理論力學點的合成運動體系教學探索及實踐

唐紅春,王璐,史永高

(西安工業(yè)大學 北方信息工程學院 建筑工程系,陜西 西安 710032)

理論力學點的合成運動體系教學探索及實踐

唐紅春,王璐,史永高

(西安工業(yè)大學 北方信息工程學院 建筑工程系,陜西 西安 710032)

為降低理論力學點的合成運動學習難度,對其教學方法進行了探索和實踐.基于高等數學的有關概念和定理,分別采用極限法和導數法解析了點的合成運動的速度合成定理及加速度合成定理,首次提出了牽連導數的概念,并在教學實踐中檢驗了兩種方法的適用性.

理論力學;點的合成運動;牽連導數;極限法;導數法

理論力學是高等工科院校土木、機械等專業(yè)重要的基礎課之一[1].其中,點的合成運動部分的理論知識點理解起來有較大難度[2].但力學問題之所以難于理解,主要在于部分學生高等數學基礎不牢或對其知識一知半解,更不能將高數作為一種有效工具應用到力學公式的建立和推導中.為此,有必要將最基本的數學理論引入力學教學中,通過數學的嚴密和嚴謹性建立起力學公式推導過程,增加力學公式的可理解程度,從而達到降低學生學習難度的目的.本文擬對理論力學點的合成與運動體系教學進行探討.由于在點的合成運動公式推導中,教材大多采用的是極限法或導數法[3-5],以下即圍繞這兩種方法展開討論.

1 極限法

1.1 點的速度合成定理

物體在t0時刻的瞬 時 速 度[6]v(t0)=,速度的方向沿軌跡的切線,如圖1所示.

圖1 速度合成矢量Fig.1 Vector diagram of velocity composition

由圖1可見,在某一瞬時t,光滑弧形結構AB與套在其上的光滑圓環(huán)M處各自運動中,經過Δt后,在靜坐標系xyz中,AB運動到A′B′位置,在動坐標系x′y′z′中,M沿AB運動至M″.

1.2 點的加速度合成定理

在瞬時t,動點位于弧線AB上的M點,其3種速度分別為va、ve、vr.經過時間Δt后,弧線運動到A′B′位置,動點運動至A′B′上的M″點,此時其絕對3種速度為v′a、v′e、v′r.可將動點M到M″的連續(xù)過程分為2個階段,如圖2～3所示.

1)圖2顯示,從瞬時t→t+Δt1,AB運動到A′B′位置,AB上兩固定點M和M″分別沿圖示任意軌跡運動到A′B′上的點M和M″位置,而此時動點M瞬間變?yōu)镸′點,為下一步運動作準備.因為M點固連于AB上,故無論AB如何運動,均不影響相對速度vr的大小,即|vr1|=|vr|,但方向不同,分別沿著AB和A′B′切線方向.而牽連運動的大小和方向均不同,即|ve|≠|ve1|,分別沿各自軌跡切線方向.需要說明的是,牽連運動是整個剛體AB相對靜系的運動[7],其上各點的牽連速度在一般情況下是不同的.AB上固定點M″因受牽連運動,經過時間Δt1后到達A′B′上點M″,也具有牽連速度v′e,這是由于牽連運動為任意曲線的原因.因牽連點不同,|ve1|≠|v′e|,方向也不同,取決于軌跡.

圖2 牽連速度矢量Fig.2 Vector diagram of carrier velocity

圖3 相對速度矢量Fig.3 Vector diagram of relative velocity

2)圖3表明,經過Δt2后,即t+Δt1→t+Δt時間段,動點M′沿A′B′運動到M′,相對速度由vr1變?yōu)関r,,方向沿軌跡切線.

因va=ve+vr,v′a=v′e+v′r,va1=ve1+vr1,按 各自加速度的定義[5]有：

如果牽連運動為平移,則|v′e|=|ve1|,方向也相同;而|vr1|=|vr|,方向亦相同,故ak=0.此時有aa=ae+ar.

2 導數法

2.1 基礎理論

矢量是既有大小又有方向的量.一般來說,在物理學中稱作矢量,在數學中稱作向量.對矢量求導時,只要大小或方向是時間的函數,就必須將該要素對時間求導.速度由導數表示為：v=d r/d t=˙r.

如圖4所示,oxyz為靜系,o′x′y′z′為動系.動系的3個單位矢量分別為i′,j′,k′.M為動點,M′為牽連點.根據向量計算規(guī)則有rM=ro′+r′,r′=r′xi′+r′yj′+r′zk′.r′x,r′y,r′z分別 表示矢 量r′在動 系的3 個坐標軸上的投影值,且在瞬時有rM=rM′.

圖4 點的合成運動圖Fig.4 Diagram of composition motion of a point

2.2 絕對運動分析

在絕對導數中,因所有參數都是時間的函數,故

2.3 相對運動分析

相對導數認為,矢徑r′中的參數r′x,r′y,r′z隨動點的運動而變化,是時間的函數.而i′,j′,k′不是時間的函數,記為

根據相對加速度定義,相對速度的相對導數即相對加速度ar.

ar=.則

2.4 牽連運動分析

牽連導數認為：r′M=ro′+r′xi′+r′yj′+r′zk′中的r′x,r′y,r′z在瞬時是定值,不是時間的函數.而i′,j′,k′是時間的函數,記為

動點的牽連速度

牽連速度的絕對導數為

牽連速度的牽連導數為

牽連速度的牽連導數就是牽連加速度ae,即ae=則

根據速度合成定理和導數的計算規(guī)則有

可以證明[5],故aa=ae+ar+2ωe×vr.

3 結語

利用極限法和導數法均能推導出點的速度及加速度合成定理.極限法具有嚴謹的幾何意義,推導過程較為簡潔,但由于3種運動、速度和加速度的概念較多,也較抽象,加之動點和速度本身的不斷變化,使得對運動過程的理解有一定難度.導數法具有嚴謹的數學意義,推導過程和表達式較為復雜,但概念不多,也不難理解.筆者在近幾年理論力學授課過程中,分別采用了兩種方法進行講解,通過學生反映及對其學習掌握程度分析,采用導數法推導點的速度和加速度合成定理比采用極限法推導更容易使學生理解.

[1] 陳建平,陶秋凡,吳文龍.理論力學中動力學問題的演變與創(chuàng)新思維訓練[J].力學與實踐,2004,26(5)：72-74.

[2] 馮立富,郭書祥,李穎.點的合成運動與“全程分析法”[J].空軍工程大學學報,2002,3(5)：86-87.

[3] 張功學.工程力學[M].北京：國防工業(yè)出版社,2008：266-267.

[4] 尹冠生.理論力學[M].西安：西北工業(yè)大學出版社,2000：127-128.

[5] 哈爾濱工業(yè)大學理論力學教研組.理論力學[M].北京：高等教育出版社,2009：175-184.

[6] 周家良,王群智.高等數學[M].西安：西北大學出版社,2011：57-57.

[7] 王斌耀,徐鑒.關于點的合成運動速度合成定理兩種推導的辨析[J].力學與實踐,2007,29(5)：64-66.

[8] 張秉榮.工程力學[M].北京：機械工業(yè)出版社,2012：95-100.

Teaching exploration and practice on system of composite motion of points in theoretical mechanics

TANG Hong-chun,WANG Lu,SHI Yong-gao
(Architectural Engineering Department,Xi'an Technological University North Institute of Information Engineering,Xi'an,Shaanxi 710032,China)

In order to reduce the difficulty of learning composite motion of point in theoretical mechanics,this paper carries out exploration and practice.Based on related concepts and theorems of higher mathematics,this paper analyzes speed synthesis theorem and acceleration synthesis theorem of composite motion of points using methods of limit and derivative,puts forward the concept of implicated derivative,and tests the applicability of the methods in teaching practice.

theoretical mechanics;composite motion of points;implicated derivative;limit algorithm;derivative algorithm

O 311.1

A

2095-3550(2014)01-0087-03

2013-11-22

西安工業(yè)大學北方信息工程學院教學改革基金項目(YJ1226)

唐紅春,男,江蘇泰州人,講師,碩士研究生.

E-mail：35054034@qq.com

(責任編輯：趙國淮)