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    關(guān)于正四面體的“點(diǎn)點(diǎn)滴滴”

    2014-10-21 19:55:51張永純
    關(guān)鍵詞:正四面體證明

    張永純

    【摘要】正四面體是一種簡(jiǎn)單、對(duì)稱的多面體,由于它的各條棱都相等,所以有十分多的性質(zhì),也正因?yàn)樗奶厥庑?,正四面體也成為歷年高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.關(guān)于正四面體的計(jì)算很復(fù)雜,牽扯到空間與平面,如果掌握了一些基本的性質(zhì)和正四面體的有關(guān)數(shù)據(jù),這會(huì)大大減少計(jì)算量,增加了正確的可能性.下面我會(huì)為大家介紹一些關(guān)于正四面體的基本定義、基本性質(zhì)、基本性質(zhì)的有關(guān)推導(dǎo)、典型例題的解法.

    【關(guān)鍵詞】正四面體;基本性質(zhì);例題講解;證明

    一、正四面體的基本定義

    正四面體是由四個(gè)完全相同的正三角形組成的空間封閉圖形,它有四個(gè)面、四個(gè)頂點(diǎn)、六條棱,并且所有的棱長(zhǎng)都相等,正四面體是最簡(jiǎn)單的正多面體.由于正四面體又符合正三棱錐的性質(zhì),所以它又是正三棱錐,但它又很特殊,正三棱錐要求底面為正三角形,其余三個(gè)面是等腰三角形即可,所以說(shuō)正四面體是特殊的正三棱錐.

    二、正四面體的基本性質(zhì)

    1.正四面體的重心,外接球、內(nèi)切球的球心,四條高的交點(diǎn)為一個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)就稱為中心.

    2.正四面體的對(duì)邊相互垂直.

    3.正四面體有七個(gè)與四個(gè)面都相切的旁切球和一個(gè)在其內(nèi)部的內(nèi)切球,其中有三個(gè)旁切球球心在無(wú)窮遠(yuǎn)處.

    4.正四面體的體積等于相應(yīng)的正方體體積的13,正四面體的高等于相應(yīng)的正方體體對(duì)角線的23.

    5.若某個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為L(zhǎng),則正四面體的全面積S=L2,體積V=L312.

    6.正四面體對(duì)棱中點(diǎn)連線的長(zhǎng)D=a2.

    7.正四面體的內(nèi)切球半徑V=/12,外接球半徑R=/4.

    8.每個(gè)四面體都有內(nèi)切球,球心O是四面體的各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn),到各面的距離等于球半徑.正四面體的內(nèi)切球的半徑是正四面體中心與正四面體的面中心的連線段.

    9.每個(gè)正四面體都有外接球,也是正四面體外接正方體的外接球,故該外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線,也即外接球的半徑等于正方體體對(duì)角線的一半.每個(gè)四面體外接球的球心O是各條棱的中垂面的交點(diǎn),此點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離等于球半徑.

    10.正四面體的高為正方體對(duì)角線長(zhǎng)的三分之二.

    11.正四面體的高為a3(正四面體的棱長(zhǎng)為a),中心點(diǎn)將高分為1∶3兩部分.

    12.對(duì)棱中點(diǎn)的連線段長(zhǎng)為棱長(zhǎng)的12.

    三、基本性質(zhì)的有關(guān)推導(dǎo)

    1.正四面體的相對(duì)棱的兩條異面直線垂直

    證明:過(guò)點(diǎn)S在面SBC上作SE垂直于BC,同時(shí)E也是BC的中點(diǎn),連接AE,可證AE垂直于,可證BC垂直于面AES,所以BC垂直于AS,即對(duì)棱垂直.同理也可以證明出其他幾組對(duì)棱垂直.

    2.設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a,則對(duì)棱的中點(diǎn)是這兩條棱的公垂線且長(zhǎng)為/2.

    證明:設(shè)E,F(xiàn)分別為AS,BC的中點(diǎn),連接EF,則SF,AF相等且值為/2,E為AS的中點(diǎn),可推出EF垂直于AS,同理可證EF垂直于BC,所以EF為AS,BC的公垂線,所以SF=/2,SE=a2,可根據(jù)勾股定理知EF=a2.

    3.相鄰的兩個(gè)面的二面角相等且余弦值為13.

    證明:此余弦值可用射影面積法求.cosA=S射影S側(cè)面=S三角形AOBS三角形ASB=S三角形ABC3S三角形SAB=13.

    4.同樣設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,正四面體的外接球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系是:R=a4.

    證明:設(shè)AS,BC的中點(diǎn)分別為E,D,連接DE,則DE為AS,BC的公垂線,且與高SO的交點(diǎn)O′是外接球的球心,連接AO′,AD.在直角三角形ADE中,由于AD=a2,AE=a2,可知DE=a2,所以EO′=a4,由勾股定理得,外接球的半徑R=AO′=a4.

    四、典型例題的基本解法

    例1 已知一個(gè)正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等,如果E,F(xiàn)分別是SC,AB的中點(diǎn),那么異面直線EF與SA所成的角為( ).

    A.90° B.60° C.45° D.30°

    解析 由題目“側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等”可知,S-ABC為正四面體,這個(gè)正四面體可以補(bǔ)成一個(gè)正方體,這時(shí),EF在正方體的兩底面的中心連線上,與正方體的側(cè)棱SD平行,因?yàn)椤螦SD=45°,所以選C.注意這種題目最好畫圖,可以幫助分析.

    例2 棱長(zhǎng)為2的正四面體的體積為( ).

    解析 可能大家看到這個(gè)題,一般做法就是畫出圖形,然后一點(diǎn)一點(diǎn)計(jì)算,但是如果你掌握了正四面體的有關(guān)性質(zhì),那么計(jì)算起來(lái)就簡(jiǎn)單了很多,最典型的做法就是將其補(bǔ)成一個(gè)正方體,這樣就會(huì)簡(jiǎn)化很多,這樣正方體的棱長(zhǎng)就可以求出來(lái),從而求出正方體的體積,這樣正四面體的體積就可以求出來(lái)了.這種方法要比單純計(jì)算簡(jiǎn)單很多.

    五、小 結(jié)

    在解有關(guān)正四面體的題目時(shí),要記得將正四面體與正方體、球結(jié)合起來(lái),運(yùn)用有關(guān)知識(shí),記住以上基本性質(zhì)與有關(guān)數(shù)據(jù),就能快速且正確地解出有關(guān)題目,這樣既節(jié)省了時(shí)間,也增加了準(zhǔn)確率.

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