注重解題反思，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

史燁俊

反思是對(duì)思維結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和再認(rèn)識(shí)的過(guò)程，是自覺(jué)地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行考察、分析、總結(jié)、評(píng)價(jià)、調(diào)控的過(guò)程，是學(xué)生調(diào)控學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是認(rèn)知過(guò)程中強(qiáng)化自我意識(shí)，進(jìn)行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的主要形式. 荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力.”引導(dǎo)學(xué)生反思能促使他們從新的角度，多層次、多側(cè)面地對(duì)問(wèn)題及解決問(wèn)題的思維過(guò)程進(jìn)行全面的思考；通過(guò)反思可以提高數(shù)學(xué)意識(shí)，優(yōu)化思維品質(zhì). 下面探討如何通過(guò)解題反思來(lái)培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性、深刻性與廣闊性.

一、通過(guò)解題反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性

思維的批判性，就是善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，辨別是非，評(píng)價(jià)優(yōu)劣的一種思維品質(zhì). 通過(guò)解題反思，可以幫助學(xué)生找出錯(cuò)誤. 但找出錯(cuò)誤還不是目的，重要在于糾正錯(cuò)誤. 解題反思，不僅有利于學(xué)生加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性. 值得注意的是，當(dāng)學(xué)生獨(dú)立思考過(guò)程中出現(xiàn)了片面性和表面性時(shí)，教師不應(yīng)批評(píng)和斥責(zé)，相反地，應(yīng)注意及時(shí)鼓勵(lì)、引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生感受成功的喜悅.

例1 若sin α = ■，sin β = ■，且α，β為銳角，求α + β的值.

學(xué)生通常有兩種解法：

解法一 ∵ α，β為銳角，sin α = ■，sin β = ■.

∴ cos α = ■，cos β = ■，∴ cos（α + β） = cos α cos β - sinα sin β = ■ .

又0° < α + β < 180°，∴ α + β = 45°.

解法二 ∵ α，β為銳角，

sin α = ■，sin β = ■， ∴ cos α = ■，cos β = ■. ∴ sin（α + β） = sin α cos β - cos α cos β = ■.

又0° < α + β < 180°，∴ α + β = 45°或135°.

這兩種解法中解法二的同學(xué)占多，因?yàn)閷W(xué)生習(xí)慣先考慮正弦. 教師可有意讓兩種解法的代表上臺(tái)板演，然后讓學(xué)生反思一下，究竟是什么原因?qū)е虏煌拇鸢改兀?/p>

學(xué)生反思后，分組討論，暢他們之所想，然后學(xué)生代表發(fā)言. 最后教師歸納總結(jié)：解法一是正確的，因?yàn)閥 = cos x在[0，π]上是單調(diào)函數(shù). 解法二是錯(cuò)誤的，它忽視了題目中隱含的條件，忽視了對(duì)角的范圍的限制.

這樣通過(guò)設(shè)問(wèn)、討論、發(fā)言，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，找出錯(cuò)誤原因，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題深入思考，在糾正過(guò)程中充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，同時(shí)暴露了學(xué)生思考問(wèn)題的不嚴(yán)密性，從而優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的正確性和批判性.

二、通過(guò)解題反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

思維的深刻性就是善于透過(guò)紛繁的現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的思維品質(zhì). 它是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，它集中表現(xiàn)在具體進(jìn)行思維活動(dòng)時(shí)善于深入地思考問(wèn)題，抓住其本質(zhì)和規(guī)律，從而圓滿(mǎn)地解決問(wèn)題. 這就要求學(xué)生不迷戀于問(wèn)題的表面現(xiàn)象，能思考問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律. 通過(guò)解后反思，能幫助學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，深入細(xì)致地加以分析和研究，而不被表象所迷惑.

1. 深化知識(shí)

反思解題過(guò)程中所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)在解題中的作用，剖析每個(gè)知識(shí)的內(nèi)涵及外延，不僅有利于深化知識(shí)、鞏固知識(shí)，也有利于思維深刻性的培養(yǎng).

例2 已知a，b是互不相等的實(shí)數(shù)，且使等式a2 + a - 1 = 0，b2 + b - 1 = 0成立，求a2b + ab2的值.

問(wèn)題一給出，學(xué)生就忙開(kāi)了，先求出a，b，再代入.

學(xué)生解完之后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思解題的思維過(guò)程，發(fā)現(xiàn)a，b其實(shí)是同一個(gè)方程的兩個(gè)不同的解，應(yīng)用一元二次方程韋達(dá)定理可得. 通過(guò)反思，既深化了方程的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性.

2. 總結(jié)基本規(guī)律

一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其解法往往有規(guī)律可循，為了發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，必須要求對(duì)問(wèn)題、解題過(guò)程深入研究. 因而教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生從解題中及時(shí)歸納總結(jié)其基本規(guī)律，把特例納入一個(gè)已知的更一般的范圍，加深對(duì)已有的有關(guān)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，或把孤立、特殊的解法看作更一般的尚未為他人所知的規(guī)律，從特殊擴(kuò)大到一般，以達(dá)到舉一反三的目的，讓學(xué)生從茫茫的題海中解脫出來(lái). 這不僅有利于學(xué)生對(duì)基本技能的掌握和運(yùn)用，也有利于學(xué)生思維概括性、深刻性的培養(yǎng).

例3 等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo).

問(wèn)題1.求Sn = 1 + 2 + 3 + … + 50.（用高斯小時(shí)候的故事引入）

問(wèn)題2.求Sn = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

問(wèn)題3.求Sn = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17.

問(wèn)題4.求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn = a1 + a2 + a3 +… + an.

用高斯小時(shí)候的故事激發(fā)學(xué)生的探知欲望，學(xué)生很興奮地完成了問(wèn)題1的求解，臉上還洋溢著自信. 然后讓學(xué)生來(lái)求解問(wèn)題2，3，自然水到渠成.

學(xué)生解完之后，教師并不作講評(píng)、總結(jié)，而是啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)前面所解決的三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行反思，找出規(guī)律，從而解決了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求解問(wèn)題.

三、通過(guò)解題反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

思維的廣闊性，又稱(chēng)思維的發(fā)散性，是一種不依常規(guī)尋求變異，從多角度、多方面去思考問(wèn)題，尋求解答的思維品質(zhì). 數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活多變，解題途徑繁多，但最終卻能殊途同歸. 即使是一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，是最優(yōu)最簡(jiǎn)捷的解法. 不能解完題就此罷休，如釋重負(fù).

數(shù)學(xué)是思維的體操. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心. 但學(xué)生思維能力的提高，優(yōu)良思維品質(zhì)的養(yǎng)成，并非朝夕之功，需要持之以恒地進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練.