挖掘內(nèi)涵 由此及彼

卜文靜

用方程解決實際問題是數(shù)學的一個重要部分. 尤其是用一元二次方程解應用題，一般情況下會出現(xiàn)兩個解，這兩個解是否都符合題意（實際情況），我們怎樣才能做到準確判斷、加以取舍，針對這點我們將探討一些具有代表性的題目，以幫助同學們攻克這個難關(guān).

一、 由題目條件檢驗根的合理性

例1 值教師節(jié)來臨之際，某學校決定為老師換一批新的辦公桌，廠家的收費標準是：如果購買的套數(shù)不超過25套，每套的價錢為1 000元，若是超過25套，每多出一套，每套的價格將降低20元，但是每套的價格不得低于700元. 現(xiàn)在學校為購買辦公桌準備了27 000元，請問該學校將會為老師購買多少套辦公桌？

【分析】設購買x套辦公桌. 看到題目首先要判斷學校購買的辦公桌是否超過25套，因為1 000×25=25 000<27 000，所以購買的辦公桌數(shù)量一定超過25套. 由題意得每套辦公桌的費用降低了20（x-25）元，每套辦公桌實際的費用為[1 000-20（x-25）]元. 然后找等量關(guān)系列出方程.

解：設學校將為老師購買x套辦公桌.

因為1 000×25=25 000<27 000，所以購買的辦公桌的數(shù)量一定超過25套.

由題意得：[1 000-20（x-25）]x=27 000.

整理得 x2-75x+1 350=0.

解之得 x1=45，x2=30.

當x1=45時，1 000-20（x-25）=600<700，故舍去；

當x2=30時，1 000-20（x-25）=900>700，符合題意.

答：學校將為老師購買30套辦公桌.

【點評】該題目中的兩個解的取舍是由題意中的限制條件確定的（每套的價格不得低于700元），所以做題目時同學們一定要認真讀題.

變式題1 某機械廠加工了一批零件，零件的成本是50元，如果每件按60元出售，那么可以賣出800件；假如每件都提價出售，那么每提價1元銷售量將會減少20件. 現(xiàn)在機械廠預算要獲取12 000元的利潤，則每件的售價應定為多少元？工廠需要加工多少件零件？

二、 挖掘隱含條件檢驗根的合理性

例2 某家電公司2012年的各項經(jīng)營收入中，經(jīng)營等離子彩電的收入為600萬元，占全年經(jīng)營總收入的40%，該公司預計2014年經(jīng)營總收入要達到2 160萬元，且計劃從2012年到2014年，每年經(jīng)營總收入的年增長率相同，問2013年預計經(jīng)營總收入為多少萬元？

【分析】增長率問題是一元二次方程的一個典型問題. 關(guān)鍵是掌握公式，增長率公式：初期數(shù)×（1+增長率）n=末期數(shù). 該題目的初期數(shù)為600÷40%=1 500（萬元），末期數(shù)為2 160萬元，設出平均每年的增長率x，然后直接代入公式即可.

解：設每年平均增長率為x.

由題意得：（1+x）2=2 160，

解之得：x1=0.2=20%，x2=-2.2=-220%（舍去）.

當x=20%時，

×（1+20%）=1 800（萬元）.

答：2013年預計經(jīng)營收入1 800萬元.

變式題2 （2014·安徽?。?jù)報道，我省農(nóng)作物秸稈的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸稈被直接焚燒了.假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸稈總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增長率. （取≈1.41）

三、 根據(jù)題目要求將根合理取舍

例3 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件.

（1） 若商場平均每天要盈利1 200元，每件襯衫應降價多少元？

（2） 每件襯衫降價多少元，商場平均每天盈利最多？

【分析】此題屬于經(jīng)營問題，若設每件襯衫應降價x元，則每件所得利潤為（40-x）元，但每天多售出2x件，即售出件數(shù)為（20+2x）件，因此每天贏利為（40-x）（20+2x）元，進而可根據(jù)題意列出方程求解.

解：（1） 設每件襯衫應降價x元，

根據(jù)題意得（40-x）（20+2x）=1 200，

整理得2x2-60x+400=0，

解得x1=20，x2=10.

因為要“盡量減少庫存”，在獲利相同的條件下，降價越多，銷售越快，故每件襯衫應降20元.

答：每件襯衫應降價20元.

（2） 設商場平均每天贏利y元，則

y=（20+2x）（40-x）

=-2x2+60x+800

=-2[（x-15）2-625]

=-2（x-15）2+1 250.

∴當x=15時，y取最大值，最大值為1 250.

答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天贏利最多，最大利潤為1 250元.

【點評】（1） 當降價20元和10元時，每天都贏利1 200元，但降價10元不滿足“盡量減少庫存”，所以做題時應認真審題，不能漏掉任何一個條件；

（2） 用配方法將代數(shù)式變形，轉(zhuǎn)化為一個完全平方式與一個常數(shù)的和或差的形式是解決此類問題的一種常用方法.

變式題3 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出4件，若商場平均每天要盈利2 100元，每件襯衫應降價多少元？