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    環(huán) 的 強(qiáng) 正 則 性

    2014-10-25 07:33:36殷曉斌陳賽男
    關(guān)鍵詞:約化正整數(shù)正則

    殷曉斌,陳賽男,豆 皖

    (安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖241003)

    0 引 言

    本文的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán),環(huán)上的模均指單式模.設(shè)R是環(huán),J(R),C(R)和N(R)分別表示R的Jacobson根、中心和冪零元之集.對于R中的任意元a,l(a)和r(a)分別表示a的左零化子和右零化子.如果對于任意的a∈R,存在正整數(shù)n,使得an≠0,且任意左R-模同態(tài)f:Ran→M均可擴(kuò)張為R到M 的同態(tài),則左R-模M 稱為左GP-內(nèi)射模[1].類似可定義右GP-內(nèi)射模.如果R的每個單左(右)R-模是GP-內(nèi)射的,則R稱為左(右)GP-V-環(huán)[1];如果環(huán)R的每個單奇異左(右)R-模是GP-內(nèi)射的,則R稱為左(右)GP-V′-環(huán)[1].如果R中不含非零的冪零元,則R稱為約化環(huán)[1].如果對于任意的a∈R,存在b∈R,使得a=a2b,則R稱為強(qiáng)正則環(huán)[2].強(qiáng)正則環(huán)具有左右對稱性.如果對于R的任意左(右)理想I,均有I2=I,則R稱為左(右)弱正則環(huán)[3].如果R的每個左理想是由冪等元生成的,則R稱為廣義正則環(huán)[4].如果對于任意的r∈R,x∈L,存在正整數(shù)n,使得(rx)n∈L(或(xr)n∈L),則環(huán)R的子加群L稱為R 的弱左(右)理想[4].如果J(R)=N(R),則環(huán)R稱為J-環(huán)[5].如果對于任意的a,b,r∈R,且ab=0,有arb∈C(R),則R稱為中心半交換環(huán).如果對于任意的a∈N(R),存在正整數(shù)n,使得an≠0,且任意左R-模同態(tài)f:Ran→M均可擴(kuò)張為R到M 的同態(tài),則左R-模M 稱為左wnil-內(nèi)射模[6].如果對于任意的a,b∈R,ab=0,存在正整數(shù)n,使得an≠0,bn≠0,anRbn=0,則R稱為擬ZI-環(huán)[7].

    1 GP-V-環(huán)與GP-V′-環(huán)的強(qiáng)正則性

    引理1 設(shè)R是環(huán),若R的每個主左(右)理想是弱右(左)理想,則R/J(R)約化.

    證明:僅證左的情形,右的情形類似可證.

    對任意的a∈R,若a?J(R)且a2∈J(R),則存在R的極大左理想M,使得M+Ra=R.由a2∈J(R)可得R=M+Ma.于是存在m∈M,使得1-ma∈M.由于Rm是弱右理想,故存在正整數(shù)n,使得(ma)n∈Rm?M.因此有

    故ma∈M,1=ma+(1-ma)∈M,矛盾.所以a∈J(R),R/J(R)約化.證畢.

    引理2[1]若環(huán)R 是左(右)GP-V-環(huán),則J(R)=0.

    引理3 設(shè)R是環(huán),若R為每個冪等元是中心元的左(右)GP-V′-環(huán),且每個主左(右)理想是弱右(左)理想,則R是約化環(huán).

    證明:僅證左的情形,右的情形類似可證.

    對任意的a∈R,若a≠0且a2=0,則存在R的極大左理想M,使得l(a)?MR,因此可以定義左R-模同態(tài)f:Ra→R/M;rar+M,?r∈R.

    下證M是本質(zhì)左理想.若不然,則存在e2=e∈R,使得M=Re=l(1-e).由a∈Ra?M=l(1-e)及R的每個冪等元是中心元知,a(1-e)=0=(1-e)a.故有

    矛盾.于是M是R的本質(zhì)左理想.由R是左GP-V′-環(huán)知,單奇異左R-模R/M 是GP-內(nèi)射的.又因為a2=0,所以存在b∈R,使得1+M=f(a)=ab+M,1-ab∈M.注意到Ra是弱右理想,則存在正整數(shù)n,使得(ab)n∈Ra?M.類似引理1可證ab∈M,1∈M,矛盾.故a=0,R是約化環(huán).證畢.

    定理1 設(shè)R是環(huán),則下列敘述等價:

    1)R是強(qiáng)正則環(huán);

    2)R是左(右)GP-V-環(huán),且R的每個主左(右)理想是弱右(左)理想;

    3)R為每個冪等元是中心元的左(右)GP-V′-環(huán),且每個主左(右)理想是弱右(左)理想.

    證明:1)?2),3)顯然.下證2),3)?1).僅證左的情形,右的情形類似可證.

    2)?1).由引理1和引理2知,R是約化環(huán),則對任意的a∈R,l(a)=r(a).下證Ra+l(a)=R.若不然,則存在a∈R,使得Ra+l(a)≠R,于是存在R的極大左理想M,使得Ra+l(a)?MR.由R 約化知,l(an)=l(a),因此可以定義左R-模同態(tài)f:Ran→R/M;ranr+M,?r∈R.注意到R是左GP-V-環(huán),單左R-模R/M是GP-內(nèi)射的.從而存在b∈R,使得1-anb∈M.又因為Ra是弱右理想,則存在正整數(shù)m,使得(anb)m∈Ra?M.類似引理1可證anb∈M,1∈M,矛盾.所以對任意的a∈R,有Ra+l(a)=R.故R是強(qiáng)正則環(huán).

    3)?1).由引理3知,R是約化環(huán),則對任意的a∈R,l(a)=r(a).下證Ra+l(a)=R.若不然,則存在a∈R,使得Ra+l(a)≠R.類似引理3的證明知,存在R的極大本質(zhì)左理想M,使得Ra+l(a)?MR.于是單奇異左R-模R/M是GP-內(nèi)射的.類似2)?1)可證1∈M,矛盾.所以對任意的a∈R,有l(wèi)(a)+Ra=R.故R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

    命題1 設(shè)R是中心半交換環(huán),則下列敘述等價:

    1)R是強(qiáng)正則環(huán);

    2)R是左GP-V′-環(huán),且R的每個主左理想是弱右理想;

    3)R是左GP-V′-環(huán),且R的每個主右理想是弱左理想.

    證明:1)?2),3)顯然.

    2)?1).由中心半交換環(huán)的定義,設(shè)e是冪等元,則e(1-e)=(1-e)e=0,于是對任意的a∈R,有ea(1-e)∈C(R),(1-e)ae∈C(R).從而ea(1-e)=e·ea(1-e)=ea(1-e)·e=0,則ea=eae.同理有ae=eae.故ae=ea,即冪等元e是中心元.由定理1即得結(jié)論.

    3)?1).對任意的a∈R,若a≠0且a2=0,則存在R的極大左理想M,使得l(a)?MR,因此可定義左R-模同態(tài)f:Ra→R/M;rar+M,?r∈R.易知M 是本質(zhì)左理想.由R是左GP-V′-環(huán)知,單奇異左R-模R/M是GP-內(nèi)射的.又因為a2=0,所以存在b∈R,使得1+M=f(a)=ab+M,1-ab=m∈M,1=ab+m.由于R 是中心半交換環(huán),則aba∈C(R).從而有(aba)(ba)=(ba)(aba)=0,(ab)3=0,ab是冪零元.故m=1-ab有逆元,1∈M,這與M的極大性矛盾.所以a=0,R是約化環(huán),故l(a)=r(a).

    下證對任意的a∈R,aR+l(a)=R.若不然,則存在a∈R,使得aR+l(a)≠R.類似引理3的證明知,存在R的極大本質(zhì)右理想K,使得aR+l(a)?KR.假設(shè)RaRK,則存在r,s∈R,使得ras?K.故K+rasR=R,于是存在x∈K,t∈R,使得x+rast=1.由aR是弱左理想知,存在正整數(shù)m,使得(rast)m∈aR?K,則(1-x)m=(rast)m∈K,1∈K,矛盾.故RaR?K,RaR+l(a)?KR,從而存在R的極大本質(zhì)左理想L,使得RaR+l(a)?LR.由R約化知,l(an)=l(a),因此可以定義左R-模同態(tài)g:Ran→R/L;ranr+L,?r∈R.由R 是左 GP-V′-環(huán)知,單奇異左R-模R/L 是GP-內(nèi)射的,因而存在c∈R,使得1-anc∈L.又因為anc∈RaR?L,則1∈L,矛盾.所以aR+r(a)=aR+l(a)=R,R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

    定理2 設(shè)R是中心半交換環(huán),則下列敘述等價:

    1)R是強(qiáng)正則環(huán);

    2)R是左GP-V′-環(huán),且R的每個極大本質(zhì)左理想是弱右理想;

    3)R是左GP-V′-環(huán),且R的每個極大本質(zhì)右理想是弱左理想.

    證明:1)?2),3)顯然.

    2)?1).由命題1知R約化,下證對于任意的a∈R,Ra+l(a)=R.若不然,則存在a∈R,使得Ra+l(a)≠R.類似引理3的證明知,存在R的極大本質(zhì)左理想M,使得Ra+l(a)?MR.由R約化知,l(an)=l(a),于是可以定義左R-模同態(tài)f:Ran→R/M;ranr+M,?r∈R.由R是左GP-V′-環(huán)知,單奇異左R-模R/M是GP-內(nèi)射的,因此存在b∈R,使得1-anb∈M.又因為M 是弱右理想,則存在正整數(shù)m,使得(anb)m∈M.類似引理1可證anb∈M,1∈M,矛盾.所以對于任意的a∈R,有Ra+l(a)=R.故R是強(qiáng)正則環(huán).

    3)?1).由命題1知R約化,故l(a)=r(a).下證對任意的a∈R,aR+l(a)=R.若不然,則存在a∈R,使得aR+l(a)≠R.類似引理3的證明知,存在R的極大本質(zhì)右理想K,使得aR+l(a)?KR.假設(shè)RaRK,則存在r,s∈R,使得ras?K.故K+rasR=R,于是存在x∈K,t∈R,使得x+rast=1.由K 是弱右理想知,存在正整數(shù)m,使得(rast)m∈K,則(1-x)m=(rast)m∈K,1∈K,矛盾.故RaR?K,RaR+l(a)?KR,因此存在R的極大本質(zhì)左理想L,使得RaR+l(a)?LR.由R約化知,l(an)=l(a),從而可定義左R-模同態(tài)g:Ran→R/L;ranr+L,?r∈R.由R是左GP-V′-環(huán)知,單奇異左R-模R/L 是 GP-內(nèi)射的,因而存在c∈R,使得1-anc∈L.又因為anc∈RaR?L,則1∈L,矛盾.所以aR+r(a)=aR+l(a)=R,R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

    引理4[7]設(shè)R是擬ZI-環(huán),若R是GP-V′-環(huán),則R約化.

    由文獻(xiàn)[7]中引理1.1.3知,擬ZI-環(huán)的每個冪等元是中心元.于是有:

    命題2 設(shè)R是擬ZI-環(huán),則下列敘述等價:

    1)R是強(qiáng)正則環(huán);

    2)R是左GP-V′-環(huán),且R的每個主左理想是弱右理想;

    3)R是左GP-V′-環(huán),且R的每個主右理想是弱左理想.

    證明:1)?2),3)顯然.由定理1可得2)?1).

    3)?1).由引理4知R約化,故l(a)=r(a).下證對于任意的a∈R,aR+l(a)=R.若不然,則存在a∈R,使得aR+l(a)≠R.類似引理3的證明知,存在R的極大本質(zhì)右理想K,使得aR+l(a)?KR.假設(shè)RaRK,則存在r,s∈R,使得ras?K,故K+rasR=R,于是存在x∈K,t∈R,使得x+rast=1.由aR是弱左理想知,存在正整數(shù)m,使得(rast)m∈aR?K,從而(1-x)m=(rast)m∈K,1∈K,矛盾.故RaR?K,RaR+l(a)?KR,于是存在R的極大本質(zhì)左理想L,使得RaR+l(a)?LR.由R約化知,l(an)=l(a),因此可定義左R-模同態(tài)g:Ran→R/L;ranr+L,?r∈R.由R是左GP-V′-環(huán)知,單奇異左R-模R/L是GP-內(nèi)射的,因而存在c∈R,使得1-anc∈L.又因為anc∈RaR?L,則1∈L,矛盾.所以aR+r(a)=aR+l(a)=R,R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

    2 廣義(弱)正則環(huán)的強(qiáng)正則性

    引理5[4]若環(huán)R是廣義正則環(huán),則R是左非奇異環(huán),且J(R)=0.

    定理3 設(shè)R是環(huán),則下列敘述等價:

    1)R是強(qiáng)正則環(huán);

    2)R是廣義正則環(huán),且R的每個主左理想是弱右理想;

    3)R是廣義正則環(huán),且R的每個主右理想是弱左理想.

    證明:1)?2),3)顯然.僅證2)?1),類似可證3)?1).

    2)?1).由引理1和引理5知R約化,則R的每個冪等元是中心的.又因為R是廣義正則環(huán),則對任意的a∈R,Ra=∑Rei,其中ei是中心冪等元.令a=r1e1+…+rnen,則有

    從而有Ra=Re1+…+Ren.令f1=e1+e2-e1e2,則f21=f1,e1f1=e1,e2f1=e2,于是

    故Re1+Re2=Rf1.再令f2=f1+e3-f1e3,…,fn-2=fn-3+en-1-fn-3en-1,e=fn-2+en-fn-2en.如此繼續(xù)下去,有

    則存在b,r∈R,使得a=re,e=ba,故a=ae=ea=ba2,即R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

    命題3 設(shè)R是J-環(huán),則下列敘述等價:

    1)R是強(qiáng)正則環(huán);

    2)R是左弱正則環(huán),且R的每個極大本質(zhì)左理想是弱右理想;

    3)R是左弱正則環(huán),且R的每個極大本質(zhì)右理想是弱左理想;

    4)R是右弱正則環(huán),且R的每個極大本質(zhì)左理想是弱右理想;

    5)R是右弱正則環(huán),且R的每個極大本質(zhì)右理想是弱左理想.

    證明:1)?2),3),4),5)顯然.下證2),3)?1),類似可證4),5)?1).

    2)?1).因為R是左弱正則環(huán),故J(R)=0.又R是J-環(huán),則N(R)=J(R)=0,從而R是約化環(huán).下證l(a)+Ra=R.若l(a)+Ra≠R,則存在R的極大左理想M,使得l(a)+Ra?MR.易知M 是R的本質(zhì)左理想.若不然,則存在e2=e∈R,使得M=Re=l(1-e).由a∈Ra?M=l(1-e)及R約化知,a(1-e)=0=(1-e)a.故有1-e∈l(a)?l(1-e),1-e=(1-e)2=0,1=e∈M,矛盾.于是M是R的本質(zhì)左理想,從而M是弱右理想.又由于R是左弱正則環(huán),故有Ra=RaRa,則存在ri,si∈R,使得a=∑riasia,因此(1-∑riasi)a=0,1-∑riasi∈l(a)?M.若∑riasi?M,則存在正整數(shù)k,使得rkask?M.于是M+Rrkask=R,則存在x∈M,r∈R,使得x+rrkask=1.注意到M是弱右理想且a∈M,則存在正整數(shù)n,使得(rrkask)n∈M,則(1-x)n=(rrkask)n∈M,1∈M,矛盾.所以對于任意的a∈R,有l(wèi)(a)+Ra=R.故R是強(qiáng)正則環(huán).

    3)?1).由上述證明知R是約化環(huán),則對于任意的a∈R,l(a)=r(a).下證r(a)+aR=R.若不然,則存在R的極大右理想K,使得l(a)+aR=r(a)+aR?KR.類似2)?1)的證明知,K是R的本質(zhì)右理想,則K是弱左理想.又因為R是左弱正則環(huán),故有Ra=RaRa.因此存在ri,si∈R,使得a= ∑riasia,從而(1-∑riasi)a=0,1-∑riasi∈l(a)?K.若∑riasi?K,則存在正整數(shù)k,使得rkask?K.于是K+rkaskR=R,則存在x∈K,r∈R,使得x+rkaskr=1.注意到K是弱左理想且a∈K,則存在正整數(shù)n,使得(rkaskr)n∈K,則(1-x)n=(rkaskr)n∈K,1∈K,矛盾.所以對于任意的a∈R,有l(wèi)(a)+aR=r(a)+aR=R.故R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

    定理4 設(shè)R是環(huán),則下列敘述等價:

    1)R是強(qiáng)正則環(huán);

    2)R是左弱正則環(huán),且R的每個主左理想是弱右理想;

    3)R是左弱正則環(huán),且R的每個主右理想是弱左理想;

    4)R是右弱正則環(huán),且R的每個主左理想是弱右理想;

    5)R是右弱正則環(huán),且R的每個主右理想是弱左理想.

    證明:1)?2),3),4),5)顯然.下證2),3)?1),類似可證4),5)?1).

    2)?1).因為R是左弱正則環(huán),故J(R)=0.由引理1知R是約化環(huán).下證l(a)+Ra=R.若l(a)+Ra≠R,則存在R的極大左理想M,使得l(a)+Ra?MR.由于R是左弱正則環(huán),故有Ra=RaRa,則存在ri,si∈R,使得a= ∑riasia,從而(1-∑riasi)a=0,1-∑riasi∈l(a)?M.若∑riasi?M,則存在正整數(shù)k,使得rkask?M.于是M+Rrkask=R,則存在x∈M,r∈R,使得x+rrkask=1.注意到Ra是弱右理想,則存在正整數(shù)n,使得(rkask)n∈Ra?M,從而(1-x)n=(rkask)n∈M,1∈M,矛盾.所以對于任意的a∈R,有l(wèi)(a)+Ra=R.故R是強(qiáng)正則環(huán).

    3)?1).由上述證明知R是約化環(huán),則對于任意的a∈R,l(a)=r(a).下證r(a)+aR=R.若不然,則存在R的極大右理想K,使得l(a)+aR=r(a)+aR?KR.又因為R是左弱正則環(huán),故有Ra=RaRa,則存在ri,si∈R,使得a=∑riasia,從而(1-∑riasi)a=0,1-∑riasi∈l(a)?K.若∑riasi?K,則存在正整數(shù)k,使得rkask?K.于是K+rkaskR=R,則存在x∈K,r∈R,使得x+rkaskr=1.注意到aR是弱左理想且a∈K,則存在正整數(shù)n,使得(rkaskr)n∈aR?K,從而(1-x)n=(rkaskr)n∈M,1∈K,矛盾.所以對于任意的a∈R,有l(wèi)(a)+aR=r(a)+aR=R.故R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

    [1]XIAO Guang-shi,TONG Wen-ting.Rings Whose Every Simple Left R-Modules Is GP-Injective[J].Southeast Asian Bulletin of Math,2006,30(5):969-980.

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    [3]Szsz F A.Radicals of Rings[J].Akacemidi Kiado Budapest,1981,23(1):201-231.

    [4]ZHANG Ju-le.Characterizations of Strong Regular Rings[J].Northeast Math J,1994,10(3):359-364.

    [5]WU Guo-ying,WU Jun.On the Strong Regularity of J-Rings[J].Journal of Shandong University:Natural Science,2012,47(2):71-73.(吳國英,吳俊.關(guān)于J-環(huán)的強(qiáng)正則性 [J].山東大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2012,47(2):71-73.)

    [6]CHEN Wen-bing,YIN Xiao-bin.Some Properties and Characterizations on Wnil-Injective Modules[J].Journal of Jilin University:Science Edition,2011,49(6):985-988.(陳文兵,殷曉斌.Wnil-內(nèi)射模的若干性質(zhì)及刻畫 [J].吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2011,49(6):985-988.)

    [7]WANG Rui.The Regularity of Some Special Rings[D].Wuhu:Anhui Normal University,2011.(王瑞.幾類特殊環(huán)的正則性 [D].蕪湖:安徽師范大學(xué),2011.)(責(zé)任編輯:趙立芹)

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