三角形中位線定理的新證法及教學啟示

三角形中位線定理的證明有很多種方法，如全等三角形法、相似三角形法、坐標法等，本文給出一種“旋轉構造”新方法.先看兩個基本事實.

又旋轉.把△DEF分別繞DF、DE、EF的中點順或逆時針旋轉180°，經歷圖Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ；每次旋轉后都標示角度、邊長以利于數(shù)據凸顯與邏輯思維的展開！由基本事實2依次得到：平行四邊形ADEF、平行四邊形BDFE、平行四邊形DFCE.

注意到已知的△DEF中有α+β+γ=180°，故A、D、B共線，B、E、C共線，A、F、C共線，即構成了一個大三角形且其邊長分別為a、b、c，見圖Ⅳ.

顯然，它就是與原已知的△ABC全等的三角形！

教學啟示 （1）初等數(shù)學研究的空間雖然很小很小了，但只要我們不斷挖掘仍會有意想不到的創(chuàng)新的收獲，特別是幾何引進數(shù)學變換的觀點下，無論是知識上還是教學上都會有突破！（2）利用此基本觀點（變換觀）可進一步改善八年級特殊四邊形的教學：湘教版八年級下冊第三章平行四邊形一章內容多、繁、雜，如何有效“穿針引線”？

受“基本事實2”的啟發(fā)：充分利用湘教版的“變換”特點，由“任意三角形繞一邊中點旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形”結論出發(fā)，依次按邊、按角、按邊角條件不斷強化引出菱形、矩形、正方形課題！

具體：從“邊條件強化”，一般三角形變?yōu)榈妊切卫@底邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一組鄰邊相等的平行四邊形”是菱形的課題！再依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等仿平行四邊形展開菱形的學習！

從“角條件強化”，一般三角形變?yōu)橹苯侨切卫@斜邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一個內角為直角的平行四邊形”是矩形的課題！從菱形單元的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等展開矩形的學習！

最后從“邊和角條件同時強化”，一般三角形變?yōu)榈妊苯侨切卫@斜邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一組鄰邊相等、一個內角為直角的平行四邊形”是正方形的課題！從菱形、矩形單元學習的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等展開正方形的學習！

顯然，按上方式學習條理清晰、方向明確、思路自然，類比探究科學、順路、流暢！對學生邏輯類比學習方法做了一個非常有效的鋪墊和示范！

作者簡介 陳金紅，男，1968年10生，中學高級教師.湖南省教育學會中學數(shù)學專業(yè)委員會會員.湖南省骨干教師、常德市優(yōu)秀骨干教師、歷屆聘任的中學數(shù)學骨干教師；發(fā)表論文60多篇，參編國家、省級出版物5本.全國教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題FHB130512《生命課堂視野下的教學案例研究》、湖南省教育學會課題NH4—21（已結題）主研員.endprint

三角形中位線定理的證明有很多種方法，如全等三角形法、相似三角形法、坐標法等，本文給出一種“旋轉構造”新方法.先看兩個基本事實.

又旋轉.把△DEF分別繞DF、DE、EF的中點順或逆時針旋轉180°，經歷圖Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ；每次旋轉后都標示角度、邊長以利于數(shù)據凸顯與邏輯思維的展開！由基本事實2依次得到：平行四邊形ADEF、平行四邊形BDFE、平行四邊形DFCE.

注意到已知的△DEF中有α+β+γ=180°，故A、D、B共線，B、E、C共線，A、F、C共線，即構成了一個大三角形且其邊長分別為a、b、c，見圖Ⅳ.

顯然，它就是與原已知的△ABC全等的三角形！

教學啟示 （1）初等數(shù)學研究的空間雖然很小很小了，但只要我們不斷挖掘仍會有意想不到的創(chuàng)新的收獲，特別是幾何引進數(shù)學變換的觀點下，無論是知識上還是教學上都會有突破?。?）利用此基本觀點（變換觀）可進一步改善八年級特殊四邊形的教學：湘教版八年級下冊第三章平行四邊形一章內容多、繁、雜，如何有效“穿針引線”？

受“基本事實2”的啟發(fā)：充分利用湘教版的“變換”特點，由“任意三角形繞一邊中點旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形”結論出發(fā)，依次按邊、按角、按邊角條件不斷強化引出菱形、矩形、正方形課題！

具體：從“邊條件強化”，一般三角形變?yōu)榈妊切卫@底邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一組鄰邊相等的平行四邊形”是菱形的課題！再依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等仿平行四邊形展開菱形的學習！

從“角條件強化”，一般三角形變?yōu)橹苯侨切卫@斜邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一個內角為直角的平行四邊形”是矩形的課題！從菱形單元的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等展開矩形的學習！

最后從“邊和角條件同時強化”，一般三角形變?yōu)榈妊苯侨切卫@斜邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一組鄰邊相等、一個內角為直角的平行四邊形”是正方形的課題！從菱形、矩形單元學習的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等展開正方形的學習！

顯然，按上方式學習條理清晰、方向明確、思路自然，類比探究科學、順路、流暢！對學生邏輯類比學習方法做了一個非常有效的鋪墊和示范！

作者簡介 陳金紅，男，1968年10生，中學高級教師.湖南省教育學會中學數(shù)學專業(yè)委員會會員.湖南省骨干教師、常德市優(yōu)秀骨干教師、歷屆聘任的中學數(shù)學骨干教師；發(fā)表論文60多篇，參編國家、省級出版物5本.全國教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題FHB130512《生命課堂視野下的教學案例研究》、湖南省教育學會課題NH4—21（已結題）主研員.endprint

三角形中位線定理的證明有很多種方法，如全等三角形法、相似三角形法、坐標法等，本文給出一種“旋轉構造”新方法.先看兩個基本事實.

又旋轉.把△DEF分別繞DF、DE、EF的中點順或逆時針旋轉180°，經歷圖Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ；每次旋轉后都標示角度、邊長以利于數(shù)據凸顯與邏輯思維的展開！由基本事實2依次得到：平行四邊形ADEF、平行四邊形BDFE、平行四邊形DFCE.

注意到已知的△DEF中有α+β+γ=180°，故A、D、B共線，B、E、C共線，A、F、C共線，即構成了一個大三角形且其邊長分別為a、b、c，見圖Ⅳ.

顯然，它就是與原已知的△ABC全等的三角形！

教學啟示 （1）初等數(shù)學研究的空間雖然很小很小了，但只要我們不斷挖掘仍會有意想不到的創(chuàng)新的收獲，特別是幾何引進數(shù)學變換的觀點下，無論是知識上還是教學上都會有突破?。?）利用此基本觀點（變換觀）可進一步改善八年級特殊四邊形的教學：湘教版八年級下冊第三章平行四邊形一章內容多、繁、雜，如何有效“穿針引線”？

受“基本事實2”的啟發(fā)：充分利用湘教版的“變換”特點，由“任意三角形繞一邊中點旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形”結論出發(fā)，依次按邊、按角、按邊角條件不斷強化引出菱形、矩形、正方形課題！

具體：從“邊條件強化”，一般三角形變?yōu)榈妊切卫@底邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一組鄰邊相等的平行四邊形”是菱形的課題！再依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等仿平行四邊形展開菱形的學習！

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最后從“邊和角條件同時強化”，一般三角形變?yōu)榈妊苯侨切卫@斜邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一組鄰邊相等、一個內角為直角的平行四邊形”是正方形的課題！從菱形、矩形單元學習的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等展開正方形的學習！

顯然，按上方式學習條理清晰、方向明確、思路自然，類比探究科學、順路、流暢！對學生邏輯類比學習方法做了一個非常有效的鋪墊和示范！

作者簡介 陳金紅，男，1968年10生，中學高級教師.湖南省教育學會中學數(shù)學專業(yè)委員會會員.湖南省骨干教師、常德市優(yōu)秀骨干教師、歷屆聘任的中學數(shù)學骨干教師；發(fā)表論文60多篇，參編國家、省級出版物5本.全國教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題FHB130512《生命課堂視野下的教學案例研究》、湖南省教育學會課題NH4—21（已結題）主研員.endprint