最短距離 常考常新

張青云

在平面圖形中研究最短距離問(wèn)題，是近年來(lái)各地中考命題的熱點(diǎn).2014年廣州市中考卷第24題就以二次函數(shù)為背景，用存在性問(wèn)題的方式，推陳出新，研究四邊形的最短周長(zhǎng).本文嘗試對(duì)該題進(jìn)行一些探討評(píng)析，供同行研討.1 考題展示與思路探討

題目：已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）過(guò)點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C.點(diǎn)P（m，n）（n<0）為拋物線上一點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍.

2 考題特點(diǎn)評(píng)析

2.1 能力要求層次分明，知識(shí)點(diǎn)交匯相融

本題為函數(shù)與圖形結(jié)合的綜合題，壓軸味道濃厚.三個(gè)小題彼此關(guān)聯(lián)，能力要求層次鮮明.第（1）問(wèn)，面向全體，是考查最為基本的運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)等常規(guī)要求；第（2）問(wèn)，面向中層，有一定的挑戰(zhàn)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的水平，結(jié)合相似三角形或勾股定理的相關(guān)知識(shí)，研究拋物線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律；第（3）問(wèn)，具有濃郁的選拔色彩，較為復(fù)雜，需要具有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.如果學(xué)生之前沒(méi)有積累一定量的解決最短路徑問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，那毫無(wú)疑義在考場(chǎng)上將面臨極大的挑戰(zhàn).其對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)主要有：軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式等.同時(shí)，在各小問(wèn)知識(shí)點(diǎn)之中，充分融匯了方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，成為一個(gè)以函數(shù)為載體，以圖形性質(zhì)為內(nèi)核的完美統(tǒng)一的有機(jī)整體.

2.2 源于課本，拓展教材思維空間

第（3）問(wèn)“四邊形周長(zhǎng)最短問(wèn)題”其實(shí)是源于人教版《數(shù)學(xué)》教科書八年級(jí)上冊(cè)“134課題學(xué)習(xí)：最短路徑問(wèn)題”.類比教材86頁(yè)的“造橋選址問(wèn)題”，河流相當(dāng)于兩條平行直線k、l所夾部分，橋梁MN相當(dāng)于線段C′P′，不同的只是原分居于河流兩側(cè)的兩定點(diǎn)A、B，在這里變成在“河流kl”的同側(cè).如果以直線l為對(duì)稱軸，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，則問(wèn)題也就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繌腁′到B的路徑A′C′P′B最短問(wèn)題了（圖7）.至此我們看到，第（3）問(wèn)本質(zhì)上就是“造橋選址問(wèn)題”，其解決的基本策略就是利用軸對(duì)稱和平移的知識(shí)，將問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，命題者推陳出新，將原與河流垂直的橋梁MN，變成了現(xiàn)在與“河流”成一固定交角的CP，拓展了思維的空間，也增加了數(shù)學(xué)的趣味性.3 教學(xué)思考

3.1 提高對(duì)“綜合與實(shí)踐”課程內(nèi)容的認(rèn)識(shí)

本題第（3）問(wèn)從內(nèi)容形式上講，當(dāng)屬“綜合與實(shí)踐”部分.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”四部分.就“綜合與實(shí)踐”部分，《課標(biāo)（2011年版）》明確指出，其設(shè)置目的就是“培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力.”并且明確要求“應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次”的教學(xué)活動(dòng).在教材形式上，綜合與實(shí)踐內(nèi)容是以“課題學(xué)習(xí)”、“數(shù)學(xué)活動(dòng)”和“拓廣探索”類習(xí)題等多種方式呈現(xiàn)的，分散于全書各章之中，并與相關(guān)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容較緊密地結(jié)合.比如“最短路徑問(wèn)題”，正是人教修訂版教材中新增的一個(gè)課題學(xué)習(xí)活動(dòng).在教學(xué)中，要重視并保證這樣的課題學(xué)習(xí)活動(dòng)的有效開(kāi)展，使學(xué)生在整體理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，也能積累并創(chuàng)造出解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與策略，并逐步形成他們的數(shù)學(xué)思維能力.

3.2 注重對(duì)解題基本模式的整理積累

羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出數(shù)學(xué)解題的四步程式：“理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思”.他認(rèn)為解題最關(guān)鍵的就是“理解題意，模式識(shí)別”的過(guò)程.“在弄清條件、弄清結(jié)論的同時(shí)，努力在條件與結(jié)論之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決的基本問(wèn)題.在每個(gè)人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲(chǔ)存有一些基本模式與經(jīng)典題型，對(duì)于大量的常規(guī)題來(lái)說(shuō)，題意弄清楚了，題型就得以識(shí)別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來(lái)，這就是模式識(shí)別.”比如本題的最短周長(zhǎng)，說(shuō)千道萬(wàn)，最后終歸落幕于“最短距離問(wèn)題”.所以在教學(xué)中，我們要注重以典型問(wèn)題或經(jīng)典題型為抓手，做好數(shù)學(xué)解題方法的歸類與積累，以幫助學(xué)生形成較為完善的數(shù)學(xué)解題模式體系.endprint

在平面圖形中研究最短距離問(wèn)題，是近年來(lái)各地中考命題的熱點(diǎn).2014年廣州市中考卷第24題就以二次函數(shù)為背景，用存在性問(wèn)題的方式，推陳出新，研究四邊形的最短周長(zhǎng).本文嘗試對(duì)該題進(jìn)行一些探討評(píng)析，供同行研討.1 考題展示與思路探討

題目：已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）過(guò)點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C.點(diǎn)P（m，n）（n<0）為拋物線上一點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍.

2 考題特點(diǎn)評(píng)析

2.1 能力要求層次分明，知識(shí)點(diǎn)交匯相融

本題為函數(shù)與圖形結(jié)合的綜合題，壓軸味道濃厚.三個(gè)小題彼此關(guān)聯(lián)，能力要求層次鮮明.第（1）問(wèn)，面向全體，是考查最為基本的運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)等常規(guī)要求；第（2）問(wèn)，面向中層，有一定的挑戰(zhàn)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的水平，結(jié)合相似三角形或勾股定理的相關(guān)知識(shí)，研究拋物線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律；第（3）問(wèn)，具有濃郁的選拔色彩，較為復(fù)雜，需要具有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.如果學(xué)生之前沒(méi)有積累一定量的解決最短路徑問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，那毫無(wú)疑義在考場(chǎng)上將面臨極大的挑戰(zhàn).其對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)主要有：軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式等.同時(shí)，在各小問(wèn)知識(shí)點(diǎn)之中，充分融匯了方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，成為一個(gè)以函數(shù)為載體，以圖形性質(zhì)為內(nèi)核的完美統(tǒng)一的有機(jī)整體.

2.2 源于課本，拓展教材思維空間

第（3）問(wèn)“四邊形周長(zhǎng)最短問(wèn)題”其實(shí)是源于人教版《數(shù)學(xué)》教科書八年級(jí)上冊(cè)“134課題學(xué)習(xí)：最短路徑問(wèn)題”.類比教材86頁(yè)的“造橋選址問(wèn)題”，河流相當(dāng)于兩條平行直線k、l所夾部分，橋梁MN相當(dāng)于線段C′P′，不同的只是原分居于河流兩側(cè)的兩定點(diǎn)A、B，在這里變成在“河流kl”的同側(cè).如果以直線l為對(duì)稱軸，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，則問(wèn)題也就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繌腁′到B的路徑A′C′P′B最短問(wèn)題了（圖7）.至此我們看到，第（3）問(wèn)本質(zhì)上就是“造橋選址問(wèn)題”，其解決的基本策略就是利用軸對(duì)稱和平移的知識(shí)，將問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，命題者推陳出新，將原與河流垂直的橋梁MN，變成了現(xiàn)在與“河流”成一固定交角的CP，拓展了思維的空間，也增加了數(shù)學(xué)的趣味性.3 教學(xué)思考

3.1 提高對(duì)“綜合與實(shí)踐”課程內(nèi)容的認(rèn)識(shí)

本題第（3）問(wèn)從內(nèi)容形式上講，當(dāng)屬“綜合與實(shí)踐”部分.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”四部分.就“綜合與實(shí)踐”部分，《課標(biāo)（2011年版）》明確指出，其設(shè)置目的就是“培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力.”并且明確要求“應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次”的教學(xué)活動(dòng).在教材形式上，綜合與實(shí)踐內(nèi)容是以“課題學(xué)習(xí)”、“數(shù)學(xué)活動(dòng)”和“拓廣探索”類習(xí)題等多種方式呈現(xiàn)的，分散于全書各章之中，并與相關(guān)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容較緊密地結(jié)合.比如“最短路徑問(wèn)題”，正是人教修訂版教材中新增的一個(gè)課題學(xué)習(xí)活動(dòng).在教學(xué)中，要重視并保證這樣的課題學(xué)習(xí)活動(dòng)的有效開(kāi)展，使學(xué)生在整體理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，也能積累并創(chuàng)造出解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與策略，并逐步形成他們的數(shù)學(xué)思維能力.

3.2 注重對(duì)解題基本模式的整理積累

羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出數(shù)學(xué)解題的四步程式：“理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思”.他認(rèn)為解題最關(guān)鍵的就是“理解題意，模式識(shí)別”的過(guò)程.“在弄清條件、弄清結(jié)論的同時(shí)，努力在條件與結(jié)論之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決的基本問(wèn)題.在每個(gè)人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲(chǔ)存有一些基本模式與經(jīng)典題型，對(duì)于大量的常規(guī)題來(lái)說(shuō)，題意弄清楚了，題型就得以識(shí)別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來(lái)，這就是模式識(shí)別.”比如本題的最短周長(zhǎng)，說(shuō)千道萬(wàn)，最后終歸落幕于“最短距離問(wèn)題”.所以在教學(xué)中，我們要注重以典型問(wèn)題或經(jīng)典題型為抓手，做好數(shù)學(xué)解題方法的歸類與積累，以幫助學(xué)生形成較為完善的數(shù)學(xué)解題模式體系.endprint

在平面圖形中研究最短距離問(wèn)題，是近年來(lái)各地中考命題的熱點(diǎn).2014年廣州市中考卷第24題就以二次函數(shù)為背景，用存在性問(wèn)題的方式，推陳出新，研究四邊形的最短周長(zhǎng).本文嘗試對(duì)該題進(jìn)行一些探討評(píng)析，供同行研討.1 考題展示與思路探討

題目：已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）過(guò)點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C.點(diǎn)P（m，n）（n<0）為拋物線上一點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍.

2 考題特點(diǎn)評(píng)析

2.1 能力要求層次分明，知識(shí)點(diǎn)交匯相融

本題為函數(shù)與圖形結(jié)合的綜合題，壓軸味道濃厚.三個(gè)小題彼此關(guān)聯(lián)，能力要求層次鮮明.第（1）問(wèn)，面向全體，是考查最為基本的運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)等常規(guī)要求；第（2）問(wèn)，面向中層，有一定的挑戰(zhàn)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的水平，結(jié)合相似三角形或勾股定理的相關(guān)知識(shí)，研究拋物線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律；第（3）問(wèn)，具有濃郁的選拔色彩，較為復(fù)雜，需要具有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.如果學(xué)生之前沒(méi)有積累一定量的解決最短路徑問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，那毫無(wú)疑義在考場(chǎng)上將面臨極大的挑戰(zhàn).其對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)主要有：軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式等.同時(shí)，在各小問(wèn)知識(shí)點(diǎn)之中，充分融匯了方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，成為一個(gè)以函數(shù)為載體，以圖形性質(zhì)為內(nèi)核的完美統(tǒng)一的有機(jī)整體.

2.2 源于課本，拓展教材思維空間

第（3）問(wèn)“四邊形周長(zhǎng)最短問(wèn)題”其實(shí)是源于人教版《數(shù)學(xué)》教科書八年級(jí)上冊(cè)“134課題學(xué)習(xí)：最短路徑問(wèn)題”.類比教材86頁(yè)的“造橋選址問(wèn)題”，河流相當(dāng)于兩條平行直線k、l所夾部分，橋梁MN相當(dāng)于線段C′P′，不同的只是原分居于河流兩側(cè)的兩定點(diǎn)A、B，在這里變成在“河流kl”的同側(cè).如果以直線l為對(duì)稱軸，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，則問(wèn)題也就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繌腁′到B的路徑A′C′P′B最短問(wèn)題了（圖7）.至此我們看到，第（3）問(wèn)本質(zhì)上就是“造橋選址問(wèn)題”，其解決的基本策略就是利用軸對(duì)稱和平移的知識(shí)，將問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，命題者推陳出新，將原與河流垂直的橋梁MN，變成了現(xiàn)在與“河流”成一固定交角的CP，拓展了思維的空間，也增加了數(shù)學(xué)的趣味性.3 教學(xué)思考

3.1 提高對(duì)“綜合與實(shí)踐”課程內(nèi)容的認(rèn)識(shí)

本題第（3）問(wèn)從內(nèi)容形式上講，當(dāng)屬“綜合與實(shí)踐”部分.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”四部分.就“綜合與實(shí)踐”部分，《課標(biāo)（2011年版）》明確指出，其設(shè)置目的就是“培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力.”并且明確要求“應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次”的教學(xué)活動(dòng).在教材形式上，綜合與實(shí)踐內(nèi)容是以“課題學(xué)習(xí)”、“數(shù)學(xué)活動(dòng)”和“拓廣探索”類習(xí)題等多種方式呈現(xiàn)的，分散于全書各章之中，并與相關(guān)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容較緊密地結(jié)合.比如“最短路徑問(wèn)題”，正是人教修訂版教材中新增的一個(gè)課題學(xué)習(xí)活動(dòng).在教學(xué)中，要重視并保證這樣的課題學(xué)習(xí)活動(dòng)的有效開(kāi)展，使學(xué)生在整體理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，也能積累并創(chuàng)造出解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與策略，并逐步形成他們的數(shù)學(xué)思維能力.

3.2 注重對(duì)解題基本模式的整理積累

羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出數(shù)學(xué)解題的四步程式：“理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思”.他認(rèn)為解題最關(guān)鍵的就是“理解題意，模式識(shí)別”的過(guò)程.“在弄清條件、弄清結(jié)論的同時(shí)，努力在條件與結(jié)論之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決的基本問(wèn)題.在每個(gè)人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲(chǔ)存有一些基本模式與經(jīng)典題型，對(duì)于大量的常規(guī)題來(lái)說(shuō)，題意弄清楚了，題型就得以識(shí)別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來(lái)，這就是模式識(shí)別.”比如本題的最短周長(zhǎng)，說(shuō)千道萬(wàn)，最后終歸落幕于“最短距離問(wèn)題”.所以在教學(xué)中，我們要注重以典型問(wèn)題或經(jīng)典題型為抓手，做好數(shù)學(xué)解題方法的歸類與積累，以幫助學(xué)生形成較為完善的數(shù)學(xué)解題模式體系.endprint