“潛伏”在高考試題中的集合問題

蘇立標(biāo)

考查集合最基本的概念和性質(zhì). 這類題目往往涉及集合的元素、集合的運算等，可直接利用集合的相關(guān)知識求解.

例1 [2011年高考安徽數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7}，則滿足S？哿A且S∩B≠的集合S的個數(shù)為 .

（A） 57 （B） 56 （C） 49 （D） 8

解析： 例1考查子集與真子集的個數(shù)問題.如果一個集合的元素有n個，那么它的子集有2n個（注意空集的存在），非空子集有2n-1個，真子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個.

因為集合A的元素有6個，所以集合A的子集有26=64個.集合S與集合B的交集不為空集，則集合S中元素不能只有1，2，3，由這三個元素組成的集合的子集共23=8個，把這8個不符合的情況舍去，即可得到滿足題意的集合S的個數(shù).故選B.

例2 [2011年高考廣東數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果對？坌a，b∈S，有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且對于所有a，b，c∈T，有abc∈T；對于所有x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是 .

（A） T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的

（B） T，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的

（C） T，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的

（D） T，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的

解析： 由于T∪V=Z，故整數(shù)1一定在T，V兩個集合中的一個之中. 不妨設(shè)1∈T，則對于所有a，b∈T，由于a，b，1∈T，則a·b·1∈T，即ab∈T，從而T對乘法封閉.

而當(dāng)T={非負(fù)整數(shù)}、V={負(fù)整數(shù)}時，T關(guān)于乘法封閉，V關(guān)于乘法不封閉，故D不對.

當(dāng)T={奇數(shù)}、V={偶數(shù)}時，T，V顯然關(guān)于乘法都是封閉的，故B，C不對.從而選A.

以集合為載體考查函數(shù)、不等式、規(guī)劃等問題. 這類題目中集合只是一個載體，解題的關(guān)鍵在于去掉集合的“外衣”，發(fā)現(xiàn)問題考查的真正內(nèi)容.

例3 [2012年高考重慶數(shù)學(xué)卷（文科）試題] 設(shè)函數(shù)f（x）=x2-4x+3，g（x）=3x-2，集合M={x∈Rf[g（x）]>0}，N={x∈Rg（x）<2} ，則M∩N為 .

（A） （1，+∞） （B） （0，1）

（C） （-1，1） （D） （-∞，1）

解析： 由f[g（x）]>0得g2（x）-4g（x）+3>0，則g（x）<1或g（x）>3，所以M={x∈Rg（x）<1或g（x）>3}. 由于N={x∈Rg（x）<2}，則M∩N={x∈Rg（x）<1}，即g（x）=3x-2<1，解得答案為D.

例4 [2012年高考重慶數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)平面點集A=（x，y）（y-x）y-≥0，B={（x，y）（x-1）2+（y-1）2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為 .

（A） π （B） π

（C） π （D）

解析：平面點集A表示的是不等式組y-x≥0，y-≥0與y-x≤0，y-≤0分別表示的平面區(qū)域①和②，如圖1-1所示. 點集B表示的是以（1，1）為圓心、以1為半徑的圓及圓的內(nèi)部. A∩B所表示的平面圖形就是它們的公共部分，如圖1-2陰影部分所示.

由于圓與曲線y=都關(guān)于直線y=x對稱，所以公共部分面積為圓面積的一半，即.故正確答案為D.

【評注】 在去除例3以及例4的集合“外衣”后，將發(fā)現(xiàn)前者主要考查的是簡單的復(fù)合函數(shù)和不等式知識，后者主要考查的是規(guī)劃知識.

在例4中，把集合用圖形表示出來，從圖形中尋找思路，更加直觀、形象.在求圖形面積時，有時各部分很難求或根本求不出來，可以利用圖形的對稱性求解.

結(jié)合集合語言考查對數(shù)學(xué)知識的綜合運用.這類問題的考查涉及多種知識，解題時需要多種方法的綜合運用，對數(shù)學(xué)能力是一種考驗.

例5 [2010年高考浙江數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)函數(shù)的集合P=f（x）=log2（x+a）+ba=-，0，，1；b=-1，0，1，平面上點的集合Q=（x，y）x=-，0，，1；y=-1，0，1，則在同一直角坐標(biāo)系中，P中函數(shù)f（x）的圖象恰好經(jīng)過Q中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是 .

（A） 4 （B） 6 （C） 8 （D） 10

解析： 集合Q包含12個點；集合P中共有12個函數(shù)，函數(shù)y=log2x是其中一個，且經(jīng)過（1，0），，-1兩點，如圖2所示. 其他符合題意的函數(shù)的圖象可以通過平移y=log2x的圖象得到：

① 向上平移1個單位得到y(tǒng)=log2x+1；

② 向左平移個單位得到y(tǒng)=log2x+，再向上平移1個單位得到y(tǒng)=log2x++1；

③ 先向左平移1個單位，再向下或向上平移1個單位分別得到y(tǒng)=log2（x+1）-1和y=log2（x+1）+1.

以上所得6個函數(shù)的圖象都恰好經(jīng)過Q中的兩個點，符合題意. 其他函數(shù)的圖象不是恰好經(jīng)過Q中的兩個點，不合題意.故答案為B.

【評注】 例5主要考查了函數(shù)的概念、定義域、值域、圖象平移和對數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識點，對同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著較高的要求，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)能力的考查.

【練一練】

（1） 用C（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=C（A）-C（B），當(dāng)C（A）≥C（B），C（B）-C（A），當(dāng)C（A）

（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1

（2） 已知{x1，x2，x3，x4}？哿{x>0（x-3）·sinπx=1}，則x1+x2+x3+x4的最小值為 .

【參考答案】

（1） B 【在集合A中，一元二次方程x2-ax-1=0的判別式Δ=a2+4>0，所以方程有兩個根，即C（A）=2.若滿足A*B=1 ，則C（B）=1或C（B）=3.

當(dāng)C（B）=1時，表示函數(shù)y=x2+bx+1的圖象與y=1的圖象只有一個交點，這點即為拋物線的頂點. 由于拋物線y=x2+bx+1開口向上，且頂點在y=1上，所以x2+bx+1>0，即x2+bx+1=x2+bx+1，方程x2+bx+1=1只有一個根，由Δ=0解得b=0.

當(dāng)C（B）=3時，表示y=x2+bx+1的圖象與函數(shù)y=1的圖象有三個交點，示意圖如圖3所示，-（x2+bx+1）=1有唯一解，即Δ=0，解得b=±2.

綜上所述，b的可能值有3個，所以C（S）=3】

（2） 12 【因為x=3顯然不是方程（x-3）·sinπx=1的根，所以問題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=sinπx（x>0）與y=（x>0）的圖象最靠近y軸的4個交點的橫坐標(biāo)之和. 如圖4所示，函數(shù)y=圖象的對稱點為（3，0），與函數(shù)y=sinπx圖象離y軸最近的四個交點在區(qū)間（1，2）和（4，5）之間. 由對稱性可得：x1+x4=x2+x3=2×3，所以x1+x2+x3+x4=12】

考查集合最基本的概念和性質(zhì). 這類題目往往涉及集合的元素、集合的運算等，可直接利用集合的相關(guān)知識求解.

例1 [2011年高考安徽數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7}，則滿足S？哿A且S∩B≠的集合S的個數(shù)為 .

（A） 57 （B） 56 （C） 49 （D） 8

解析： 例1考查子集與真子集的個數(shù)問題.如果一個集合的元素有n個，那么它的子集有2n個（注意空集的存在），非空子集有2n-1個，真子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個.

因為集合A的元素有6個，所以集合A的子集有26=64個.集合S與集合B的交集不為空集，則集合S中元素不能只有1，2，3，由這三個元素組成的集合的子集共23=8個，把這8個不符合的情況舍去，即可得到滿足題意的集合S的個數(shù).故選B.

例2 [2011年高考廣東數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果對？坌a，b∈S，有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且對于所有a，b，c∈T，有abc∈T；對于所有x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是 .

（A） T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的

（B） T，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的

（C） T，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的

（D） T，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的

解析： 由于T∪V=Z，故整數(shù)1一定在T，V兩個集合中的一個之中. 不妨設(shè)1∈T，則對于所有a，b∈T，由于a，b，1∈T，則a·b·1∈T，即ab∈T，從而T對乘法封閉.

而當(dāng)T={非負(fù)整數(shù)}、V={負(fù)整數(shù)}時，T關(guān)于乘法封閉，V關(guān)于乘法不封閉，故D不對.

當(dāng)T={奇數(shù)}、V={偶數(shù)}時，T，V顯然關(guān)于乘法都是封閉的，故B，C不對.從而選A.

以集合為載體考查函數(shù)、不等式、規(guī)劃等問題. 這類題目中集合只是一個載體，解題的關(guān)鍵在于去掉集合的“外衣”，發(fā)現(xiàn)問題考查的真正內(nèi)容.

例3 [2012年高考重慶數(shù)學(xué)卷（文科）試題] 設(shè)函數(shù)f（x）=x2-4x+3，g（x）=3x-2，集合M={x∈Rf[g（x）]>0}，N={x∈Rg（x）<2} ，則M∩N為 .

（A） （1，+∞） （B） （0，1）

（C） （-1，1） （D） （-∞，1）

解析： 由f[g（x）]>0得g2（x）-4g（x）+3>0，則g（x）<1或g（x）>3，所以M={x∈Rg（x）<1或g（x）>3}. 由于N={x∈Rg（x）<2}，則M∩N={x∈Rg（x）<1}，即g（x）=3x-2<1，解得答案為D.

例4 [2012年高考重慶數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)平面點集A=（x，y）（y-x）y-≥0，B={（x，y）（x-1）2+（y-1）2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為 .

（A） π （B） π

（C） π （D）

解析：平面點集A表示的是不等式組y-x≥0，y-≥0與y-x≤0，y-≤0分別表示的平面區(qū)域①和②，如圖1-1所示. 點集B表示的是以（1，1）為圓心、以1為半徑的圓及圓的內(nèi)部. A∩B所表示的平面圖形就是它們的公共部分，如圖1-2陰影部分所示.

由于圓與曲線y=都關(guān)于直線y=x對稱，所以公共部分面積為圓面積的一半，即.故正確答案為D.

【評注】 在去除例3以及例4的集合“外衣”后，將發(fā)現(xiàn)前者主要考查的是簡單的復(fù)合函數(shù)和不等式知識，后者主要考查的是規(guī)劃知識.

在例4中，把集合用圖形表示出來，從圖形中尋找思路，更加直觀、形象.在求圖形面積時，有時各部分很難求或根本求不出來，可以利用圖形的對稱性求解.

結(jié)合集合語言考查對數(shù)學(xué)知識的綜合運用.這類問題的考查涉及多種知識，解題時需要多種方法的綜合運用，對數(shù)學(xué)能力是一種考驗.

例5 [2010年高考浙江數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)函數(shù)的集合P=f（x）=log2（x+a）+ba=-，0，，1；b=-1，0，1，平面上點的集合Q=（x，y）x=-，0，，1；y=-1，0，1，則在同一直角坐標(biāo)系中，P中函數(shù)f（x）的圖象恰好經(jīng)過Q中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是 .

（A） 4 （B） 6 （C） 8 （D） 10

解析： 集合Q包含12個點；集合P中共有12個函數(shù)，函數(shù)y=log2x是其中一個，且經(jīng)過（1，0），，-1兩點，如圖2所示. 其他符合題意的函數(shù)的圖象可以通過平移y=log2x的圖象得到：

① 向上平移1個單位得到y(tǒng)=log2x+1；

② 向左平移個單位得到y(tǒng)=log2x+，再向上平移1個單位得到y(tǒng)=log2x++1；

③ 先向左平移1個單位，再向下或向上平移1個單位分別得到y(tǒng)=log2（x+1）-1和y=log2（x+1）+1.

以上所得6個函數(shù)的圖象都恰好經(jīng)過Q中的兩個點，符合題意. 其他函數(shù)的圖象不是恰好經(jīng)過Q中的兩個點，不合題意.故答案為B.

【評注】 例5主要考查了函數(shù)的概念、定義域、值域、圖象平移和對數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識點，對同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著較高的要求，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)能力的考查.

【練一練】

（1） 用C（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=C（A）-C（B），當(dāng)C（A）≥C（B），C（B）-C（A），當(dāng)C（A）

（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1

（2） 已知{x1，x2，x3，x4}？哿{x>0（x-3）·sinπx=1}，則x1+x2+x3+x4的最小值為 .

【參考答案】

（1） B 【在集合A中，一元二次方程x2-ax-1=0的判別式Δ=a2+4>0，所以方程有兩個根，即C（A）=2.若滿足A*B=1 ，則C（B）=1或C（B）=3.

當(dāng)C（B）=1時，表示函數(shù)y=x2+bx+1的圖象與y=1的圖象只有一個交點，這點即為拋物線的頂點. 由于拋物線y=x2+bx+1開口向上，且頂點在y=1上，所以x2+bx+1>0，即x2+bx+1=x2+bx+1，方程x2+bx+1=1只有一個根，由Δ=0解得b=0.

當(dāng)C（B）=3時，表示y=x2+bx+1的圖象與函數(shù)y=1的圖象有三個交點，示意圖如圖3所示，-（x2+bx+1）=1有唯一解，即Δ=0，解得b=±2.

綜上所述，b的可能值有3個，所以C（S）=3】

（2） 12 【因為x=3顯然不是方程（x-3）·sinπx=1的根，所以問題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=sinπx（x>0）與y=（x>0）的圖象最靠近y軸的4個交點的橫坐標(biāo)之和. 如圖4所示，函數(shù)y=圖象的對稱點為（3，0），與函數(shù)y=sinπx圖象離y軸最近的四個交點在區(qū)間（1，2）和（4，5）之間. 由對稱性可得：x1+x4=x2+x3=2×3，所以x1+x2+x3+x4=12】

考查集合最基本的概念和性質(zhì). 這類題目往往涉及集合的元素、集合的運算等，可直接利用集合的相關(guān)知識求解.

例1 [2011年高考安徽數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7}，則滿足S？哿A且S∩B≠的集合S的個數(shù)為 .

（A） 57 （B） 56 （C） 49 （D） 8

解析： 例1考查子集與真子集的個數(shù)問題.如果一個集合的元素有n個，那么它的子集有2n個（注意空集的存在），非空子集有2n-1個，真子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個.

因為集合A的元素有6個，所以集合A的子集有26=64個.集合S與集合B的交集不為空集，則集合S中元素不能只有1，2，3，由這三個元素組成的集合的子集共23=8個，把這8個不符合的情況舍去，即可得到滿足題意的集合S的個數(shù).故選B.

例2 [2011年高考廣東數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果對？坌a，b∈S，有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且對于所有a，b，c∈T，有abc∈T；對于所有x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是 .

（A） T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的

（B） T，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的

（C） T，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的

（D） T，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的

解析： 由于T∪V=Z，故整數(shù)1一定在T，V兩個集合中的一個之中. 不妨設(shè)1∈T，則對于所有a，b∈T，由于a，b，1∈T，則a·b·1∈T，即ab∈T，從而T對乘法封閉.

而當(dāng)T={非負(fù)整數(shù)}、V={負(fù)整數(shù)}時，T關(guān)于乘法封閉，V關(guān)于乘法不封閉，故D不對.

當(dāng)T={奇數(shù)}、V={偶數(shù)}時，T，V顯然關(guān)于乘法都是封閉的，故B，C不對.從而選A.

以集合為載體考查函數(shù)、不等式、規(guī)劃等問題. 這類題目中集合只是一個載體，解題的關(guān)鍵在于去掉集合的“外衣”，發(fā)現(xiàn)問題考查的真正內(nèi)容.

例3 [2012年高考重慶數(shù)學(xué)卷（文科）試題] 設(shè)函數(shù)f（x）=x2-4x+3，g（x）=3x-2，集合M={x∈Rf[g（x）]>0}，N={x∈Rg（x）<2} ，則M∩N為 .

（A） （1，+∞） （B） （0，1）

（C） （-1，1） （D） （-∞，1）

解析： 由f[g（x）]>0得g2（x）-4g（x）+3>0，則g（x）<1或g（x）>3，所以M={x∈Rg（x）<1或g（x）>3}. 由于N={x∈Rg（x）<2}，則M∩N={x∈Rg（x）<1}，即g（x）=3x-2<1，解得答案為D.

例4 [2012年高考重慶數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)平面點集A=（x，y）（y-x）y-≥0，B={（x，y）（x-1）2+（y-1）2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為 .

（A） π （B） π

（C） π （D）

解析：平面點集A表示的是不等式組y-x≥0，y-≥0與y-x≤0，y-≤0分別表示的平面區(qū)域①和②，如圖1-1所示. 點集B表示的是以（1，1）為圓心、以1為半徑的圓及圓的內(nèi)部. A∩B所表示的平面圖形就是它們的公共部分，如圖1-2陰影部分所示.

由于圓與曲線y=都關(guān)于直線y=x對稱，所以公共部分面積為圓面積的一半，即.故正確答案為D.

【評注】 在去除例3以及例4的集合“外衣”后，將發(fā)現(xiàn)前者主要考查的是簡單的復(fù)合函數(shù)和不等式知識，后者主要考查的是規(guī)劃知識.

在例4中，把集合用圖形表示出來，從圖形中尋找思路，更加直觀、形象.在求圖形面積時，有時各部分很難求或根本求不出來，可以利用圖形的對稱性求解.

結(jié)合集合語言考查對數(shù)學(xué)知識的綜合運用.這類問題的考查涉及多種知識，解題時需要多種方法的綜合運用，對數(shù)學(xué)能力是一種考驗.

例5 [2010年高考浙江數(shù)學(xué)卷（理科）試題] 設(shè)函數(shù)的集合P=f（x）=log2（x+a）+ba=-，0，，1；b=-1，0，1，平面上點的集合Q=（x，y）x=-，0，，1；y=-1，0，1，則在同一直角坐標(biāo)系中，P中函數(shù)f（x）的圖象恰好經(jīng)過Q中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是 .

（A） 4 （B） 6 （C） 8 （D） 10

解析： 集合Q包含12個點；集合P中共有12個函數(shù)，函數(shù)y=log2x是其中一個，且經(jīng)過（1，0），，-1兩點，如圖2所示. 其他符合題意的函數(shù)的圖象可以通過平移y=log2x的圖象得到：

① 向上平移1個單位得到y(tǒng)=log2x+1；

② 向左平移個單位得到y(tǒng)=log2x+，再向上平移1個單位得到y(tǒng)=log2x++1；

③ 先向左平移1個單位，再向下或向上平移1個單位分別得到y(tǒng)=log2（x+1）-1和y=log2（x+1）+1.

以上所得6個函數(shù)的圖象都恰好經(jīng)過Q中的兩個點，符合題意. 其他函數(shù)的圖象不是恰好經(jīng)過Q中的兩個點，不合題意.故答案為B.

【評注】 例5主要考查了函數(shù)的概念、定義域、值域、圖象平移和對數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識點，對同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著較高的要求，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)能力的考查.

【練一練】

（1） 用C（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=C（A）-C（B），當(dāng)C（A）≥C（B），C（B）-C（A），當(dāng)C（A）

（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1

（2） 已知{x1，x2，x3，x4}？哿{x>0（x-3）·sinπx=1}，則x1+x2+x3+x4的最小值為 .

【參考答案】

（1） B 【在集合A中，一元二次方程x2-ax-1=0的判別式Δ=a2+4>0，所以方程有兩個根，即C（A）=2.若滿足A*B=1 ，則C（B）=1或C（B）=3.

當(dāng)C（B）=1時，表示函數(shù)y=x2+bx+1的圖象與y=1的圖象只有一個交點，這點即為拋物線的頂點. 由于拋物線y=x2+bx+1開口向上，且頂點在y=1上，所以x2+bx+1>0，即x2+bx+1=x2+bx+1，方程x2+bx+1=1只有一個根，由Δ=0解得b=0.

當(dāng)C（B）=3時，表示y=x2+bx+1的圖象與函數(shù)y=1的圖象有三個交點，示意圖如圖3所示，-（x2+bx+1）=1有唯一解，即Δ=0，解得b=±2.

綜上所述，b的可能值有3個，所以C（S）=3】

（2） 12 【因為x=3顯然不是方程（x-3）·sinπx=1的根，所以問題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=sinπx（x>0）與y=（x>0）的圖象最靠近y軸的4個交點的橫坐標(biāo)之和. 如圖4所示，函數(shù)y=圖象的對稱點為（3，0），與函數(shù)y=sinπx圖象離y軸最近的四個交點在區(qū)間（1，2）和（4，5）之間. 由對稱性可得：x1+x4=x2+x3=2×3，所以x1+x2+x3+x4=12】