一種常微分方程數(shù)值計(jì)算的新方法

孟波，孟純青

（1．聯(lián)科應(yīng)用研究所，山東 濟(jì) 南250031；2．山東省濟(jì)南中學(xué)，山東 濟(jì) 南250001）

0 引言與基本知識(shí)介紹

提出一種構(gòu)建常微分方程數(shù)值方法的新思路，按照這種思路，構(gòu)建一些具體的計(jì)算公式．先介紹一階和二階偏差分．

對(duì)于函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（xi，yi）處的的一階形式如下．

對(duì)于二階偏差分有以下形式．

最后給出兩個(gè)變量的兩種Taylor公式．

1 新方法的基本思想與相關(guān)公式的推導(dǎo)

設(shè)存在常微分方程初值問題f（x，y）關(guān)于y滿足Lipschitz條件，即對(duì)于y1、y2有｜f（x，y1）－f（x，y2）｜≤L｜y1－y2｜．設(shè)步長(zhǎng)為h，這時(shí)有xi＋1＝xi＋h，xi－1＝xi－h(huán)．現(xiàn)在介紹新方法的基本思想．

如果假設(shè)yi＋1－yi＝ki，忽略余項(xiàng)，（1）式和（2）式可以寫成以下形式：

把（6）～（7）式跟一些傳統(tǒng)方法結(jié)合起來(lái)就得到新方法中的公式，這些公式的形式可參見文獻(xiàn)［1－3］．

隱式Euler方法的形式為：

如果把右邊的f（xi＋1，yi＋1）按照（6）～（7）式展開后得到

公式（A1）、（A2）就是兩種n階新方法中的公式，其中（A1）是按照（6）式推導(dǎo)出來(lái)的，稱為新方法中的單差分公式，（A2）式是按照（7）式推導(dǎo)出來(lái)的，稱為雙差分公式．選擇具體的偏差分形式可以構(gòu)建不同的計(jì)算公式．下面就是一些具體公式．

如果只考慮到一階偏差分，對(duì)于（A1）式，設(shè)0≤r≤1，記：

有計(jì)算公式：

對(duì)于（A2）式，設(shè)0≤r1，r2≤1，記：

有計(jì)算公式：

設(shè)0＜s＜1，把以上思想用于加權(quán)梯形公式得到：

如果只考慮到一階偏差分，把（8）～（10）式代入得到以下公式：

如果只計(jì)算到二階偏差分，公式（A4）的一種具體形式為：

把以上思想和其他公式相結(jié)合，可以得到許多新方法中的公式．

與Adams隱式方法相結(jié)合可以得到許多公式，以下僅列出從三階、四階Adams隱式方法推導(dǎo)出來(lái)的新公式．

如果計(jì)算到二階偏差分，公式（B4）的一種具體形式為

從Gear方法中可以推出許多新方法中的公式．以下給出三步新方法中的公式

如果只計(jì)算到二階偏差分，公式（C2）的一種具體形式為：

用以上思想可以構(gòu)造出許多新方法中的公式，這類公式數(shù)量極多，本文中不再一一列舉．

2 新方法中的加權(quán)平均公式和預(yù)估校正公式

按照筆者的思路，可以構(gòu)造很多具體的加權(quán)平均公式和預(yù)估校正公式，限于篇幅分別給出一例．

設(shè)存在r1，r2，滿足0＜r1，r2＜1，則（A1）式和（A2）式的加權(quán)平均公式為：

使用具體的r1，r2，構(gòu)建具體的加權(quán)平均公式，按照以上思路，可以構(gòu)造出許多加權(quán)平均公式．

新方法中的顯式公式可以跟隱式公式相結(jié)合形成預(yù)估校正公式（A4．1）中一個(gè)的具體公式和梯形公式組成的預(yù)估校正公式為：

3 pi、qi值的確定

以上算法中出現(xiàn)了pi、qi兩個(gè)參數(shù)，現(xiàn)在來(lái)討論pi、qi的計(jì)算方法，計(jì)算方法可以有多種形式．

如果假設(shè)?xi＝dxi＝h，即dyi＝hf（xi，yi），則

如果存在常數(shù)r1，r2，滿足?yi＝r1（yi＋1－yi）＋r2（yi－yi－1），則：

對(duì)于qi則可以有以下選擇．

如果假設(shè)?yi＝y(tǒng)i＋1－yi，那么

如果假設(shè)?yi＝y(tǒng)i－yi－1，那么

如果存在常數(shù)r1，r2，滿足?yi＝r1（yi＋1－yi）＋r2（yi－yi－1），那么：

由于（E2）式、（E4）式、（E5）式出現(xiàn)了yi＋1，這就變成了隱式公式．為便于計(jì)算，可用一些近似方法．

一是直接計(jì)算方法：把某種顯式公式代入直接給出yi＋1的表達(dá)式；二是采用預(yù)估校正的方法得到相應(yīng)的計(jì)算公式．以下給出幾個(gè)具體公式．

直接計(jì)算公式．如果假設(shè)yi＋1＝y(tǒng)i＋hf（xi，yi），則代入（E2）式、（E4）式得到

代入（E5）式得到

預(yù)估校正公式有很多，下面介紹兩種．

一階單差分預(yù)估校正公式：

二階雙差分預(yù)估校正公式：

直接計(jì)算公式和預(yù)估校正公式還可以有其它形式，限于篇幅本文只給出以上形式的公式．

4 遞進(jìn)計(jì)算公式

實(shí)際計(jì)算時(shí)，為了提高精度，可以采用遞進(jìn)計(jì)算公式，計(jì)算步驟如下：

對(duì)于顯式公式，當(dāng)計(jì)算第i＋1步的數(shù)值時(shí)，可以使用第i，i－1，i－2，…，i－j步時(shí)的數(shù)據(jù)，這樣可以按照實(shí)際的計(jì)算步數(shù)來(lái)確定計(jì)算公式的階數(shù)．當(dāng)計(jì)算第一步數(shù)據(jù)時(shí)，j＝1，當(dāng)計(jì)算第二步數(shù)據(jù)時(shí)j＝2，當(dāng)計(jì)算第k步數(shù)據(jù)時(shí)，j最多可以等于k，這樣層層遞進(jìn)從而得到一個(gè)遞進(jìn)計(jì)算公式．遞進(jìn)計(jì)算公式實(shí)際上是一個(gè)變階計(jì)算公式．

5 相容性、收斂性和穩(wěn)定性分析

以下討論相容性，收斂性和穩(wěn)定性．這涉及到qi的表達(dá)式的選擇，由于yi＋1可以預(yù)估而yi，yi－1已知，這樣每一個(gè)qi也可以得到一個(gè)預(yù)估值．所以下面的討論將每一個(gè)qi當(dāng)作常數(shù)．

先討論相容性．限于篇幅，僅討論（A2．1）式，為了簡(jiǎn)便起見，設(shè)，對(duì)于（A2．1）式，取，顯然當(dāng)h→0時(shí)，均有偏差分?xf（xi，yi）→0，?yf（xi，yi）→0，于是ψ（x，y，0）＝f（x，y）．因此方法具有相容性．

下面討論收斂性．對(duì)于（A2．1）式，為了簡(jiǎn)便起見，設(shè)r1＝0，r2＝0．對(duì)于y1，y2，有

設(shè)｜y1－δ－y2－δ｜＝w｜y1－y2｜，則上式滿足

因此ψ（x，y，h）關(guān)于y滿足Lipschitz條件，再考慮到相容性，故算法是收斂的．可用類似的方法討論其他新方法的相容性和收斂性．

最后討論穩(wěn)定性．限于篇幅以下僅討論（A3）式和（A4）式的穩(wěn)定性．設(shè)存在以下實(shí)驗(yàn)方程：

代入（A3）式或（A4）式，這時(shí)兩個(gè)公式一樣．現(xiàn)給出代入（A4）式的情形．設(shè)s＝0．5．

限于篇幅，以下僅討論到n＝1時(shí)的情況．如果取?yyi＝?yi＝y(tǒng)i－yi－1，qi＝1代入（11）式有：

移項(xiàng)后得到：

相應(yīng)的特征方程為：

如果取?yyi＝?yi＝y(tǒng)i＋1－yi，代入（11）式有：

移項(xiàng)后得到：

6 實(shí)例計(jì)算

例：求解下列常微分方程初值問題，y′＝x－y＋1，y0＝1，h＝0．1，0≤x≤1．

本例有精確解y＝x＋e－x，其傳統(tǒng)方法的計(jì)算結(jié)果可見參考文獻(xiàn)［4］．為了比較各方法的精確度，以下采用多種方法進(jìn)行求解，以便比較各種方法的精確度，同一個(gè)公式使用pi＝1，而使用不同的qi分別計(jì)算，以便觀察計(jì)算精度．

現(xiàn)把一些相關(guān)的計(jì)算公式列舉如下：公式（B4．1），公式（C2．1），（A4．2）．以上公式分別根據(jù)不同的qi的值或者表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算．

表2給出了公式（B4．1），公式（C2．1）的計(jì)算結(jié)果，其中前3個(gè)公式為（B4．1）的計(jì)算結(jié)果，后3個(gè)公式為（C2．1）的計(jì)算結(jié)果．6個(gè)公式的參數(shù)分別為：

在計(jì)算中由于一些公式是高階公式，所以前兩個(gè)或3個(gè)值使用精確解的數(shù)值．前3個(gè)精確值為：y0＝1，y1＝1．004 837 418，y2＝1．018 730 753．計(jì)算結(jié)果如下：

表1 傳統(tǒng)公式計(jì)算結(jié)果及精確解

表2 公式（B4．1）、（C2．1）的計(jì)算結(jié)果

表3 公式（A4．2）的計(jì)算結(jié)果

從以上計(jì)算結(jié)果看出：以上公式的計(jì)算結(jié)果明顯好于隱式Euler公式，（C2．1）式的計(jì)算結(jié)果與兩步Gear公式相當(dāng)，精度高低跟選擇的具體參數(shù)有關(guān)，（B4．1）式的3個(gè)公式計(jì)算結(jié)果比隱式Adams公式略差，（A4．2）式的計(jì)算結(jié)果跟梯形公式大致相當(dāng)，精度的高低跟具體的參數(shù)選擇有關(guān)，第5個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果跟精確解非常接近．

新差分方法具有以下特點(diǎn)：可以把隱式公式變成顯式公式，這大大減少了計(jì)算難度；二是可根據(jù)不同的差分形式得到種類繁多的具體計(jì)算公式．可以根據(jù)具體情況酌情使用，這對(duì)實(shí)際計(jì)算非常有利；三是可以構(gòu)造出種類繁多的加權(quán)平均公式．筆者認(rèn)為，新方法是一種值得認(rèn)真研究的常微分方程數(shù)值方法，具有極大的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值．

［1］李榮華，劉播．微分方程數(shù)值解法［M］．4版．北京：高等教育出版社，2009：1－40．

［2］戴嘉尊．微分方程數(shù)值解法［M］．南京：東南大學(xué)出版社，2012：1－45．

［3］倪興．常微分方程數(shù)值解法及其應(yīng)用［D］．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2010．

［4］王立秋，魏煥彩，周學(xué)圣．工程數(shù)值分析［M］．濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2002：350－370．