三角形中位線定理的新證法及教學(xué)啟示

三角形中位線定理的證明有很多種方法，如全等三角形法、相似三角形法、坐標(biāo)法等，本文給出一種“旋轉(zhuǎn)構(gòu)造”新方法.先看兩個(gè)基本事實(shí).

又旋轉(zhuǎn).把△DEF分別繞DF、DE、EF的中點(diǎn)順或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，經(jīng)歷圖Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ；每次旋轉(zhuǎn)后都標(biāo)示角度、邊長(zhǎng)以利于數(shù)據(jù)凸顯與邏輯思維的展開！由基本事實(shí)2依次得到：平行四邊形ADEF、平行四邊形BDFE、平行四邊形DFCE.

注意到已知的△DEF中有α+β+γ=180°，故A、D、B共線，B、E、C共線，A、F、C共線，即構(gòu)成了一個(gè)大三角形且其邊長(zhǎng)分別為a、b、c，見圖Ⅳ.

顯然，它就是與原已知的△ABC全等的三角形！

教學(xué)啟示 （1）初等數(shù)學(xué)研究的空間雖然很小很小了，但只要我們不斷挖掘仍會(huì)有意想不到的創(chuàng)新的收獲，特別是幾何引進(jìn)數(shù)學(xué)變換的觀點(diǎn)下，無論是知識(shí)上還是教學(xué)上都會(huì)有突破?。?）利用此基本觀點(diǎn)（變換觀）可進(jìn)一步改善八年級(jí)特殊四邊形的教學(xué)：湘教版八年級(jí)下冊(cè)第三章平行四邊形一章內(nèi)容多、繁、雜，如何有效“穿針引線”？

受“基本事實(shí)2”的啟發(fā)：充分利用湘教版的“變換”特點(diǎn)，由“任意三角形繞一邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形”結(jié)論出發(fā)，依次按邊、按角、按邊角條件不斷強(qiáng)化引出菱形、矩形、正方形課題！

具體：從“邊條件強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)榈妊切卫@底邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一組鄰邊相等的平行四邊形”是菱形的課題！再依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等仿平行四邊形展開菱形的學(xué)習(xí)！

從“角條件強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)橹苯侨切卫@斜邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形”是矩形的課題！從菱形單元的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等展開矩形的學(xué)習(xí)！

最后從“邊和角條件同時(shí)強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)榈妊苯侨切卫@斜邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一組鄰邊相等、一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形”是正方形的課題！從菱形、矩形單元學(xué)習(xí)的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等展開正方形的學(xué)習(xí)！

顯然，按上方式學(xué)習(xí)條理清晰、方向明確、思路自然，類比探究科學(xué)、順路、流暢！對(duì)學(xué)生邏輯類比學(xué)習(xí)方法做了一個(gè)非常有效的鋪墊和示范！

作者簡(jiǎn)介 陳金紅，男，1968年10生，中學(xué)高級(jí)教師.湖南省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)會(huì)員.湖南省骨干教師、常德市優(yōu)秀骨干教師、歷屆聘任的中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師；發(fā)表論文60多篇，參編國(guó)家、省級(jí)出版物5本.全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題FHB130512《生命課堂視野下的教學(xué)案例研究》、湖南省教育學(xué)會(huì)課題NH4—21（已結(jié)題）主研員.endprint

三角形中位線定理的證明有很多種方法，如全等三角形法、相似三角形法、坐標(biāo)法等，本文給出一種“旋轉(zhuǎn)構(gòu)造”新方法.先看兩個(gè)基本事實(shí).

又旋轉(zhuǎn).把△DEF分別繞DF、DE、EF的中點(diǎn)順或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，經(jīng)歷圖Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ；每次旋轉(zhuǎn)后都標(biāo)示角度、邊長(zhǎng)以利于數(shù)據(jù)凸顯與邏輯思維的展開！由基本事實(shí)2依次得到：平行四邊形ADEF、平行四邊形BDFE、平行四邊形DFCE.

注意到已知的△DEF中有α+β+γ=180°，故A、D、B共線，B、E、C共線，A、F、C共線，即構(gòu)成了一個(gè)大三角形且其邊長(zhǎng)分別為a、b、c，見圖Ⅳ.

顯然，它就是與原已知的△ABC全等的三角形！

教學(xué)啟示 （1）初等數(shù)學(xué)研究的空間雖然很小很小了，但只要我們不斷挖掘仍會(huì)有意想不到的創(chuàng)新的收獲，特別是幾何引進(jìn)數(shù)學(xué)變換的觀點(diǎn)下，無論是知識(shí)上還是教學(xué)上都會(huì)有突破?。?）利用此基本觀點(diǎn)（變換觀）可進(jìn)一步改善八年級(jí)特殊四邊形的教學(xué)：湘教版八年級(jí)下冊(cè)第三章平行四邊形一章內(nèi)容多、繁、雜，如何有效“穿針引線”？

受“基本事實(shí)2”的啟發(fā)：充分利用湘教版的“變換”特點(diǎn)，由“任意三角形繞一邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形”結(jié)論出發(fā)，依次按邊、按角、按邊角條件不斷強(qiáng)化引出菱形、矩形、正方形課題！

具體：從“邊條件強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)榈妊切卫@底邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一組鄰邊相等的平行四邊形”是菱形的課題！再依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等仿平行四邊形展開菱形的學(xué)習(xí)！

從“角條件強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)橹苯侨切卫@斜邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形”是矩形的課題！從菱形單元的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等展開矩形的學(xué)習(xí)！

最后從“邊和角條件同時(shí)強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)榈妊苯侨切卫@斜邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一組鄰邊相等、一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形”是正方形的課題！從菱形、矩形單元學(xué)習(xí)的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等展開正方形的學(xué)習(xí)！

顯然，按上方式學(xué)習(xí)條理清晰、方向明確、思路自然，類比探究科學(xué)、順路、流暢！對(duì)學(xué)生邏輯類比學(xué)習(xí)方法做了一個(gè)非常有效的鋪墊和示范！

作者簡(jiǎn)介 陳金紅，男，1968年10生，中學(xué)高級(jí)教師.湖南省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)會(huì)員.湖南省骨干教師、常德市優(yōu)秀骨干教師、歷屆聘任的中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師；發(fā)表論文60多篇，參編國(guó)家、省級(jí)出版物5本.全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題FHB130512《生命課堂視野下的教學(xué)案例研究》、湖南省教育學(xué)會(huì)課題NH4—21（已結(jié)題）主研員.endprint

三角形中位線定理的證明有很多種方法，如全等三角形法、相似三角形法、坐標(biāo)法等，本文給出一種“旋轉(zhuǎn)構(gòu)造”新方法.先看兩個(gè)基本事實(shí).

又旋轉(zhuǎn).把△DEF分別繞DF、DE、EF的中點(diǎn)順或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，經(jīng)歷圖Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ；每次旋轉(zhuǎn)后都標(biāo)示角度、邊長(zhǎng)以利于數(shù)據(jù)凸顯與邏輯思維的展開！由基本事實(shí)2依次得到：平行四邊形ADEF、平行四邊形BDFE、平行四邊形DFCE.

注意到已知的△DEF中有α+β+γ=180°，故A、D、B共線，B、E、C共線，A、F、C共線，即構(gòu)成了一個(gè)大三角形且其邊長(zhǎng)分別為a、b、c，見圖Ⅳ.

顯然，它就是與原已知的△ABC全等的三角形！

教學(xué)啟示 （1）初等數(shù)學(xué)研究的空間雖然很小很小了，但只要我們不斷挖掘仍會(huì)有意想不到的創(chuàng)新的收獲，特別是幾何引進(jìn)數(shù)學(xué)變換的觀點(diǎn)下，無論是知識(shí)上還是教學(xué)上都會(huì)有突破?。?）利用此基本觀點(diǎn)（變換觀）可進(jìn)一步改善八年級(jí)特殊四邊形的教學(xué)：湘教版八年級(jí)下冊(cè)第三章平行四邊形一章內(nèi)容多、繁、雜，如何有效“穿針引線”？

受“基本事實(shí)2”的啟發(fā)：充分利用湘教版的“變換”特點(diǎn)，由“任意三角形繞一邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形”結(jié)論出發(fā)，依次按邊、按角、按邊角條件不斷強(qiáng)化引出菱形、矩形、正方形課題！

具體：從“邊條件強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)榈妊切卫@底邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一組鄰邊相等的平行四邊形”是菱形的課題！再依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等仿平行四邊形展開菱形的學(xué)習(xí)！

從“角條件強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)橹苯侨切卫@斜邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形”是矩形的課題！從菱形單元的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等展開矩形的學(xué)習(xí)！

最后從“邊和角條件同時(shí)強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)榈妊苯侨切卫@斜邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一組鄰邊相等、一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形”是正方形的課題！從菱形、矩形單元學(xué)習(xí)的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等展開正方形的學(xué)習(xí)！

顯然，按上方式學(xué)習(xí)條理清晰、方向明確、思路自然，類比探究科學(xué)、順路、流暢！對(duì)學(xué)生邏輯類比學(xué)習(xí)方法做了一個(gè)非常有效的鋪墊和示范！

作者簡(jiǎn)介 陳金紅，男，1968年10生，中學(xué)高級(jí)教師.湖南省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)會(huì)員.湖南省骨干教師、常德市優(yōu)秀骨干教師、歷屆聘任的中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師；發(fā)表論文60多篇，參編國(guó)家、省級(jí)出版物5本.全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題FHB130512《生命課堂視野下的教學(xué)案例研究》、湖南省教育學(xué)會(huì)課題NH4—21（已結(jié)題）主研員.endprint