高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的研究

歐陽(yáng)可慧

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的概念之一，也是高中數(shù)學(xué)比較重要的知識(shí)點(diǎn)，隨著課程改革的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)越來(lái)越重視函數(shù)和方程思想能力的運(yùn)用.從函數(shù)和方程思想的角度去解決各種問(wèn)題能夠極大地提高解題能力，把問(wèn)題化難為簡(jiǎn).函數(shù)與方程思想也是歷年考試的重點(diǎn)考點(diǎn).本文通過(guò)介紹函數(shù)與方程的思想，并舉出幾個(gè)例題，來(lái)研究高中函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);函數(shù);方程思想

引 言

在數(shù)學(xué)的世界里，函數(shù)思想博大精深，高中數(shù)學(xué)設(shè)定的函數(shù)知識(shí)這一部分知識(shí)點(diǎn)多，知識(shí)面廣，對(duì)學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力都是一個(gè)挑戰(zhàn)，對(duì)教師的教學(xué)能力也是一個(gè)不小的挑戰(zhàn).在應(yīng)用函數(shù)和方程思想時(shí)主要有幾個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題，如根據(jù)變量控制構(gòu)造函數(shù)關(guān)系;分析不等式、方程，求出其最小值、最大值等問(wèn)題，利用函數(shù)思想分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，選定合適的主變量，從而求出函數(shù)關(guān)系;有時(shí)也需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換成函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用學(xué)過(guò)的函數(shù)性質(zhì)以及不等式的知識(shí)解出答案.

一、函數(shù)與方程思想的分析

1.函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)

函數(shù)思想的核心內(nèi)容是立足于函數(shù)關(guān)系的相關(guān)性質(zhì)，從函數(shù)圖形出發(fā)，對(duì)函數(shù)的圖形和性質(zhì)進(jìn)行分析.在解題過(guò)程中，要認(rèn)真地理解題目中給出的各種已知條件，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)方程問(wèn)題.方程問(wèn)題和函數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)變可以依據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷來(lái)得出問(wèn)題求解的條件.將求解方程根的問(wèn)題與函數(shù)問(wèn)題相結(jié)合，能夠快速地獲得解題思路，用最簡(jiǎn)單的辦法找到問(wèn)題的關(guān)鍵所在，從而得到問(wèn)題的答案.方程的思想要求我們從函數(shù)關(guān)系出發(fā)，建立正確的相關(guān)函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)進(jìn)一步對(duì)函數(shù)表達(dá)式的分析，得到相關(guān)問(wèn)題的答案.也就是，從函數(shù)問(wèn)題向方程問(wèn)題轉(zhuǎn)換，我們可以把y=f（x）轉(zhuǎn)變?yōu)閒（x）-y=0，這樣在具體的解題過(guò)程中，涉及直線(xiàn)、函數(shù)的值域、圓錐曲線(xiàn)等問(wèn)題時(shí)，都可以應(yīng)用二元一次方程組來(lái)讓解題過(guò)程游刃有余，達(dá)到事半功倍的效果.

2.函數(shù)思想在解題中應(yīng)用的兩個(gè)方面

函數(shù)思想在解題過(guò)程中主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，解決求值、不等式求解、方程求解、確定參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題以及建立合理的函數(shù)關(guān)系式或者構(gòu)造中間函數(shù)來(lái)研究問(wèn)題，把要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的探討，這樣就把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了函數(shù)問(wèn)題，降低了問(wèn)題的難度.用函數(shù)與方程思想解決問(wèn)題一直都是近些年來(lái)各大城市高考的重點(diǎn).

3.函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系

在高考中，函數(shù)思想的主要應(yīng)用就是函數(shù)的概念，有時(shí)也包括函數(shù)性質(zhì)和圖像的應(yīng)用，其中一共有顯化、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造、建立函數(shù)關(guān)系解題這四個(gè)方面.而方程思想就是尋找問(wèn)題之中變量之間的等量關(guān)系，從而建立方程或者方程組解決問(wèn)題，用解方程或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去解決問(wèn)題.函數(shù)思想與方程思想之間有很密切的聯(lián)系，正是因?yàn)楹瘮?shù)與方程思想的這些聯(lián)系，在數(shù)學(xué)解題時(shí)，我們可以相互轉(zhuǎn)換來(lái)得出問(wèn)題的答案.

二、函數(shù)與方程思想的例題分析

高中數(shù)學(xué)的很多問(wèn)題可以將原有的隱含的函數(shù)關(guān)系顯化出來(lái)，從而用函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.例如：x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5的條件，且x2滿(mǎn)足方程2x+log（x-1）2=5，求解x1+x2的取值.解這個(gè)題的核心思想是建立函數(shù)關(guān)系來(lái)顯化問(wèn)題，以建立的函數(shù)關(guān)系和函數(shù)圖像作為解決問(wèn)題的入手點(diǎn)來(lái)解決具體問(wèn)題，為了能夠深刻理解構(gòu)建函數(shù)的方法和意義，建立方程和整體運(yùn)用函數(shù)思想的情況，我們來(lái)分析一下這道題.

從題中我們可以看出x1和x2給出的條件都是超越方程的類(lèi)型，其特點(diǎn)是方程的根不能由直接計(jì)算得出結(jié)果，要想得出方程的根，解題人就要找出兩個(gè)方程間的聯(lián)系，通過(guò)對(duì)兩個(gè)方程進(jìn)行一定的函數(shù)轉(zhuǎn)化來(lái)把握方程之間的關(guān)系，這樣解題就有了眉目.所以首先要把2x+2x=5確定為方程1，再對(duì)方程2x+2x=5進(jìn)行轉(zhuǎn)化，方程左右同時(shí)減去2x，再同時(shí)除2，得到轉(zhuǎn)化結(jié)果為2x-1=52-x.然后將2x+log（x-1）2=5設(shè)為方程2，同理也可轉(zhuǎn)化方程2，在方程2左右同時(shí)減去2x，把方程2轉(zhuǎn)化為log（x-1）2=5-2x.之后我們把兩個(gè)方程進(jìn)行聯(lián)立，再分析兩個(gè)方程之間的關(guān)系，將方程繼續(xù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)并建立相關(guān)函數(shù).方程1的a（y=2x-1）和by=52-x要看作方程的函數(shù)圖像在坐標(biāo)軸上的相交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的值，把方程2中的c（y=log（x-1）2）和d（y=5/2-x）看作方程圖像在坐標(biāo)軸內(nèi)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)值. 通過(guò)如題對(duì)函數(shù)的構(gòu)建，可以再對(duì)兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)做進(jìn)一步的處理，即a是由函數(shù)y=2x向右平移一個(gè)單位所得到的，同理c函數(shù)是由函數(shù)y=log2x向右平移一個(gè)單位所得到的.綜上所述就可以得出結(jié)論：方程1對(duì)應(yīng)的函數(shù)b的圖像與方程2對(duì)應(yīng)的函數(shù)d的圖像有著互相垂直的關(guān)系，而且兩個(gè)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為74，34，最后可以根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B相對(duì)距離的關(guān)系，可以得出方程x1+x2=72.到了這個(gè)地步，這道題也就有了結(jié)果，在這道題中可以看到一種函數(shù)方程運(yùn)用的方法，即當(dāng)通過(guò)方程無(wú)法直接得出答案的時(shí)候，要考慮函數(shù)的應(yīng)用，從函數(shù)的應(yīng)用入手解決問(wèn)題;反之則要考慮方程思想的應(yīng)用，只有將函數(shù)與方程思想有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題中靈活地運(yùn)用，才能很好地解決問(wèn)題.

三、結(jié) 語(yǔ)

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，更是高考的重要考點(diǎn)，函數(shù)與方程思想的教學(xué)也是高中教師的一個(gè)挑戰(zhàn)，希望能夠引起廣大教師的重視.