(2+1)維Kadomtsov-Petviashvili-Joseph- Egri方程的李對(duì)稱分析和精確解

李 寧，劉希強(qiáng)

(2+1)維Kadomtsov-Petviashvili-Joseph- Egri方程的李對(duì)稱分析和精確解

*李 寧，劉希強(qiáng)

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城 252059)

利用經(jīng)典李群方法，得到 (2+1)維Kadomtsov-Petviashvili-Joseph-Egri方程的經(jīng)典李點(diǎn)對(duì)稱，并利用對(duì)稱得到該方程的一些相似約化，通過求解約化方程，得到了該方程的很多精確解，包括雙曲函數(shù)解，雅可比橢圓函數(shù)解，三角函數(shù)解，有理函數(shù)解，冪級(jí)數(shù)解等。

經(jīng)典李群方法；(2+1)維Kadomtsov-Petviashvili-Joseph-Egri方程；精確解；對(duì)稱；約化

隨著科技的發(fā)展，人們對(duì)非線性發(fā)展方程越來越關(guān)注，尋找非線性發(fā)展方程的精確解就變得更為重要。為了求解非線性發(fā)展方程的精確解，國內(nèi)外學(xué)者提出很多行之有效的方法如雅克比橢圓函數(shù)展開法[1]，tanh展開法[2]，經(jīng)典和非經(jīng)典李群方法[3-6]，指數(shù)函數(shù)展開法[7-8]，貝克隆變換法[9]，廣義代數(shù)法[10]等。其中，經(jīng)典李群方法是最有效的方法之一。本文將利用經(jīng)典李群方法考慮以下(2+1)維Kadomtsov-Petviashvili-Joseph-Egri ( KP-JE )方程

本文組成如下：第一部分，給出經(jīng)典對(duì)稱的定義和相關(guān)結(jié)論，并利用其得到了方程(1)的經(jīng)典對(duì)稱；第二部分，利用得到的對(duì)稱對(duì)方程(1)進(jìn)行約化求解，并得到了一些新精確解；第三部分給出簡(jiǎn)單的結(jié)論。

1 KP-JE的經(jīng)典對(duì)稱

以下考慮N階非線性發(fā)展方程

首先給出經(jīng)典對(duì)稱[12]的定義和一個(gè)相關(guān)定理[13]

定義 1 經(jīng)典李點(diǎn)對(duì)稱

如果方程(2)是在以下變換下的一個(gè)不變量

稱為一個(gè)經(jīng)典李點(diǎn)對(duì)稱，簡(jiǎn)稱對(duì)稱。

定理 1 如果向量場(chǎng) (4) 是方程(2)的一個(gè)李點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)且僅當(dāng)

其中

是向量場(chǎng)的階延拓。

以下利用定理1求解方程(1)李點(diǎn)對(duì)稱。方程(1)的向量場(chǎng)可以表示為

由定理1可以得到(5)四階延拓

利用李群方法，解超定方程組可得方程(1)李點(diǎn)對(duì)稱為

對(duì)稱群2，3和4表示方程(1)解的時(shí)空不變性，1表示方程(1)解伽利略伸縮不變性。由以上對(duì)稱群1，2，3和4，可以得到方程(1)的不變解為

如果選取文獻(xiàn)[11]中方程(1)的一個(gè)三角周期解

注1利用以上不變解(9)與文獻(xiàn)[11]中的解，可以得到方程(1)更多的新精確解，由此文獻(xiàn)[11]中的解得到了推廣。

2 KP-JE方程的相似約化和精確解

為了得到方程(1)的精確解，須先求解以下特征方程組

解方程組(10)，得到以下三組約化方程 (參見表1)。

表1 方程(1)的相似約化方程

以下考慮情況1和情況2。

情況 1

為了求解方程(11)，以下再次利用李群方法約化方程(11)。

方程(12)相應(yīng)的向量場(chǎng)可設(shè)為

重復(fù)以上過程，可得方程(12)李點(diǎn)對(duì)稱為

從而得到相應(yīng)的特征方程組為

類似地，解方程組(15) ，得到以下兩組相似約化方程(參見表2)。

表2 方程(11)的相似約化方程

情況1.1

(17)

將(18) 和(17) 帶入 (16) ，可得以下兩組解

情況1.1.1

情況1.1.2

其中是非零常數(shù)。

情況1.1.1 (a) 雅克比橢圓函數(shù)解

情況1.1.1 (b) 鐘狀解 (見圖1)

圖1 解ub.1 (鐘狀解) 參數(shù)為

情況1.1.1 (c) 扭結(jié)狀解(見圖2)

情況1.1.1(d) 奇異解

情況1.1.1 (e) 三角周期解 (見圖3)

情況 1.1.2 (a) 有理函數(shù)解

情況1.1.2 (b) 三角周期解(見圖4)

圖4 解ug.1 (三角周期解)參數(shù)為

Fig. 4 Solution ug.1 is shown at (triangular profile solution)

情況 1.2

以下利用冪級(jí)數(shù)法求解方程(19)的解，設(shè)方程(19)有以下形式的解

由方程(19)，得到

由以上過程，可得方程(1) 的冪級(jí)數(shù)解為

情況2

將(26) 和(27)代入(25)，得到

由此可以得到以下解：

情況2.1 (a) 雙曲函數(shù)解

情況 2.1 (b) 三角周期解

假設(shè)方程(25) 有以下形式的解

將(29)和(30)代入(25)，可得

得到以下三種形式的解：

情況 3與情況 1.2類似，此處省略。

注 2 本文得到的方程(1)的精確解均已經(jīng)Maple軟件檢驗(yàn)。

3 結(jié)論

本文利用經(jīng)典李群方法研究了KP-JE方程，得到該方程的李點(diǎn)對(duì)稱，李代數(shù)和相似約化。通過使用再次李群方法，把KP-JE方程約化為常微分方程，得到了該方程多種精確解，這些解在解釋復(fù)雜物理現(xiàn)象有很重要的作用。

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LIE SYMMETRY ANALYSIS AND EXACT SOLUTION OF (2+1)-DIMENSIONAL KADOMTSOV-PETVIASHVILI-JOSEPH- EGRI EQUATION

*LI Ning，LIU Xi-qiang

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng, Shandong 252059, China)

Based onthe classical Lie group method, we obtain the classical Lie point symmetry of the (2+1)-dimensional Kadomtsov-Petviashvili-Joseph-Egri (KP-JE for short) equation. Using the symmetries, we find some classical similarity reductions of KP-JE equation. Many kinds of exact solutions of the KP-JE equation are derived by solving the reduced equations, including the elliptic functions , the rational functions，the hyperbolic functions, the trigonometric functions, the power series solution.

classical Lie group method; (2+1)-dimensional KP-JE equation; exact solutions; symmetry; reduction

O175.29

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.02.002

1674-8085(2014)02-0007-07

2013-05-23；

2013-07-16

國家自然科學(xué)基金和中國工程物理研究院聯(lián)合基金項(xiàng)目(11076015)

*李 寧(1981-)，男，山東棗莊人，碩士生，主要從事非線性偏微分方程解的研究(E-mail:ln1011@163.com);

劉希強(qiáng)(1957-)，男，山東菏澤人，教授，博士，主要從事非線性微分方程系統(tǒng)研究(E-mail: liuxiq@sina.com).