淺析幾何例題解答，深化數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)

黎雪芳

摘要：數(shù)學(xué)思維一直是教學(xué)過程中重點培養(yǎng)的一種思維方式，同時作為教育中的一門主學(xué)科，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也是一個繞不開的話題。本文從數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和掌握的過程中出現(xiàn)的一些具體現(xiàn)象入手，通過具體的教學(xué)例子為輔助，通過實際教學(xué)例子來提出解決這些問題的具體方式，達到提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)和提高學(xué)生綜合素質(zhì)的目的和用意。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；能力培養(yǎng)；綜合素質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不在于把學(xué)生培養(yǎng)成偉大的數(shù)學(xué)家，而是重在對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的綜合培養(yǎng)和全面提升上，使學(xué)生真正做到為社會所需、為發(fā)展所用。幾何題作為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成知識，也是考察學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識，解決問題能力的重要考察方式。如何找尋這類問題的解題關(guān)鍵，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效途徑。

一、一道幾何題的解析

已知：如圖，在Rt△ABC中，斜邊上的高CD=h，BC=a，AC=b。

求證：1a2+1b2=1h2。

【解析】證明：∵a2=AD·AB，b2=AD·AB，

∴1a2+1b2=1BD·AB+1AD·AB=ABBD·AD·AB=1BD·AD

∵h2=AD·BD

∴1a2+1b2=1h2

由此可知：由于求證式中有a2，b2，h2形式，再根據(jù)已知圖形具備有母子直角三角形所示的條件，因此可以考慮用三個等積式來證。

本題只是母子直角三角形當(dāng)中的一個簡單應(yīng)用，母子三角形在具體的幾何題的解析當(dāng)中還有很多的應(yīng)用，我們將通過母子三角形的定義和案例解析來探討數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

二、母子三角形的定義以及相關(guān)案例解析

（一）母子三角形的定義

一、母子直角三角形

在直角三角形ABC中，作斜邊上的高AD，把△ABC分成Rt△ABD、Rt△CAD，這兩個小三角形彼此相似，并且與原Rt△CBA相似.由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷，又小三角形與大三角形彼此相似，宛如母子神似，故形象地稱為“母子直角三角形”。

即AB2=BD·BC，AD2=BD·DC，AC2=CD·BC。

（二）母子三角形相關(guān)案例解析

1.案例一

如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊上的高，AE是∠BAC的角平分線交BC于E點，交CD于F點，過E點作EG⊥AB，垂足為G點，求證：EG=CF。

證明：∵∠BAE=∠EAC，∠BAE+∠DFA=∠EAC+∠AEC，∴∠AEC=∠AFD

又∵∠AFD=∠EFC，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF

又∵∠CAE=∠GAE，∴∠GEA=∠CEA

∴△ACE與△AGE是共斜邊的全等三角形

∴CE=GE，∴EG=CF

2.案例二

如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊上的高，AE是∠BAC的角平分線交BC于E點，交CD于F點，過E點作EG⊥AB，垂足為G點，連接CG，求證：CG⊥EF。

證明：∵在案例一中我們已經(jīng)證明，△ACE與△AGE是共斜邊的全等三角形

∴AG=AC，∴△ACG是等腰三角形，又∵AE是∠BAC的角平分線

∴AE⊥CG，即CG⊥EF

3.案例三

如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊上的高，AE是∠BAC的角平分線交BC于E點，交CD于F點，CG平分∠BCD交AB于G點，連接EG，求證：EG=CF。

證明：∵在案例一中我們已經(jīng)證明，△CEF是等腰三角形

∵CG是角平分線，所以AE⊥CG

∴AG=AC，∴△ACG是等腰三角形，又∵AE是∠BAC的角平分線

∴∠GAE=∠CAE，即CG⊥EF，∴△AGE與△CAE全等

∴CE=GE，∴EG=CF

從以上相關(guān)案例可以看出，在母子三角形中，萬變不離其宗。而且在有一定結(jié)論的前提下，都是可以來回運用的，這也就是我們常說的數(shù)學(xué)思維運用的一種具體體現(xiàn)形式。當(dāng)然，在具體的解題中，不可能是在這樣的習(xí)題背景下逐步深入，肯定是會有直接的問題提出，這就需要我們在平常的學(xué)習(xí)中融會貫通，記住基本結(jié)論并在解題中數(shù)量運用，那么在具體的實際操作用有哪些問題，存在哪些現(xiàn)象了，接下來我們具體的談一談這個問題。

三、淺談數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)存在的問題

近些年來，隨著素質(zhì)教育和新課改的發(fā)展，絕大多數(shù)的教師開始意識到培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，越來越重視數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)過程中的教學(xué)設(shè)計和內(nèi)容教授，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)風(fēng)潮被更多的學(xué)校和教師推向數(shù)學(xué)教學(xué)的首要地位。與此同時，由于實際限制和操作不科學(xué)，也存在不可忽視的問題現(xiàn)象。

（一）掌握知識過程中的三種現(xiàn)象

1.主觀記憶多余實際理解

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，特別注重知識在理解基礎(chǔ)上的運用，然而學(xué)生對這一點認(rèn)識上不夠。多數(shù)學(xué)生認(rèn)為：

第一，只要記住公式定理就萬事大吉，卻忽略了公式，定理的導(dǎo)出過程，也就是理解公式，定理的本質(zhì)和緣由。殊不知，這是造成運用公式，定理困難，容易遺忘的主要原因。

第二，只注重“表象感知”，不追求“深化理解”，這是造成這一現(xiàn)象的根本原因，如在學(xué)習(xí)三角公式時，只背公式，卻不注意公式間的關(guān)系和相互推導(dǎo)，由此造成基本的一些三角變換存在問題，更談不上靈活運用，例如在我們最初的母子直角三角形案例中：h2=AD·BD，這個基本的結(jié)論在第二章的案例解析中是用處不大的，所以這就需要我們深刻的變化和理解運用，只有記憶是不夠的。

2.注重結(jié)論而忽略條件推倒

數(shù)學(xué)命題的特點是條件和結(jié)論之間存在著緊密相聯(lián)的因果關(guān)系，如果不注意命題條件的掌握，常會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。這是由于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中過于簡單，片面，掌握知識不夠準(zhǔn)確，對結(jié)論推出的過程不重視。因此，在掌握知識的過程中，應(yīng)該注意避免“重結(jié)論，輕條件”這種現(xiàn)象的發(fā)生。為更好的運用知識要有扎實的基礎(chǔ)。

3.思維的深刻性和靈活性不夠

數(shù)學(xué)知識是一環(huán)緊扣一環(huán)，而且有著相互密切的聯(lián)系，中學(xué)生由于學(xué)習(xí)壓力和負(fù)擔(dān)過重，對已學(xué)過的知識往往因?qū)χR的理解不深又沒能及時復(fù)習(xí)和鞏固而遺忘，從而缺乏對知識的加深理解，在一天又一天的學(xué)習(xí)中得過且過，以致學(xué)過的知識慢慢遺忘，其結(jié)果便是掌握知識不全面，基礎(chǔ)不扎實。

（二）運用所學(xué)知識存在的問題

1.解題運用思維定勢較多

思維定勢也叫思維慣性。由于受先入為主的經(jīng)驗和方法的影響，學(xué)生往往沿著固定的思路去分析思考新的數(shù)學(xué)問題，這種感性認(rèn)識的負(fù)面遷移，常常會使學(xué)生的思維陷入舊框框，舊思路的束縛之中。思維定勢是數(shù)理學(xué)習(xí)的通病，它或是學(xué)生由于連續(xù)做了同類習(xí)題而形成的，或是學(xué)生由于長期的學(xué)習(xí)習(xí)慣所形成的。思維定勢不僅影響學(xué)生解題的速度，有時還會成為學(xué)習(xí)新知識，掌握新方法的心里障礙。

2.思維的廣度和深刻性不夠

思維的廣度也稱思維的廣闊性，即善于抓住問題的各個方面，又不忽視其他重要細(xì)節(jié)的思維品質(zhì)。思維的深刻性是指善于揭示事物的本質(zhì)屬性以及事物間的規(guī)律性聯(lián)系的思維品質(zhì)。在解題中一要深入挖掘概念的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生深刻理解概念；二要注意挖掘題目的隱含條件，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)；三要在解題后提煉所運用的數(shù)學(xué)思想方法，以提高學(xué)生思維的深刻性和高度。

3.學(xué)習(xí)之后及時復(fù)習(xí)較少

任何課程的學(xué)習(xí)都是短時間內(nèi)獲取大量知識的過程。也正因為如此，獲取知識之后的復(fù)習(xí)成為了消化并且理解知識的重中之重，但是現(xiàn)階段的情況表明，大量的學(xué)生只是在課堂上進行了學(xué)習(xí)，之后的課后復(fù)習(xí)比較少，使得學(xué)習(xí)的知識不夠扎實牢固。

從以上情況來看，可以說明，造成中學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維品質(zhì)的低劣有兩個重要的環(huán)節(jié)：一是掌握知識過程中所存在的不良習(xí)慣；二是運用知識思維不夠，三是在學(xué)習(xí)之余的復(fù)習(xí)比較少，具體操作時所受到的障礙和缺陷。那么，在以后的教學(xué)中就有氣需要克服這些不良因素，優(yōu)化思維品質(zhì)，更好地培養(yǎng)思維品質(zhì)的廣闊性，靈活性，深刻性和自我思考能力等等方面。

四、數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的提高方式

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，不是單一策略能夠提高奏效的，而是需要做好各方面的工作，花費巨大的精力，綜合運用多樣的策略方式，進行分析、探索、遇到阻滯后再調(diào)整、再分析、直到找到問題解決的路徑、辦法。多措并舉，加以優(yōu)化，是有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的制勝武器。

（一）做好概念和習(xí)題教學(xué)，改變知識掌握過程中的三現(xiàn)象

1.做好概念教學(xué)工作，克服主觀記憶，培養(yǎng)思維的深刻性

數(shù)學(xué)概念是整個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和嚴(yán)格的外延最鮮明地體現(xiàn)數(shù)學(xué)深刻性的本質(zhì)，這就要求教師在教授過程中，注意引導(dǎo)學(xué)生規(guī)避主觀性記憶的問題，深化理解知識。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念如果只限于文字表象，“走馬觀花”，流于膚淺，勢必會導(dǎo)致基礎(chǔ)空乏，造成解題漏洞百出。

例1：判斷正誤：在平面幾何中，異面直線就是（1）在空間中兩條不相交的直線；（2）分別位于不同平面內(nèi)的兩條直線；（3）不同在一個平面內(nèi)的兩條直線。對照定義，以上三種說法都不完全具備“不同在任何一個平面內(nèi)”這一本質(zhì)屬性，因而都是錯誤的，但不少學(xué)生或因忽略了定義中“任何”一詞的極端重要性，或因缺乏空間想象能力而對“任何”一詞理解的空乏，狹窄，從而導(dǎo)致辨析中的困惑。

抓住了概念的教學(xué)，重視學(xué)生對概念的深化理解，對于解題，不管填空，選擇，以及綜合題都有極其重要的意義。所謂“萬丈高樓平地起”，切忌好高騖遠！

2.做好習(xí)題課教學(xué)，重視解題過程，培養(yǎng)思維的靈活性和敏捷性

解題過程，是學(xué)生在掌握知識的基礎(chǔ)上，靈活，敏捷地運用知識的過程。那么，如何能做到夠迅速，正確地解決問題呢？這需要對問題的條件，結(jié)論之間進行溝通和變換，這就是解決問題的重中之重。

首先，結(jié)論與條件之間的溝通推導(dǎo)！

研究問題的條件和結(jié)論是形成解決問題思路的準(zhǔn)備階段，溝通條件和結(jié)論是形成解題思路的中心環(huán)節(jié)，是解決問題的關(guān)鍵。這里，就有一個需要條件推導(dǎo)而得出結(jié)論的過程，可從條件出發(fā)，本著結(jié)論提供的導(dǎo)向去溝通；也可以從結(jié)論出發(fā)，探索使結(jié)論成立的條件，直至追溯到已知的條件為止；但是這個過程都必須提倡學(xué)生要有銳意溝通的主動精神，要積極主動地，全神貫注溝通它們，認(rèn)真分析條件和結(jié)論的差異和矛盾，創(chuàng)造性地消除差異，解決矛盾，使結(jié)論和條件統(tǒng)一，以達到溝通的目的。

其次，結(jié)論與條件的之間的推導(dǎo)變換。

簡單的問題容易溝通，那么，復(fù)雜的呢？事實表明，任何問題的條件和結(jié)論，都是可以溝通，只不過復(fù)雜的問題需要經(jīng)過一定的處理和變換。所謂的變換，可以說是從一種形式變換到另一種形式，也可以從一個內(nèi)容到另一個內(nèi)容，還可以從一種含義變換到另一種含義，當(dāng)然，變換又分等價和非等價。若能通過等價變換，也就達到溝通的目的，這也是最常見的，也是最理想的。但是，有的命題還需要使用非等價變換，此時應(yīng)該注意：條件變換時，要換成它的必要條件，而結(jié)論變換成它的充分條件。

（二）提倡自主性和研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)運用知識的獨創(chuàng)性和高效性

1.加強研究性學(xué)習(xí)，突破定時思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨創(chuàng)性

改變現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的解題困境，首先就是要改變學(xué)生的定勢心理障礙，突破先入為主的慣性思維習(xí)慣。這就需要教師加強教師的指導(dǎo)教學(xué)角色，多方法、分學(xué)生地針對研究性教學(xué)，鼓勵學(xué)生放開思想，尋找解題的新思路。在提倡研究性學(xué)習(xí)的同時，要充分挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)興趣，創(chuàng)設(shè)問題的情境是一個重要的因素。亞里士多德作過這樣精辟的闡述“思維從問題的驚訝開始”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程是一個不斷發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的動態(tài)過程?！皠?chuàng)設(shè)問題情境”就是在教材內(nèi)容和學(xué)生求知欲望之間創(chuàng)造一種“不協(xié)調(diào)”，把學(xué)生引入一種與問題有關(guān)的情境中去。教學(xué)實踐證明，精心創(chuàng)設(shè)各種教學(xué)情境，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機和好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的求知欲望，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，學(xué)生思維的批判性和獨創(chuàng)性往往是由問題情境而引發(fā)的，因此，精心設(shè)置問題情境是培養(yǎng)學(xué)生批判性和獨創(chuàng)性的必要途徑之一，也是素質(zhì)教育改革中對老師的一個基本要求。

2.提高自主性學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的高效性

第一：善于自學(xué)。扎實的本領(lǐng)，主要是靠自學(xué)獲得的。有效的課前預(yù)習(xí)，課內(nèi)自學(xué)，課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)的重要而簡單的方法。通過自學(xué)，可以有效獲得知識，更好學(xué)會觀察，學(xué)會思考，學(xué)會想象，學(xué)會分析問題，解決問題。

第二：善于總結(jié)。在知識的掌握過程中，總結(jié)是一個重要的環(huán)節(jié)。對于典型命題，從解決問題方法上善于進行歸納，總結(jié)，“合并同類項”，把一些零碎的知識串起來，對于做錯的命題也要進行分析，更正，對于一題多解的命題要優(yōu)選方法，對于每個章節(jié)的重點，難點有獨自的見解，并做一定量的鞏固練習(xí)，全面有效地補缺補漏。

第三：善于交流。學(xué)習(xí)的過程中，善于和老師，同學(xué)交流，對于思維能力的提高，學(xué)習(xí)方法的改進是一種有利的補充。正如“天外有天，人外有人”，積極吸收各方面的優(yōu)點，不斷充實自己，更好地促進學(xué)習(xí)，優(yōu)化解決問題的思路，提高解決問題的能力。

此外，課后的復(fù)習(xí)也是至關(guān)重要的。復(fù)習(xí)的的重點在于對知識的查漏補缺，熟練技巧，鞏固知識系統(tǒng)，強化記憶。積極的復(fù)習(xí)態(tài)度和良好的復(fù)習(xí)習(xí)慣，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著事半功倍的作用。值得注意的是，復(fù)習(xí)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生要注意針對性、考慮漸進性和把握綜合性，優(yōu)化思維品質(zhì)，更好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度和深度。

結(jié)語

中學(xué)生解決問題的思維能力的培養(yǎng)是一個有機整體，它們是彼此聯(lián)系，不可分割的。思維的廣闊性給思維的靈活性提供了條件，只有具備廣闊、靈活的思維，才能使思維的批判性更為準(zhǔn)確和深刻，更能揭示出事物的規(guī)律和本質(zhì)，思維的獨創(chuàng)性才能更好地體現(xiàn)出來。反過來，思維的深刻性、批判性和獨創(chuàng)性會促進思維的靈活性升華到最佳程度。所以，在培養(yǎng)解題思維能力的過程中，必須貫穿思維的全過程，從教材內(nèi)容、課堂處理、方法傳授、課后總結(jié)上都必須下一定的功夫，做一定的處理，更好地讓學(xué)生接受，在傳授知識的同時，給學(xué)生一定的空間和時間，以促進學(xué)生智力因素的完善，以及解決問題思維活躍性的提高。從而提高學(xué)生掌握知識、運用知識來解決問題的效率，以達到素質(zhì)教育的根本目的。

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