點擊中考中的一元二次方程

張啟

一元二次方程是初中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，也是以后學習數(shù)學的一個基礎(chǔ)，作為解決問題的一種常用手段，它在中考試題中扮演著很重要的角色，現(xiàn)就中考中所出現(xiàn)的幾種常見形式加以說明.

形式一：求解方程的根

例1 （2014·江蘇泰州）2x2-4x-1=0.

【分析】觀察方程的特點，尋找解決問題的方法，本題沒有較為簡單的方法，所以選擇用公式法，在用公式法時要注意把方程首先轉(zhuǎn)化為一般式以便確定系數(shù)，而且在使用公式前應(yīng)先計算出判別式的值，以便判斷方程是否有解.

解：∵a=2，b=-4，c=-1，

∴b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0，

∴x==，

x1=，x2=.

【點評】求一元二次方程的解作為初中數(shù)學的一種基本技能是中考中?？嫉闹R點之一，初中階段求一元二次方程解的方法有四種，分別是直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，希望同學們加以掌握.

形式二：判斷方程是否有根

例2 （2014·江蘇蘇州）下列關(guān)于x的方程有實數(shù)根的是（ ）.

A. x2-x+1=0 B. x2+x+1=0

C. （x-1）（x+2）=0 D. （x-1）2+1=0

【分析】關(guān)于x的方程有實數(shù)根一般情況下是把方程轉(zhuǎn)化為一般形式，然后計算判別式b2-4ac的值.當b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根. 而方程有實數(shù)根只需驗證b2-4ac≥0即可.

解：對于A、B選項，方程是一般形式，只需直接判斷b2-4ac即可，很明顯都不符合要求；對于C，它左邊是兩個一次因式的積的形式，右邊為0，可以直接得出方程的兩根為x1=1，x2=-2，滿足要求；D選項移項后左邊是完全平方，右邊是-1，很明顯無實數(shù)根.

例3 （2014·江蘇揚州）已知關(guān)于x的方程（k-1）x2-（k-1）x+=0有兩個相等的實數(shù)根，求k的值.

【分析】因為關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，說明方程是一元二次方程，首先要滿足二次項系數(shù)k-1≠0，其次要滿足b2-4ac=0，這里要特別注意k-1≠0這個條件.

解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，

∴b2-4ac=（k-1）2-4××（k-1）

=k2-3k+2=0.

∴k1=1，k2=2. 又k-1≠0，∴k≠1，故k=2.

【點評】已知方程根的情況求參數(shù)的值是中考中常出的習題，要特別注意，應(yīng)用根的判別式的前提是方程為一元二次方程，這就要求二次項系數(shù)不能為0.

形式三：一元二次方程解應(yīng)用題

例4 （2014·江蘇南京）某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬元，可變成本逐年增長，已知該養(yǎng)殖戶第一年的可變成本為2.6萬元，設(shè)可變成本平均每年增長的百分率為x.

（1） 用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為______萬元；

（2） 如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬元，求可變成本平均每年的增長百分率.

【分析】對于增長率的關(guān)系式，后來數(shù)=原數(shù)×（1+增長率）n.

（1） 如果平均每年增長的百分率為x，連續(xù)增長2年后為：增長前的量×（1+x）2.

（2） 第三年的養(yǎng)殖成本=不變成本+可變成本，可變成本=2.6（1+x）2.

解：（1） 2.6（1+x）2.

（2） 根據(jù)題意可得：4+2.6（1+x）2=7.146.

解這個方程，得x1=0.1，x2=-2.1（不合題意，舍去）.

符合題目要求的是x=0.1=10%.

答：可變成本平均每年的增長百分率為10%.

【點評】關(guān)于增長率的問題，一般有三個常用量：原產(chǎn)量，增長率（降低率），增長后的產(chǎn)量（降低后的產(chǎn)量）.如果把原產(chǎn)量叫做基數(shù)（也叫做始數(shù)）用A表示，把增長后的產(chǎn)量叫做末數(shù)用B表示，增長率（下降率）用x表示，時間間隔用n表示，則增長率問題的數(shù)量關(guān)系為A（1±x）n=B，在初中階段，n通常取2.

例5 （2014·貴州畢節(jié)）某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元. 每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件.

（1） 若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元（其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10），求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1 120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.

【分析】本題屬于經(jīng)營預算型問題：銷售利潤=每件的利潤×銷售量. 第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元. 每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件，所以，第x檔次，提高的檔次是（x-1），每件的利潤可以表示為6+2（x-1），銷售量為95-5（x-1），所以銷售利潤y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]，由“若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1 120元”，可得出方程.

解：（1） 由題意可知：

第x檔次，提高的檔次是（x-1）.

∴y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]=-10x2+180x+400（其中x是正整數(shù)，且1≤x≤10）.

（2） 由題意可得：-10x2+180x+400=1 120，

整理得：x2-18x+72=0，

解得：x1=6，x2=12（舍去）.

答：該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為第6檔.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用. 最大銷售利潤的問題是生活中常遇到的問題，也是和一元二次方程聯(lián)系較密切的一類問題，要解決這類問題我們首先要吃透題意，確定變量，建立方程，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案.

一元二次方程應(yīng)用題的常見題型有平均增長率型、方案設(shè)計型、經(jīng)營預算型、動點運動型、分類討論型等，但列方程解應(yīng)用題的本質(zhì)就是先把實際問題抽象為方程模型，然后通過解方程獲得對實際問題的解決. 應(yīng)用題是中考試卷中的一種題型，而一元二次方程應(yīng)用題又是常見的題型，希望同學們加以重視.

從上面的三種類型中我們可以看出一元二次方程在中考中的重要性，而作為中考考題它主要以這樣三種形式出現(xiàn)，同學們需要逐一加以練習加強.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）