判斷三角形的形狀

顏廷法

【摘要】 讓學(xué)生盡情享受數(shù)學(xué)美帶來的愉悅感，這是每個(gè)數(shù)學(xué)教師的神圣責(zé)任和不可推卸的義務(wù). 通過一道題目的多種解法及其引申和拓展，試圖引導(dǎo)學(xué)生在潛移默化中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，進(jìn)而逐步提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 三角形；數(shù)學(xué)美；對稱性

【摘要】 讓學(xué)生盡情享受數(shù)學(xué)美帶來的愉悅感，這是每個(gè)數(shù)學(xué)教師的神圣責(zé)任和不可推卸的義務(wù). 通過一道題目的多種解法及其引申和拓展，試圖引導(dǎo)學(xué)生在潛移默化中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，進(jìn)而逐步提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 三角形；數(shù)學(xué)美；對稱性

如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美？如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性？如何讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)？如何培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀？這絕不是一朝一夕、一蹴而就的事情，需要數(shù)學(xué)教師長期引導(dǎo)、指導(dǎo)、訓(xùn)練和培養(yǎng)，讓學(xué)生在潛移默化中去發(fā)現(xiàn)新知，逐步提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

學(xué)數(shù)學(xué)就離不開解題. 解題并不是僅僅解答題目，而是應(yīng)從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，試著提出解決問題的一般模型. 在平面幾何中，三角形是最基本的圖形. 以判斷三角形的形狀為例，該問題是初中常見題型，其解法較多，如用三角函數(shù)（如余弦定理）解三角形、用極值方法求解、用不等式求解、用數(shù)形結(jié)合求解和用對稱性求解等.

下題將代數(shù)與幾何相互結(jié)合，應(yīng)是一道典型題目. 求解既不需要課本以外知識，也不需要特殊技巧，關(guān)鍵是考查學(xué)生的觀察力和綜合計(jì)算能力. 其奇妙之處就在于只用初中生學(xué)過的方法求解就足夠了.

例1 已知三角形的三邊長分別為a，b，c，而且滿足b + c = 8，bc = a2 - 12a + 52，請判斷三角形的形狀.

解法1 由b + c = 8知，c = 8 - b，

代入bc = a2 - 12a + 52，

并移項(xiàng)得a2 - 12a + 52 + b2 - 8b = 0，

配方（a - 6）2 + （b - 4）2 = 0.

由于（a - 6）2，（b - 4）2都是非負(fù)數(shù)，

因而a = 6，b = 4.

易得c = 4，故該三角形是等腰三角形.

解法1可稱之為“代入配方法”，是一般初中生首先嘗試的方法，其技巧在于配方這一步，從兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加為0，分別得出a，b之值.

解法2 由b + c，bc之值容易聯(lián)想到韋達(dá)定理，進(jìn)而構(gòu)造以bc為根的一元二次方程x2 - 8x + a2 - 12a + 52 = 0.

恰好可配方為

（x - 4）2 + （a - 6）2 = 0.

因而有x = 4，a = 6.

易得c = 4，b = 4.

故該三角形為等腰三角形.

解法2可稱之為“韋達(dá)定理法”，也是一般初中生嘗試的方法，其技巧在于構(gòu)造出一元二次方程和配方過程.

解法3 由條件知，bc = a2 - 12a + 52 = （a - 6）2 + 16 ≥ 16.

再從b + c = 8可推知，bc ≤ 4 × 4 = 16，

可得b = c = 4.

而從第一等式可解得a = 6.

故此三角形為等腰三角形.

解法3可稱之為“不等式法”，這是一般初中生應(yīng)該掌握的方法，主要思路就是數(shù)形結(jié)合，可把b，c看作某矩形的長和寬，只有長和寬相等時(shí)，其面積最大. 作為教師，我們應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識、理解和掌握該方法.

解法4 由b + c = 8和bc = a2 - 12a + 52可知，b，c具有對稱性，因而其值相等均為4.

而a2 - 12a + 52 = 16，可得a = 6.

故該三角形為等腰三角形.

解法4可稱之為“對稱法”，這是一般初中生意想不到的方法，其高超之處利用式中字母的對稱性，判斷出其地位相等，因而其值相等. 對稱性不論是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，還是在其他科學(xué)領(lǐng)域，都是非常重要的問題. 對稱性思維不僅是一種解決實(shí)際問題的思維，而且也是美學(xué)思想和哲學(xué)思維的體現(xiàn).

當(dāng)我們引導(dǎo)學(xué)生給出某題目多種解法之后，并不是萬事大吉了，還需要進(jìn)一步反思，看能否可做進(jìn)一步的引申和拓展. 如老師可向?qū)W生提出問題：能否根據(jù)本題，創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)問題呢？

創(chuàng)造新數(shù)學(xué)題目的一般方法是，通過改變已知數(shù)據(jù)或條件、未知量，采用類比方法來構(gòu)建.

如可從（a - 5）2 + （b - 7）2 = 0構(gòu)造出新題目：

例2 已知三角形的三邊長分別為a，b，c，而且滿足b + c = 14，bc = a2 - 10a + 74，請判斷三角形的形狀.

由等腰三角形自然聯(lián)想到等邊三角形，故可繼續(xù)向?qū)W生提問：從此題代數(shù)角度出發(fā)，能否構(gòu)造出一個(gè)等邊三角形問題？

這個(gè)問題反而變得簡單了，考慮（a - b）2 + （b - c）2 + （c - a）2 = 0，可構(gòu)造如下數(shù)學(xué)問題：

例3 已知三角形的三邊長分別為a，b，c，而且滿足a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0，請判斷三角形的形狀.

由例1的解法4，學(xué)生應(yīng)能觀察這個(gè)代數(shù)方程中a，b，c的對稱性，從而可以確定其地位相等，猜測到a = b = c.

正是對稱性才構(gòu)成了一些美麗幾何圖案、精美無比的建筑景觀、巧奪天工的生活世界. 考量一下數(shù)學(xué)概念的對稱可謂比比皆是：正數(shù)與負(fù)數(shù)、未知與已知、有限與無限、常量與變量、小于與大于、乘方與開方、直線與曲線、平行與相交、函數(shù)與反函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、函數(shù)遞增與遞減、函數(shù)連續(xù)與間斷等. 數(shù)學(xué)運(yùn)算的對稱也可謂俯首皆是：加與減、乘與除、乘方與開方、指數(shù)與對數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等. 同一命題的充分條件和必要條件也滲透著命題的對稱美. 分析法與綜合法、歸納法與演繹法等，各以對方為存在前提，滲透著數(shù)學(xué)方法的對稱美.

至此，還可以進(jìn)一步拓展，提出“邊長滿足類似代數(shù)方程的四邊形，是個(gè)什么樣的四邊形？”等問題. 若是多邊形呢？如此長久堅(jiān)持下去，學(xué)生的思路就會拓展開來.

美麗的鮮花使人陶醉欣賞，漂亮的姑娘引人駐足贊美，亮麗的風(fēng)景讓人眼前一亮，同樣數(shù)學(xué)之美也會動人心弦. 數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)、圖形、布局和形式無不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)之美的因素. 愛美天性在青少年時(shí)期表現(xiàn)得尤為突出，讓學(xué)生盡情享受數(shù)學(xué)美帶來的愉悅感，這是每位數(shù)學(xué)教師的神圣責(zé)任和不可推卸的義務(wù).