利用數(shù)學(xué)知識 解決結(jié)構(gòu)類問題

張建民

摘 要：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識以及解題的常用方法思考化學(xué)問題、分析化學(xué)問題、解決化學(xué)中有關(guān)物質(zhì)結(jié)構(gòu)類問題時(shí)，首先應(yīng)抓出化學(xué)本質(zhì)，分析清楚化學(xué)知識背景，其次，將化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，把題中所給的信息設(shè)法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)化學(xué)知識，掌握化學(xué)知識，提高化學(xué)成績，并且也有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、化學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：化學(xué)；數(shù)學(xué)；知識；方法；解題

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，來解決化學(xué)中有關(guān)物質(zhì)結(jié)構(gòu)類的問題，必須將化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，再將此類問題中所給的信息設(shè)法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件，利用數(shù)學(xué)知識，通過推理和計(jì)算，不失為解題的一種好方法。

一、運(yùn)用數(shù)學(xué)的幾何知識解決化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)問題

首先要弄清楚晶胞是從晶體結(jié)構(gòu)中切割出來的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元，根據(jù)晶體類型確定化學(xué)鍵類型，它和周圍許多類似的晶胞仍然通過化學(xué)鍵相結(jié)合；其次，了解該基本結(jié)構(gòu)單元的一個(gè)頂點(diǎn)、一條邊、一個(gè)面為多少個(gè)基本單元所共用，則這一個(gè)頂點(diǎn)、一條邊、一個(gè)面對一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元的貢獻(xiàn)只能是它的（n為基本結(jié)構(gòu)單元的個(gè)數(shù)）。

例1.已知晶體硼的基本結(jié)構(gòu)單元是由硼原子組成的正二十面體（如圖所示），其中有二十個(gè)等邊三角形的面和一定數(shù)目的頂角，每個(gè)頂角各有一個(gè)硼原子。通過觀察圖形及推算得出此基本結(jié)構(gòu)單元是由______個(gè)硼原子構(gòu)成。

解析：本題涉及空間多面體中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)和面的個(gè)數(shù)的問題。在每個(gè)等邊三角形中，有三個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)各有一個(gè)硼原子，組成20個(gè)相互獨(dú)立的三角形就需要60個(gè)頂點(diǎn)；由圖可知：每個(gè)頂點(diǎn)是由五個(gè)等邊三角形共用，一個(gè)硼原子對一個(gè)等邊三角形共用的就是五分之一，因此該基本結(jié)構(gòu)單元中含有的硼原子個(gè)數(shù)為：

x2.如圖里的黑球、白球分別為氯化鈉晶體中的鈉離子或氯離子所在的位置，這兩種離子在空間三個(gè)互相垂直的方向上都是等距離排列的。設(shè)氯化鈉的摩爾質(zhì)量為M g/mol，氯化鈉晶體的密度為ρ g/cm3，阿伏伽德羅常數(shù)為NA。氯化鈉晶體中兩個(gè)距離最近的鈉離子中心間的距離為______cm。

二、運(yùn)用正弦定理、向量法等數(shù)學(xué)知識解決化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)問題

在解決化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)試題時(shí)，常常涉及物質(zhì)的空間構(gòu)型以及鍵角、鍵長問題，有時(shí)很難解決，無法下手，如果這時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)上學(xué)過的正弦定理、向量法等知識進(jìn)行推理分析、計(jì)算就可以快速解決此類問題。

例3.銅是第四周期最重要的過渡元素之一，其單質(zhì)及化合物具有廣泛用途。CuH的晶體結(jié)構(gòu)如右圖所示，若CuH的密度為d g/cm3，阿伏伽德羅常數(shù)的值為NA，則Cu+與H-的核間距離 三、運(yùn)用數(shù)學(xué)的一些常用方法解化學(xué)的晶體結(jié)構(gòu)問題

在解決物質(zhì)結(jié)構(gòu)類問題時(shí)，可以根據(jù)化學(xué)中的一些守恒問題，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)上的方程組，進(jìn)行推理計(jì)算，同樣是一種解題的好方法。

例4.天然的和絕大部分人工制備的晶體都存在各種缺陷，例如，在某氧化鎳晶體中就存在如圖所示的缺陷；一個(gè)Ni2+空缺，另兩個(gè)Ni2+被兩個(gè)Ni3+所取代。其結(jié)果晶體仍呈電中性，但化合物中Ni與O的比值卻發(fā)生了變化。某氧化鎳樣品組成為Ni0.97O，試計(jì)算該晶體中Ni3+與Ni2+的離子數(shù)之比。

所以該晶體中nNi3+∶nNi2+=0.06∶0.91=6∶91

解法二：分析法

根據(jù)題意可知，一個(gè)Ni2+空缺，另外兩個(gè)Ni2+被兩個(gè)Ni3+所取代，由Ni0.97O可知，假設(shè)有100個(gè)氧離子，就有97個(gè)金屬鎳離子，由三個(gè)Ni2+空缺，也就有6個(gè)Ni2+被Ni3+所取代，因此有6個(gè)Ni3+， 的數(shù)目為97-6=91個(gè)，故Ni3+和Ni2+的離子個(gè)數(shù)之比為6∶91。

四、運(yùn)用數(shù)學(xué)上的組合知識解決化學(xué)的晶體結(jié)構(gòu)問題

在中學(xué)化學(xué)學(xué)習(xí)中，涉及物質(zhì)結(jié)構(gòu)問題，有時(shí)很難解決，無法給出準(zhǔn)確結(jié)論，如果這時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)上學(xué)過的組合知識就可以快速解決，增強(qiáng)結(jié)論的可信度。

例5.如圖為金剛石的晶體結(jié)構(gòu)。在該結(jié)構(gòu)中，每個(gè)碳原子最多可形成_____個(gè)六元環(huán)；每個(gè)C-C鍵最多可形成____個(gè)六元環(huán)。

故每個(gè)碳原子最高可形成C24=6×2=12個(gè)六元環(huán)。

另外，固定一個(gè)鍵，其余三個(gè)鍵與該鍵有：C13=3種兩兩相鄰的組合。故一個(gè)C-C鍵最多可形成C13×2=6個(gè)六元環(huán)。

總之，利用數(shù)學(xué)知識思考化學(xué)問題、分析化學(xué)問題、解決化學(xué)問題，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)化學(xué)知識，更好地掌握化學(xué)知識，提高化學(xué)成績，并且，也有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、化學(xué)的興趣。

To Solve the Problem by Using Mathematical Knowledge Structure

Zhang Jianmin

Abstract：Chemical problem commonly use methods of mathematical knowledge and problem solving to think，analysis chemistry problem，solve the chemistry of material structure problem should first grasp the chemical nature，a clear analysis of chemistry knowledge，secondly，the chemistry problem turns into a mathematical problem，the problem of information to try to turn into mathematical conditions，help students to learn knowledge of chemistry，improve chemical performance and also help to stimulate students to learn mathematics，interest in chemistry.

Key words：chemistry；mathematics；Knowledge；method；Solving problems

編輯 王團(tuán)蘭

摘 要：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識以及解題的常用方法思考化學(xué)問題、分析化學(xué)問題、解決化學(xué)中有關(guān)物質(zhì)結(jié)構(gòu)類問題時(shí)，首先應(yīng)抓出化學(xué)本質(zhì)，分析清楚化學(xué)知識背景，其次，將化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，把題中所給的信息設(shè)法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)化學(xué)知識，掌握化學(xué)知識，提高化學(xué)成績，并且也有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、化學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：化學(xué)；數(shù)學(xué)；知識；方法；解題

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，來解決化學(xué)中有關(guān)物質(zhì)結(jié)構(gòu)類的問題，必須將化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，再將此類問題中所給的信息設(shè)法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件，利用數(shù)學(xué)知識，通過推理和計(jì)算，不失為解題的一種好方法。

一、運(yùn)用數(shù)學(xué)的幾何知識解決化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)問題

首先要弄清楚晶胞是從晶體結(jié)構(gòu)中切割出來的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元，根據(jù)晶體類型確定化學(xué)鍵類型，它和周圍許多類似的晶胞仍然通過化學(xué)鍵相結(jié)合；其次，了解該基本結(jié)構(gòu)單元的一個(gè)頂點(diǎn)、一條邊、一個(gè)面為多少個(gè)基本單元所共用，則這一個(gè)頂點(diǎn)、一條邊、一個(gè)面對一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元的貢獻(xiàn)只能是它的（n為基本結(jié)構(gòu)單元的個(gè)數(shù)）。

例1.已知晶體硼的基本結(jié)構(gòu)單元是由硼原子組成的正二十面體（如圖所示），其中有二十個(gè)等邊三角形的面和一定數(shù)目的頂角，每個(gè)頂角各有一個(gè)硼原子。通過觀察圖形及推算得出此基本結(jié)構(gòu)單元是由______個(gè)硼原子構(gòu)成。

解析：本題涉及空間多面體中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)和面的個(gè)數(shù)的問題。在每個(gè)等邊三角形中，有三個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)各有一個(gè)硼原子，組成20個(gè)相互獨(dú)立的三角形就需要60個(gè)頂點(diǎn)；由圖可知：每個(gè)頂點(diǎn)是由五個(gè)等邊三角形共用，一個(gè)硼原子對一個(gè)等邊三角形共用的就是五分之一，因此該基本結(jié)構(gòu)單元中含有的硼原子個(gè)數(shù)為：

x2.如圖里的黑球、白球分別為氯化鈉晶體中的鈉離子或氯離子所在的位置，這兩種離子在空間三個(gè)互相垂直的方向上都是等距離排列的。設(shè)氯化鈉的摩爾質(zhì)量為M g/mol，氯化鈉晶體的密度為ρ g/cm3，阿伏伽德羅常數(shù)為NA。氯化鈉晶體中兩個(gè)距離最近的鈉離子中心間的距離為______cm。

二、運(yùn)用正弦定理、向量法等數(shù)學(xué)知識解決化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)問題

在解決化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)試題時(shí)，常常涉及物質(zhì)的空間構(gòu)型以及鍵角、鍵長問題，有時(shí)很難解決，無法下手，如果這時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)上學(xué)過的正弦定理、向量法等知識進(jìn)行推理分析、計(jì)算就可以快速解決此類問題。

例3.銅是第四周期最重要的過渡元素之一，其單質(zhì)及化合物具有廣泛用途。CuH的晶體結(jié)構(gòu)如右圖所示，若CuH的密度為d g/cm3，阿伏伽德羅常數(shù)的值為NA，則Cu+與H-的核間距離 三、運(yùn)用數(shù)學(xué)的一些常用方法解化學(xué)的晶體結(jié)構(gòu)問題

在解決物質(zhì)結(jié)構(gòu)類問題時(shí)，可以根據(jù)化學(xué)中的一些守恒問題，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)上的方程組，進(jìn)行推理計(jì)算，同樣是一種解題的好方法。

例4.天然的和絕大部分人工制備的晶體都存在各種缺陷，例如，在某氧化鎳晶體中就存在如圖所示的缺陷；一個(gè)Ni2+空缺，另兩個(gè)Ni2+被兩個(gè)Ni3+所取代。其結(jié)果晶體仍呈電中性，但化合物中Ni與O的比值卻發(fā)生了變化。某氧化鎳樣品組成為Ni0.97O，試計(jì)算該晶體中Ni3+與Ni2+的離子數(shù)之比。

所以該晶體中nNi3+∶nNi2+=0.06∶0.91=6∶91

解法二：分析法

根據(jù)題意可知，一個(gè)Ni2+空缺，另外兩個(gè)Ni2+被兩個(gè)Ni3+所取代，由Ni0.97O可知，假設(shè)有100個(gè)氧離子，就有97個(gè)金屬鎳離子，由三個(gè)Ni2+空缺，也就有6個(gè)Ni2+被Ni3+所取代，因此有6個(gè)Ni3+， 的數(shù)目為97-6=91個(gè)，故Ni3+和Ni2+的離子個(gè)數(shù)之比為6∶91。

四、運(yùn)用數(shù)學(xué)上的組合知識解決化學(xué)的晶體結(jié)構(gòu)問題

在中學(xué)化學(xué)學(xué)習(xí)中，涉及物質(zhì)結(jié)構(gòu)問題，有時(shí)很難解決，無法給出準(zhǔn)確結(jié)論，如果這時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)上學(xué)過的組合知識就可以快速解決，增強(qiáng)結(jié)論的可信度。

例5.如圖為金剛石的晶體結(jié)構(gòu)。在該結(jié)構(gòu)中，每個(gè)碳原子最多可形成_____個(gè)六元環(huán)；每個(gè)C-C鍵最多可形成____個(gè)六元環(huán)。

故每個(gè)碳原子最高可形成C24=6×2=12個(gè)六元環(huán)。

另外，固定一個(gè)鍵，其余三個(gè)鍵與該鍵有：C13=3種兩兩相鄰的組合。故一個(gè)C-C鍵最多可形成C13×2=6個(gè)六元環(huán)。

總之，利用數(shù)學(xué)知識思考化學(xué)問題、分析化學(xué)問題、解決化學(xué)問題，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)化學(xué)知識，更好地掌握化學(xué)知識，提高化學(xué)成績，并且，也有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、化學(xué)的興趣。

To Solve the Problem by Using Mathematical Knowledge Structure

Zhang Jianmin

Abstract：Chemical problem commonly use methods of mathematical knowledge and problem solving to think，analysis chemistry problem，solve the chemistry of material structure problem should first grasp the chemical nature，a clear analysis of chemistry knowledge，secondly，the chemistry problem turns into a mathematical problem，the problem of information to try to turn into mathematical conditions，help students to learn knowledge of chemistry，improve chemical performance and also help to stimulate students to learn mathematics，interest in chemistry.

Key words：chemistry；mathematics；Knowledge；method；Solving problems

編輯 王團(tuán)蘭

摘 要：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識以及解題的常用方法思考化學(xué)問題、分析化學(xué)問題、解決化學(xué)中有關(guān)物質(zhì)結(jié)構(gòu)類問題時(shí)，首先應(yīng)抓出化學(xué)本質(zhì)，分析清楚化學(xué)知識背景，其次，將化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，把題中所給的信息設(shè)法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)化學(xué)知識，掌握化學(xué)知識，提高化學(xué)成績，并且也有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、化學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：化學(xué)；數(shù)學(xué)；知識；方法；解題

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，來解決化學(xué)中有關(guān)物質(zhì)結(jié)構(gòu)類的問題，必須將化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，再將此類問題中所給的信息設(shè)法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件，利用數(shù)學(xué)知識，通過推理和計(jì)算，不失為解題的一種好方法。

一、運(yùn)用數(shù)學(xué)的幾何知識解決化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)問題

首先要弄清楚晶胞是從晶體結(jié)構(gòu)中切割出來的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元，根據(jù)晶體類型確定化學(xué)鍵類型，它和周圍許多類似的晶胞仍然通過化學(xué)鍵相結(jié)合；其次，了解該基本結(jié)構(gòu)單元的一個(gè)頂點(diǎn)、一條邊、一個(gè)面為多少個(gè)基本單元所共用，則這一個(gè)頂點(diǎn)、一條邊、一個(gè)面對一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元的貢獻(xiàn)只能是它的（n為基本結(jié)構(gòu)單元的個(gè)數(shù)）。

例1.已知晶體硼的基本結(jié)構(gòu)單元是由硼原子組成的正二十面體（如圖所示），其中有二十個(gè)等邊三角形的面和一定數(shù)目的頂角，每個(gè)頂角各有一個(gè)硼原子。通過觀察圖形及推算得出此基本結(jié)構(gòu)單元是由______個(gè)硼原子構(gòu)成。

解析：本題涉及空間多面體中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)和面的個(gè)數(shù)的問題。在每個(gè)等邊三角形中，有三個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)各有一個(gè)硼原子，組成20個(gè)相互獨(dú)立的三角形就需要60個(gè)頂點(diǎn)；由圖可知：每個(gè)頂點(diǎn)是由五個(gè)等邊三角形共用，一個(gè)硼原子對一個(gè)等邊三角形共用的就是五分之一，因此該基本結(jié)構(gòu)單元中含有的硼原子個(gè)數(shù)為：

x2.如圖里的黑球、白球分別為氯化鈉晶體中的鈉離子或氯離子所在的位置，這兩種離子在空間三個(gè)互相垂直的方向上都是等距離排列的。設(shè)氯化鈉的摩爾質(zhì)量為M g/mol，氯化鈉晶體的密度為ρ g/cm3，阿伏伽德羅常數(shù)為NA。氯化鈉晶體中兩個(gè)距離最近的鈉離子中心間的距離為______cm。

二、運(yùn)用正弦定理、向量法等數(shù)學(xué)知識解決化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)問題

在解決化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)試題時(shí)，常常涉及物質(zhì)的空間構(gòu)型以及鍵角、鍵長問題，有時(shí)很難解決，無法下手，如果這時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)上學(xué)過的正弦定理、向量法等知識進(jìn)行推理分析、計(jì)算就可以快速解決此類問題。

例3.銅是第四周期最重要的過渡元素之一，其單質(zhì)及化合物具有廣泛用途。CuH的晶體結(jié)構(gòu)如右圖所示，若CuH的密度為d g/cm3，阿伏伽德羅常數(shù)的值為NA，則Cu+與H-的核間距離 三、運(yùn)用數(shù)學(xué)的一些常用方法解化學(xué)的晶體結(jié)構(gòu)問題

在解決物質(zhì)結(jié)構(gòu)類問題時(shí)，可以根據(jù)化學(xué)中的一些守恒問題，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)上的方程組，進(jìn)行推理計(jì)算，同樣是一種解題的好方法。

例4.天然的和絕大部分人工制備的晶體都存在各種缺陷，例如，在某氧化鎳晶體中就存在如圖所示的缺陷；一個(gè)Ni2+空缺，另兩個(gè)Ni2+被兩個(gè)Ni3+所取代。其結(jié)果晶體仍呈電中性，但化合物中Ni與O的比值卻發(fā)生了變化。某氧化鎳樣品組成為Ni0.97O，試計(jì)算該晶體中Ni3+與Ni2+的離子數(shù)之比。

所以該晶體中nNi3+∶nNi2+=0.06∶0.91=6∶91

解法二：分析法

根據(jù)題意可知，一個(gè)Ni2+空缺，另外兩個(gè)Ni2+被兩個(gè)Ni3+所取代，由Ni0.97O可知，假設(shè)有100個(gè)氧離子，就有97個(gè)金屬鎳離子，由三個(gè)Ni2+空缺，也就有6個(gè)Ni2+被Ni3+所取代，因此有6個(gè)Ni3+， 的數(shù)目為97-6=91個(gè)，故Ni3+和Ni2+的離子個(gè)數(shù)之比為6∶91。

四、運(yùn)用數(shù)學(xué)上的組合知識解決化學(xué)的晶體結(jié)構(gòu)問題

在中學(xué)化學(xué)學(xué)習(xí)中，涉及物質(zhì)結(jié)構(gòu)問題，有時(shí)很難解決，無法給出準(zhǔn)確結(jié)論，如果這時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)上學(xué)過的組合知識就可以快速解決，增強(qiáng)結(jié)論的可信度。

例5.如圖為金剛石的晶體結(jié)構(gòu)。在該結(jié)構(gòu)中，每個(gè)碳原子最多可形成_____個(gè)六元環(huán)；每個(gè)C-C鍵最多可形成____個(gè)六元環(huán)。

故每個(gè)碳原子最高可形成C24=6×2=12個(gè)六元環(huán)。

另外，固定一個(gè)鍵，其余三個(gè)鍵與該鍵有：C13=3種兩兩相鄰的組合。故一個(gè)C-C鍵最多可形成C13×2=6個(gè)六元環(huán)。

總之，利用數(shù)學(xué)知識思考化學(xué)問題、分析化學(xué)問題、解決化學(xué)問題，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)化學(xué)知識，更好地掌握化學(xué)知識，提高化學(xué)成績，并且，也有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、化學(xué)的興趣。

To Solve the Problem by Using Mathematical Knowledge Structure

Zhang Jianmin

Abstract：Chemical problem commonly use methods of mathematical knowledge and problem solving to think，analysis chemistry problem，solve the chemistry of material structure problem should first grasp the chemical nature，a clear analysis of chemistry knowledge，secondly，the chemistry problem turns into a mathematical problem，the problem of information to try to turn into mathematical conditions，help students to learn knowledge of chemistry，improve chemical performance and also help to stimulate students to learn mathematics，interest in chemistry.

Key words：chemistry；mathematics；Knowledge；method；Solving problems

編輯 王團(tuán)蘭