水视频| 一级片免费观看大全| 国产精品亚洲美女久久久| 亚洲精品粉嫩美女一区| 欧美一级a爱片免费观看看 | 禁无遮挡网站| 久久香蕉精品热| 国产成人精品无人区| 精品国产国语对白av| 亚洲国产欧洲综合997久久, | 黄色视频不卡| 国产片内射在线| 欧美在线黄色| 狂野欧美激情性xxxx| 久久精品人妻少妇| 女警被强在线播放| 男人舔女人的私密视频| 欧美乱妇无乱码| 国产精品99久久99久久久不卡| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 手机成人av网站| 亚洲九九香蕉| 国产伦一二天堂av在线观看| 国产精品av久久久久免费| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 国产精品久久久久久精品电影 | 亚洲精品美女久久av网站| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 国产又爽黄色视频| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 免费在线观看影片大全网站| 午夜福利视频1000在线观看| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 日本 欧美在线| www日本在线高清视频| 黑丝袜美女国产一区| 久久国产亚洲av麻豆专区| 国产精品久久久久久精品电影 | 亚洲全国av大片| 听说在线观看完整版免费高清| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 一本综合久久免费| 久久99热这里只有精品18| 十八禁人妻一区二区| 成人欧美大片| 99国产极品粉嫩在线观看| 国产成人精品无人区| 黄色丝袜av网址大全| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 国产成人欧美在线观看| 麻豆成人av在线观看| 99精品欧美一区二区三区四区| x7x7x7水蜜桃| 激情在线观看视频在线高清| 久久天堂一区二区三区四区| 麻豆成人午夜福利视频| 波多野结衣巨乳人妻| 免费av毛片视频| 精品无人区乱码1区二区| 国语自产精品视频在线第100页| 精品久久久久久久毛片微露脸| 欧美国产日韩亚洲一区| 身体一侧抽搐| 亚洲无线在线观看| 狂野欧美激情性xxxx| 老司机深夜福利视频在线观看| 一级毛片女人18水好多| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 欧美zozozo另类| 高潮久久久久久久久久久不卡| 韩国精品一区二区三区| 一边摸一边抽搐一进一小说| 国产激情欧美一区二区| 村上凉子中文字幕在线| 久久久久九九精品影院| 99久久99久久久精品蜜桃| 美女午夜性视频免费| 欧美乱妇无乱码| 国产亚洲精品一区二区www| 老汉色av国产亚洲站长工具| 亚洲欧美精品综合久久99| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 精品国产乱码久久久久久男人| 淫妇啪啪啪对白视频| 2021天堂中文幕一二区在线观 | 免费在线观看日本一区| 亚洲真实伦在线观看| 两性夫妻黄色片| 搡老熟女国产l中国老女人| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 一级作爱视频免费观看| 国产黄片美女视频| 黄色视频不卡| 国产成人欧美在线观看| 麻豆成人av在线观看| 90打野战视频偷拍视频| 校园春色视频在线观看| 身体一侧抽搐| 国产黄色小视频在线观看| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 日韩欧美免费精品| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| cao死你这个sao货| 丁香六月欧美| 国产真人三级小视频在线观看| 99久久国产精品久久久| 欧美三级亚洲精品| 99国产综合亚洲精品| 成人亚洲精品av一区二区| 一级a爱视频在线免费观看| 国产精品免费一区二区三区在线| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 国产亚洲欧美在线一区二区| 国产精品久久电影中文字幕| av天堂在线播放| 制服诱惑二区| 久久香蕉精品热| 老鸭窝网址在线观看| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| АⅤ资源中文在线天堂| 国产片内射在线| 男人舔女人下体高潮全视频| 精品一区二区三区四区五区乱码| 欧美亚洲日本最大视频资源| 满18在线观看网站| 国产亚洲精品综合一区在线观看 | 亚洲精品国产精品久久久不卡| 亚洲第一电影网av| 亚洲第一av免费看| 免费在线观看成人毛片| 又黄又粗又硬又大视频| 一个人免费在线观看的高清视频| 国产在线精品亚洲第一网站| 国产精品久久久av美女十八| 免费搜索国产男女视频| 免费在线观看日本一区| 国产免费av片在线观看野外av| 人人妻人人澡人人看| 国语自产精品视频在线第100页| 国产亚洲欧美在线一区二区| 99热这里只有精品一区 | 90打野战视频偷拍视频| 观看免费一级毛片| 精品人妻1区二区| tocl精华| 亚洲五月色婷婷综合| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 亚洲av成人av| 日本一区二区免费在线视频| 亚洲国产欧美网| 在线永久观看黄色视频| 最新在线观看一区二区三区| 悠悠久久av| 在线观看午夜福利视频| 国产熟女xx| 久久天堂一区二区三区四区| 精品久久蜜臀av无| 色哟哟哟哟哟哟| 嫁个100分男人电影在线观看| www.999成人在线观看| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 亚洲精品美女久久av网站| 色播在线永久视频| 亚洲av熟女| 亚洲五月色婷婷综合| 好男人在线观看高清免费视频 | 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 天堂动漫精品| 久久久久免费精品人妻一区二区 | 久久久久免费精品人妻一区二区 | 久久精品亚洲精品国产色婷小说| 日日干狠狠操夜夜爽| 日本成人三级电影网站| 亚洲成人久久爱视频| 国产野战对白在线观看| 国产激情久久老熟女| 久久久久久久久久黄片| 精品卡一卡二卡四卡免费| 亚洲av熟女| 亚洲成人免费电影在线观看| 无人区码免费观看不卡| 男人舔女人下体高潮全视频| 亚洲在线自拍视频| av在线天堂中文字幕| 成人国产综合亚洲| 精品欧美国产一区二区三| 99国产极品粉嫩在线观看| 校园春色视频在线观看| 国产欧美日韩精品亚洲av| 精品卡一卡二卡四卡免费| 亚洲av熟女| 国产精品免费视频内射| 夜夜爽天天搞| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 久久久精品欧美日韩精品| 脱女人内裤的视频| 久久精品影院6| 一本精品99久久精品77| 欧美黑人精品巨大| xxxwww97欧美| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 久久久久国内视频| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 亚洲av电影在线进入| 高潮久久久久久久久久久不卡| 他把我摸到了高潮在线观看| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆 | 香蕉国产在线看| 亚洲专区国产一区二区| 狠狠狠狠99中文字幕| 国产成人精品久久二区二区免费| 成人免费观看视频高清| 男男h啪啪无遮挡| 午夜福利免费观看在线| 人人妻人人看人人澡| 91成年电影在线观看| 亚洲午夜理论影院| 黑丝袜美女国产一区| 中文资源天堂在线| 精品国产乱码久久久久久男人| 一本大道久久a久久精品| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 亚洲av成人av| 久久久久久久久免费视频了| 婷婷六月久久综合丁香| 国产精品 欧美亚洲| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 亚洲国产中文字幕在线视频| av在线播放免费不卡| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 久久久国产欧美日韩av| 欧美色欧美亚洲另类二区| 欧美日本亚洲视频在线播放| 国产v大片淫在线免费观看| 国产高清激情床上av| 精品久久久久久久久久久久久 | 久久人妻福利社区极品人妻图片| 黄色a级毛片大全视频| 国产又爽黄色视频| 亚洲人成伊人成综合网2020| 亚洲精品在线美女| 夜夜爽天天搞| 超碰成人久久| 天天添夜夜摸| 久久热在线av| 91麻豆精品激情在线观看国产| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 久久久久久人人人人人| 欧美在线一区亚洲| 国产亚洲精品一区二区www| 久久香蕉国产精品| 制服人妻中文乱码| 在线观看一区二区三区| 桃色一区二区三区在线观看| 18禁观看日本| 欧美色视频一区免费| 国产精品亚洲一级av第二区| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | 又黄又爽又免费观看的视频| 狠狠狠狠99中文字幕| 国产乱人伦免费视频| 亚洲五月婷婷丁香| 亚洲精品中文字幕在线视频| 人人妻人人澡人人看| 91成人精品电影| 精品日产1卡2卡| 亚洲片人在线观看| 黑人欧美特级aaaaaa片| 黄色视频不卡| 亚洲人成网站高清观看| 亚洲熟妇熟女久久| 久久精品国产综合久久久| 久久中文字幕一级| 国产精品亚洲美女久久久| 黄频高清免费视频| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 国产精品av久久久久免费| 欧美乱码精品一区二区三区| 精品国产乱码久久久久久男人| 搞女人的毛片| 两个人视频免费观看高清| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 中国美女看黄片| 国产爱豆传媒在线观看 | 制服诱惑二区| ponron亚洲| 一进一出抽搐动态| 91字幕亚洲| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 三级毛片av免费| 免费看a级黄色片| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 日韩欧美一区视频在线观看| 欧美一级a爱片免费观看看 | 国产亚洲精品久久久久5区| 日韩国内少妇激情av| 免费人成视频x8x8入口观看| 日本成人三级电影网站| 午夜精品在线福利| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 成年女人毛片免费观看观看9| 久热这里只有精品99| 精品一区二区三区av网在线观看| 久久精品影院6| 亚洲av中文字字幕乱码综合 | netflix在线观看网站| 久久中文字幕人妻熟女| 亚洲专区字幕在线| 一级片免费观看大全| 亚洲国产高清在线一区二区三 | 久久热在线av| 波多野结衣高清作品| 国产亚洲精品综合一区在线观看 | 国产成人av激情在线播放| 天堂动漫精品| 国产1区2区3区精品| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 51午夜福利影视在线观看| 曰老女人黄片| 精品久久久久久久末码| 日韩中文字幕欧美一区二区| 久久久久九九精品影院| 丝袜在线中文字幕| 热99re8久久精品国产| 久久久国产欧美日韩av| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 亚洲第一青青草原| 人人澡人人妻人|