自適應(yīng)變系數(shù)EV模型系數(shù)函數(shù)估計(jì)的模擬

陳汝杰　陳石生　周英晚　周麗

【摘 要】本文主要介紹了自適應(yīng)變系數(shù)EV模型的由來，并討論一種特殊形式的自適應(yīng)變系數(shù)EV模型，然后利用MATLAB將兩步核估計(jì)出來的結(jié)果進(jìn)行了檢驗(yàn).

【關(guān)鍵詞】變系數(shù)EV模型；參數(shù)估計(jì)；MATLAB軟件

模型是現(xiàn)在很流行的一個詞，在各行各業(yè)中，只要涉及數(shù)據(jù)，就要建立模型，每年國家都會組織數(shù)學(xué)建模競賽，目的在于用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題.現(xiàn)在最流行的就是線性模型，非線性模型，變系數(shù)模型等等，這里在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上給出一類新的模型-自適應(yīng)變系數(shù)EV模型.

1 自適應(yīng)變系數(shù)EV模型

1.1 自適應(yīng)變系數(shù)模型

變系數(shù)模型（Varying-coefficient Models）由Cleveland Grosse and Shyu（1991）在將局部回歸方法從一元推廣到多元的情形時提出.Jianqing Fan，QIweiYao和Zongwu Cai（2000）提出了自適應(yīng)變系數(shù)模型并對其性質(zhì)進(jìn)行了研究. 在實(shí)踐中，該模型已被廣泛地應(yīng)用于生物、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融保險等方面.

變系數(shù)模型（Varying-coefficient model）一般形式為：

該模型中的系數(shù)均為函數(shù)，其他許多模型如：線性模型、部分線性模型、可加模型以及動態(tài)廣義線性模型等都可以看成變系數(shù)模型特殊形式.例如：

的獨(dú)立同分布（i.i.d）的隨機(jī)變量.gj（·）（j≤p）是有界連續(xù)、足夠光滑的函數(shù)，且gj（·）≠0（j=0，1，…，p）.

1.2 EV模型

EV（errors-in-variables）模型，又稱測量誤差（measurement error）模型，其一般形式如下：

由于EV模型的特殊結(jié)構(gòu)，在討論問題時考慮了測量誤差，對它的研究要比經(jīng)典的回歸模型（4）困難，EV模型的參數(shù)估計(jì)的存在性及其相合性問題比經(jīng)典的回歸模型要復(fù)雜的多.

Stone（1977），OHagan（1978）[2]和Cleverland（1979）討論了自適應(yīng)模型. 關(guān)于自適應(yīng)變系數(shù)模型的討論還處在起步階段. 2003年，Jianqing Fan[1]等研究了這類模型； 將自適應(yīng)變系數(shù)模型與EV模型結(jié)合起來就得到了一類新的變系數(shù)EV模型，關(guān)于自適應(yīng)變系數(shù)EV模型研究的文章目前還少見.

2 自適應(yīng)變系數(shù)EV模型系數(shù)函數(shù)估計(jì)及模擬

2.1 自適應(yīng)變系數(shù)EV模型系數(shù)函數(shù)估計(jì)

本文我們考慮如下形式的自適應(yīng)變系數(shù)EV模型：

態(tài)隨機(jī)變量，且ε，e與x相互獨(dú)立.我們使用Epanechnikov核函數(shù).

窗寬取固定窗寬hn=0.01.樣本數(shù)據(jù)我們用Matlab隨機(jī)產(chǎn)生樣本容量n=1000.

（1）第一步核估計(jì)模擬[5]的結(jié)果：

t0=linspace（0，1，100）；%guji de shijian dian lie向量

n=1000；

t=normrnd（0，1，n，1）；%suiji shijian dian lie向量

x1=normrnd（5，1，n，1）；%bian liang yi lie向量

x2=normrnd（1，1，n，1）；%bian liang er lie向量

u1=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

u2=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

e=normrnd（0，0.1，n，1）；%lie向量

X1=x1+u1；

X2=x2+u2；

for i=1：n；

Y0（i）=sin（32*t（i））*X1（i）+exp（t（i））*X2（i）+e（i）；

i=i+1；

end；

Y=Y0'；

l=ones（n，1） ；I=eye（n）； %gei chu danwei xiangliang he danwei juzhen

X=X2；

S=X'*X；

P=X*（S^（-1））*X'；

dn=n+l'*P*l；

a=dn^（-1）*（l'*（I-P）*Y）；

b=（S^（-1））*X'*Y-（S^（-1））*X'*l*a；

for q=1：100；

hn=1/100；

for r=1：n；

T（r）=（t0（q）-t（r））/hn；

if （T（r）>-1） & （T（r）<1）

K（r）=（3/4）*（1-（T（r））^2）；

else

K（r）=0；

end；

end；% gei chu he hanshu

k0=0；

for j=1：n

k0=K（j）+k0；j=j+1；

end；% gei chu he hanshu de he

for m=1：n；

wn（m）=K（m）/k0；

end；

b0（q）=0；%dui b0 chushi zhi fu zhi

for r=1：n；

b0（q）=wn（r）*（Y（r）-X（r）'*b）/5+b0（q）；

r=r+1；

end；

q=q+1；

end；

b0；

y2=sin（32.*t0）；

cha=[t0'，y2'，b0'，b0'-y2'，]

plot（t0，y2，t0，b0，'r*'，'MarkerSize'，5）；

t0=linspace（0，1，150）；%guji de shijian dian lie向量

n=1000；%yang ben de rong liang

t=normrnd（0，1，n，1）；%suiji shijian dian lie向量

x1=normrnd（5，1，n，1）；%bian liang yi lie向量

x2=normrnd（1，1，n，1）；%bian liang er lie向量

u1=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

u2=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

e=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

X1=x1+u1；%di yi ge bian liang de chu shi zhi

X2=x2+u2；%di er ge bian liang de chu shi zhi

for i=1：n；

Y0（i）=sin（32*t（i））*X1（i）+exp（t（i））*X2（i）+e（i）；

i=i+1；

end；

Y=Y0'；%bian liang Y de chu shi zhi

l=ones（n，1） ；I=eye（n）； %gei chu danwei xiangliang he danwei juzhen

X=X2；

S=X'*X；

P=X*（S^（-1））*X'；

dn=n+l'*P*l；

a=dn^（-1）*（l'*（I-P）*Y）；% a de gu ji zhi

b=（S^（-1））*X'*Y-（S^（-1））*X'*l*a；%xi shu b de gu ji zhi

for q=1：n； %dui 150 ge shi jian dian jin xing gu ji

hn=1/100； %chuang kuan

for r=1：n；

T（r）=（t（q）-t（r））/hn；

if （T（r）>-1） & （T（r）<1）

K（r）=（3/4）*（1-（T（r））^2）；

else

K（r）=0；

end；

end；% gei chu he hanshu

k0=0；

for j=1：n

k0=K（j）+k0；j=j+1；

end；% gei chu he hanshu de he

for m=1：n；

wn（m）=K（m）/k0；

end； % gei chu quan zhong

b0（q）=0；%dui b0 chushi zhi fu zhi

for r=1：n；

b0（q）=wn（r）*（Y（r）-X（r）'*b）/5+b0（q）；

r=r+1；

end；

q=q+1；

end；

b0；%xi shu han shu de di er bu gu ji zhi

for h=1：n

g（h）=X1（h）*b0（h）；

h=h+1；

end；

g；%gei chu yi zhong ti dai

b1=（S^（-1））*X'*（Y0-g）'；%gei chu xi shu de di er bu gu ji

for q1=1：150； %dui 150 ge shi jian dian jin xing gu ji

hn1=1/100； %chuang kuan

for r1=1：n；

T1（r1）=（t0（q1）-t（r1））/hn1；

if （T1（r1）>-1） & （T1（r1）<1）

K1（r1）=（3/4）*（1-（T1（r1））^2）；

else

K1（r1）=0；

end；

end；% gei chu he hanshu

k10=0；

for j1=1：n

k10=K1（j1）+k10；j1=j1+1；

end；% gei chu he hanshu de he

for m1=1：n；

wn1（m1）=K1（m1）/k10；

end； % gei chu quan zhong

b10（q1）=0；%dui b0 chushi zhi fu zhi

for r1=1：n；

b10（q1）=wn1（r1）*（Y（r1）-X（r1）'*b1）/5+b10（q1）；

r1=r1+1；

end；

q1=q1+1；

end；

b10；%xi shu han shu de gu ji zhi

%cha=[b1'，b10'，b1'-b10']；

y2=sin（32*t0）；%yi zhi de xi shu han shu

cha=[t0'，y2'，b10'，b10'-y2'，] %qiu chu guji zhi yu zhen shi zhi de cha

plot（t0，y2，t0，b10，'r*'，'MarkerSize'，5）% hua chu tu xing

【參考文獻(xiàn)】

[1]Fan，J.Q.&O.w.Yao&Z.W，Cai.Adaptive Varying-coefficient linear models [J].RStatist.SOC.B， 2003，65（1）：57-80.

[2]周麗，張智順，周道軍.自適應(yīng)變系數(shù)EV模型系數(shù)函數(shù)的估計(jì)[J].湖南文理學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，22（3）：3-4，11.

[3]周麗，張智順，許健，劉萬榮.自適應(yīng)變系數(shù)EV模型系數(shù)函數(shù)中β的估計(jì)[J].吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，30（2）：17-18.

[4]王沫然.MATLAB與科學(xué)計(jì)算[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.

[5]李澤華，劉萬榮.變系數(shù)EV模型系數(shù)參數(shù)的一步核估計(jì)[J].湖南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006（1）：14-17.

[責(zé)任編輯：楊玉潔]