數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的應(yīng)用

馮英華

摘 要：在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模和案例教學(xué)的理念，有助于從思想上改變學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，從而改變以往的理論教學(xué)方式。文章從數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想出發(fā)，分析了傳統(tǒng)教學(xué)的弊端，并提出了數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；教學(xué)改革；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-4107（2014）10-0017-02

高等數(shù)學(xué)是本、?？圃盒Ｖ械囊婚T基礎(chǔ)學(xué)科，以往在課堂上只是給學(xué)生講解一些理論性的知識(shí)，學(xué)生在課堂上沒有活力、不活躍。其實(shí)，數(shù)學(xué)是充滿活力的。而現(xiàn)行的教學(xué)中教師掐頭去尾，沒有了問題的來源，沒有了知識(shí)的應(yīng)用，只留下了算法與運(yùn)算，學(xué)生感受到的除了做題還是做題。學(xué)生學(xué)習(xí)目的不明確，除了應(yīng)對(duì)考試外，學(xué)后感到學(xué)而無用、學(xué)而不會(huì)用，對(duì)數(shù)學(xué)的感覺是枯燥和畏懼。因此，我們可以在教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)厝谌胍恍┥钪械慕０咐估碚撆c實(shí)際相結(jié)合，讓學(xué)生在學(xué)知識(shí)的同時(shí)還要會(huì)用知識(shí)，真正地感受到數(shù)學(xué)的魅力，從思想上改變學(xué)生以前對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知[1]。

一、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想

我們通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來培養(yǎng)自己的能力，而不是為了各種考試的需求。但是在真正的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有一種畏懼的心理，我們引入數(shù)學(xué)建模思想，目的就是讓數(shù)學(xué)更加生活化、人文化，將理論問題現(xiàn)實(shí)化。

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽就是這樣一個(gè)用所學(xué)知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)問題的比賽，可以查詢資料，它改變了以往的考試形式，是真正的知識(shí)利用。在新生第一堂課上，給學(xué)生介紹什么是數(shù)學(xué)建模，介紹一些比較生活化、實(shí)際化的建模案例。讓學(xué)生從開始就認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，改變學(xué)生在高中所形成的題、題、題的算術(shù)認(rèn)知。同時(shí)在每章節(jié)的開始給學(xué)生介紹章節(jié)的主要內(nèi)容時(shí)，介紹一個(gè)運(yùn)用本章節(jié)知識(shí)去解決的數(shù)學(xué)建模案例，讓學(xué)生感受到這一章節(jié)的實(shí)用性。通過“有用”數(shù)學(xué)的引導(dǎo)，使學(xué)生在內(nèi)心形成一股向上的動(dòng)力，引發(fā)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中不再乏味無趣。這樣能夠徹底地改變學(xué)生的認(rèn)知，真正做到學(xué)而能用、學(xué)而會(huì)用，使其形成一種嶄新的積極向上的數(shù)學(xué)理念。

二、傳統(tǒng)教學(xué)的弊端

傳統(tǒng)的教學(xué)模式已經(jīng)不再適應(yīng)新時(shí)代的學(xué)生需求，教學(xué)模式單一、知識(shí)面狹窄、學(xué)習(xí)目的不明確的形式急需改變[2]。教材多年不變，教材不能與時(shí)俱進(jìn)，內(nèi)容過度理論化，缺乏生氣與活力，應(yīng)用性不強(qiáng)。為什么學(xué)？有什么用？在哪里用？一系列的問題都是學(xué)生所不解的，目的不明確的學(xué)習(xí)是沒有吸引力的，它不會(huì)引發(fā)學(xué)生內(nèi)心的、自發(fā)的、主動(dòng)的學(xué)習(xí)動(dòng)力和求知欲望。

學(xué)生學(xué)習(xí)后雖然給一個(gè)積分能計(jì)算出來，給一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題卻聯(lián)系不到數(shù)學(xué)上去，思維封閉、不開闊。這就是與現(xiàn)實(shí)問題的脫節(jié)，脫節(jié)的數(shù)學(xué)還有什么價(jià)值呢？所以，傳統(tǒng)的教學(xué)模式亟待改革。

三、基于數(shù)學(xué)建模思想的高數(shù)教學(xué)改革策略

（一）加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的熏染

平時(shí)的上課往往只注重知識(shí)的講解，卻忽視了對(duì)其文化背景的學(xué)習(xí)。學(xué)生會(huì)進(jìn)行相關(guān)的理論運(yùn)算，卻不知道該問題是什么時(shí)候、在什么樣的環(huán)境中由誰發(fā)現(xiàn)的。就像吃個(gè)牛排，如不理解西方飲食文化，那只是吃了一片半生不熟的牛肉一樣。一個(gè)人或許一輩子不會(huì)直接解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，但數(shù)學(xué)素質(zhì)會(huì)伴他一生；正如一個(gè)人雖不會(huì)成為畫家，卻應(yīng)該有藝術(shù)素養(yǎng)一樣。

（二）精選案例，滲透思想

高等數(shù)學(xué)課程在大學(xué)的學(xué)習(xí)過程中相對(duì)是比較緊張的，不宜占用過多的課時(shí)。因此我們需要進(jìn)行的，一是上面提到的在新章節(jié)開始時(shí)介紹性地講一講相關(guān)案例，引發(fā)學(xué)生的求知欲；二是在章節(jié)的整體內(nèi)容完成后，或是習(xí)題課中插入一完整的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模案例，讓學(xué)生利用課余時(shí)間分組去解決，最后以一篇小論文的形式提交。這樣既鍛煉了學(xué)生的論文寫作能力又增加了學(xué)生完成后的成就感，同時(shí)還可以鍛煉學(xué)生相互間的團(tuán)結(jié)協(xié)作能力。

大量的數(shù)學(xué)建模題目涉及的內(nèi)容比較廣且深，很多要運(yùn)用到運(yùn)籌學(xué)知識(shí)。因此，我們絕不能拿來主義，必須對(duì)案例進(jìn)行精挑細(xì)選，這需要做大量的準(zhǔn)備工作。從現(xiàn)行的數(shù)學(xué)建模教材中選擇，對(duì)已有題目改編，通過網(wǎng)絡(luò)查詢等方式選擇內(nèi)容合適的、學(xué)生感興趣的且與實(shí)際生活接近的案例。我們要讓數(shù)學(xué)貼近生活。下面簡(jiǎn)單介紹一下每部分內(nèi)容的相關(guān)案例，以希起到拋磚引玉的作用。

1.函數(shù)與極限部分

本部分應(yīng)用很廣，相應(yīng)的模型也比較多，像理財(cái)模型、手機(jī)資費(fèi)等問題都是學(xué)生比較感興趣的，手機(jī)話費(fèi)套餐到底是套還是餐？再如討價(jià)還價(jià)中的數(shù)學(xué)問題、冰箱設(shè)計(jì)問題、蘋果大小問題、書報(bào)雜志版式設(shè)計(jì)問題等等。我們可以將典型的飲酒駕車問題作為學(xué)生的課外作業(yè)，給學(xué)生分好組，讓他們自己去搜集資料，自己完成。

2.一元函數(shù)微分學(xué)部分

本章節(jié)的案例相對(duì)是比較多的，如旅行社交通費(fèi)用模型、海鮮店老板的訂貨難題、手機(jī)生產(chǎn)商的定價(jià)問題等。我們?cè)谶x用案例時(shí)盡可能選擇學(xué)生感興趣的生活化、專業(yè)化（與學(xué)生所學(xué)專業(yè)相關(guān)）的案例，避免不加選擇地隨便找?guī)讉€(gè)案例應(yīng)付了事，那樣只會(huì)適得其反。要是題目比較難，會(huì)讓學(xué)生畏難而退。

在歷年的國家公務(wù)員考試中就有許多數(shù)學(xué)問題，如2013年國家公務(wù)員考試第61題（畢業(yè)生分配問題）和今年的第65題（專賣店問題）都是一些簡(jiǎn)單的極值問題。通過公務(wù)員試題的舉例更讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的重要性與應(yīng)用的普遍性，從而進(jìn)一步改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“無用”的看法。

3.一元函數(shù)積分學(xué)部分

定積分的元素法思想應(yīng)用性非常廣，許多實(shí)際問題、不規(guī)則問題都可運(yùn)用元素法去分析。例如幾何學(xué)上的面積、體積、曲線的弧長(zhǎng)，物理學(xué)上的功、壓力、引力等。許多實(shí)際性問題首先要轉(zhuǎn)化為微分方程，然后運(yùn)用所學(xué)積分知識(shí)去解決。另外，在經(jīng)濟(jì)管理中定積分可以根據(jù)邊際求增量，在工程技術(shù)中可以用來求不規(guī)則幾何圖形的面積、體積。我們可以根據(jù)學(xué)生的所學(xué)專業(yè)，從專業(yè)內(nèi)容中去尋求好的實(shí)例，從而更加強(qiáng)數(shù)學(xué)與專業(yè)課的聯(lián)系。endprint

4.微分方程部分

飲食算體重問題、高速公路上的汽車總數(shù)模型、導(dǎo)彈追蹤問題、地中海鯊魚問題、森林可被砍伐年限、新產(chǎn)品推銷問題、餓狼追兔問題、水瓶保濕測(cè)試問題、生活垃圾的總量預(yù)測(cè)模型等等都是典型的微分方程模型[3]。如涉及速度、變化、生長(zhǎng)、減少、增加、追趕、逃跑等類的詞語，都可能包含了一個(gè)微分方程。

5.空間解析幾何部分

探照燈、天文望遠(yuǎn)鏡和汽車車燈的反射鏡、衛(wèi)星天線、聚光太陽能灶等，都是采用旋轉(zhuǎn)拋物面結(jié)構(gòu)，它不僅可以將焦點(diǎn)處的光源產(chǎn)生的光線反射成平行光束并使光度增大，而且還可以將光線聚于焦點(diǎn)。雙曲面、雙曲拋物面、圓錐面等經(jīng)常會(huì)在許多世界著名建筑中見到，巧妙的搭配會(huì)給人造成強(qiáng)烈的視覺沖擊。

6.多元函數(shù)微分法部分

相對(duì)一元函數(shù)微分學(xué)來講就是將研究范圍從平面拓展到了空間，研究?jī)?nèi)容的涉及面更大，應(yīng)用性也更強(qiáng)。如易拉罐的設(shè)計(jì)模型、居民用電模型、學(xué)校選址問題、空調(diào)銷售量的預(yù)測(cè)、建筑物散熱問題等等。在經(jīng)濟(jì)管理中的求利潤最大化、成本最小化，關(guān)聯(lián)商品的需求分析等問題時(shí)都可以運(yùn)用多元函數(shù)求極值的理論去求解。再比如在漂洗的次數(shù)和用水量一定的前提下，每次的用水量應(yīng)如何控制，才能使衣物洗得最干凈？這個(gè)可以讓學(xué)生自己查詢信息，通過自己分析建立模型。

7.多元函數(shù)積分學(xué)部分

該部分是通過將積分范圍由軸上推廣到了區(qū)域以及曲線和曲面上。相比定積分它們的涉及面更大，應(yīng)用更廣泛，而研究的內(nèi)容也更深。在學(xué)習(xí)過程中可以借助于計(jì)算機(jī)演示各類積分幾何體的圖形，讓抽象變形象，幫助學(xué)生更好地理解與掌握。本部分的數(shù)學(xué)模型有大氣污染數(shù)學(xué)模型、通信衛(wèi)星的覆蓋面積模型、火山噴發(fā)后高度的變化問題等[4]。

8.無窮級(jí)數(shù)部分

在解決問題時(shí)的一些數(shù)值計(jì)算和對(duì)一些復(fù)雜函數(shù)的表示中經(jīng)常會(huì)用到。也經(jīng)常被實(shí)際應(yīng)用在擴(kuò)散問題、波動(dòng)問題和熱的傳導(dǎo)中。眼下股票、基金、銀行投資火熱，余額寶、現(xiàn)金寶、零錢寶和理財(cái)通等理財(cái)產(chǎn)品如雨后春筍，在投資理財(cái)中經(jīng)常會(huì)提到的年金終值、年金現(xiàn)值、復(fù)利現(xiàn)值、復(fù)利終值等詞語，分別是什么意思，又如何計(jì)算？明白其含義后，幾何級(jí)數(shù)可以幫我們輕而易舉地計(jì)算出能賺到多少錢或是需要多少本錢去投資。

（三）組建數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，開辟第二課堂

組建數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，集中全學(xué)院感興趣的學(xué)生，引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域各個(gè)方面的知識(shí)，拓寬知識(shí)面與信息量。提高每個(gè)成員的綜合素質(zhì)，激發(fā)他們的創(chuàng)造力，培養(yǎng)他們的拼搏精神以及團(tuán)隊(duì)精神，活躍校園的學(xué)術(shù)氛圍，推進(jìn)素質(zhì)教育在學(xué)校的發(fā)展。

同時(shí)社團(tuán)負(fù)責(zé)各項(xiàng)數(shù)學(xué)建模比賽的組織工作，并對(duì)新會(huì)員舉辦研討、講座，使大家對(duì)數(shù)模有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽之前，對(duì)社團(tuán)成員組織有針對(duì)性的培訓(xùn)，提高學(xué)生的參與度和競(jìng)賽成績(jī)。在近幾年的競(jìng)賽中，我們建模社團(tuán)的學(xué)生連續(xù)獲得山東省二等獎(jiǎng)七項(xiàng)、一等獎(jiǎng)五項(xiàng)、國家二等獎(jiǎng)兩項(xiàng)的好成績(jī)。良好的成績(jī)來源于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解，更說明了教學(xué)改革的必要性和數(shù)學(xué)建模思想引入的必要性。

數(shù)學(xué)教育不只是理論教育，更是一種素質(zhì)教育、一種人文教育，要讓數(shù)學(xué)建模進(jìn)入課堂，將其思想滲透給學(xué)生，轉(zhuǎn)變學(xué)生以前的觀念。改革是一個(gè)復(fù)雜的過程，每位教師的手中都要形成一本與高等數(shù)學(xué)章節(jié)同步的數(shù)學(xué)應(yīng)用案例集，不斷提高自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)。這樣我們既教給學(xué)生扎實(shí)的理論知識(shí)，又教給學(xué)生如何通過先進(jìn)的技術(shù)方法解決實(shí)際問題，從而為培養(yǎng)更多的優(yōu)秀人才打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]董加禮，施光燕.高等數(shù)學(xué)課程體系及教學(xué)內(nèi)容和方法

的改革與實(shí)踐[J].中國大學(xué)數(shù)學(xué)，1998，（3）.

[3]李明振，龐坤.關(guān)于高師院?！皵?shù)學(xué)建模”教材建設(shè)的思

考與探索[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，（1）.

[4]楊穎.數(shù)學(xué)建模在實(shí)踐中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)

報(bào)：自然科學(xué)版，2010，（6）.endprint